1、2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第4章第1节2 第四章第四章 平稳金融时间序列：平稳金融时间序列：ARAR模型模型4.1 4.1 基本概念基本概念4.2 4.2 一阶自回归模型一阶自回归模型 ARAR（1 1）4.3 4.3 二阶自回归模型二阶自回归模型 ARAR（2 2）4.4 p4.4 p阶自回归模型阶自回归模型 ARAR（p p）4.1 4.1 基本概念基本概念 4.1.1 4.1.1 随机过程与数据生成过程随机过程与数据生成过程 随机过程：从随机概率论的概念出发，随机过程是一系列或一组随机变量的集合，用来描绘随机现象在接连不断地观测过程中的实现结果。对于每一次观
2、测，得到一个观测到的随机变量。如果使用数学语言来定义随机函数，给定一个时间域T，对于T中每一个参数t，都有一个取值于确定集合W的随机变量 ，其中s属于一个特定的样本区间。所以对于一个给定的t，是一个随机变量。对于一个确定的样本s，就是在s上的一组实现值,而集合 就是一个随机过程。()tY s()tY s()tY s(),tY s t T 数据生成过程:利用下面的回归模型来说明，即：假设模型中所有系数已知或者是已经设立了的，那么给定解释变量 的一组观测值，回归模型就可以生成对应的一组 值，则模型就是一个数据生成过程。200,.(0,),1,2,ttttyxiidtT:Ltxty DGP适用于理论
3、上的问题与真实世界的事例之间的比较。例如:中国国际股票指数和随机游走过程看上去相似吗？股票的收益率序列符合白噪音过程吗？图图4.14.1 数据生成过程（右侧坐标）数据生成过程（右侧坐标）与现实中的金融随机变量与现实中的金融随机变量04080120160-12-8-404199419961998200020 0220042006DG P:Y(t)=Y(t-1)+eChina International Stock Price图图4.14.1 数据生成过程（右侧坐标数据生成过程（右侧坐标）与现实中的金融随机变量）与现实中的金融随机变量-400-2000200400600-4-20246199419
4、9619982000200220042006DGP:WHITENOISERETURN 4.1.2 4.1.2 自协方差与自相关函数自协方差与自相关函数 假定 是一个随机变量，自协方差定义的是 与其自身滞后期之间的协方差，即“自身的协方差”。常见的协方差的基本定义是：其中：表示期望。从而可以知道，与其自身滞后j期 之间的协方差定义为：tyty(,)()()Cov X YE XE XYE Y E tyt jy()(),0,1,2,jttt-jt-jE yE yyE yj L 对于均值保持不变的随机过程来说，时，即为方差：,0,1,2,jtt-jE yyj L0()ttt-0Var yE yy0j
5、随机变量x和y的相关系数模型为：自相关函数，即 与 的自相关函数定义为：一般将 相对于滞后期数j绘制出的图示称为自相关图。(,)()()Cov x yVar xVar ytyt-jy(,),0,1,2,()()tt-jjtt-jCov y yjVar yVar y Lj 4.1.3 4.1.3 弱平稳与严平稳的定义弱平稳与严平稳的定义 弱平稳（weakly stationarity）有时也叫协方差平稳（covariance-stationarity）或二阶平稳（second-order stationarity)。弱平稳的定义：对于随机时间序列 ，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t变化
6、而变化，则称 为弱平稳随机变量，即对于所有时间t，必须满足以下条件：(i)为不变的常数；(ii)为不变的常数；(iii)tytyty()tE y2()tVar y,0,1,2,jtt-jE yyjL 平稳还暗示着：,1,2,jjj L 对于一个弱平稳过程 ，自相关函数并且：0(,),0,1,2,()()tt-jjjtt-jCov y yjVar yVar y L0001jjty 严平稳的定义：如果对于任何 ，随机变量的集合 只依赖于不同期之间的间隔距离 而不依赖于时间t，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。12,kj jjL12(,)kttjtj
7、tjy yyL12(,)kjjjL4.1.4 4.1.4 白噪音过程白噪音过程（white noise processwhite noise process）一个随机过程如被称为白噪音过程，则组成该过程的所有随机序列彼此互相独立，并且均值为0，方差为恒定不变值。即对于所有时间t，如果满足下列条件 (i)(ii)(iii)则 是白噪音过程。()0tE y20()tVar y(,)0,0tt jCov y yjtyty图图4.3 4.3 白噪音过程的白噪音过程的自相关图自相关图-1.0-0.50.00.51.04812ACFj 对于白噪音过程，总有如下等式成立：以及 白噪音过程中的观测值彼此之间互
8、相独立，白噪音过程不能由其以前的信息来预测，至少从线性角度看是这样的。2,00,0jjj1,00,0jjj 如果一个白噪音过程还满足正态分布的条件，即服从正态分布，这样的过程称为高斯白噪音过程。例如：就是一个典型的样本为T的白噪音过程。212,(0,)TtyyyyNL:4.2 4.2 一阶自回归模型一阶自回归模型:AR:AR（1 1）4.2.1 AR4.2.1 AR（1 1）过程的基本定义和性质）过程的基本定义和性质 AR（1）模型可以写成：12(0,)ttttycyiidc是常数项或截距项。:212AR11,AR ttttcy 用无限阶移动平均来表示（1）移动平均过程：如果，因此（1）实际上
9、是一个无穷阶移动平均过程。L 4.2.2 AR4.2.2 AR（1 1）过程的均值）过程的均值 0 011tccE y L4.2.3 AR4.2.3 AR（1 1）过程的方差）过程的方差2220122224262123246222(1)1ttttttttE yEEEEE LLL 平稳序列的观测值表现出一种向其均值水平回复的特征，这种特征在金融时间序列分析中称“均值回复”，对应的英文名词是“mean-reverting”。图图4.4 AR4.4 AR（1 1）模拟生成的）模拟生成的序列图与相关统计量序列图与相关统计量0.81.01.21.41.61.8246810 12 14 16 18 20
10、22 24 26 28 30Series yMean 1.302106Median 1.265548Maximum1.702138Minimum 0.866587Std.Dev.0.234691Skewness-0.203005Kurtosis 2.205343Observations 29_ y-Mean(a)样本=30012345672505007501000series y Mean 3.262315 Median 3.286064 Maximum 6.170433 Minimum 0.254820 Std.Dev 0.973348 Skewness-0.003795 Kurtosis
11、2.758862 Observations 999_ y-Mean 图图4.4 AR4.4 AR（1 1）模拟生成的）模拟生成的序列图与相关统计量序列图与相关统计量(b)样本=1000 随着样本的增大，样本均值和方差与理论上的真实值会越来越接近。通过比较图4.4中不同样本数据对应的样本均值和方差可以看出，只有30个观测值的序列均值和方差分别为1.302和0.2342=0.055，与真实值之间有明显的出入；而对于1000个观测值的序列，其均值和方差分别是3.262和0.972=0.947，与理论真实值已经非常接近了。22110.5,(0,),0.5ttttyyN:22110.5,(0,),0.5
12、ttttyyN:4.2.4 AR4.2.4 AR（1 1）过程的自协方差）过程的自协方差 与自相关函数与自相关函数 221212222421224222(1)1jtt jtttt jt jt jjjjt jt jt jjjE yyEEEE LLLL0jjj 所以，而对于 ，其取值越靠近于1，则暗示 序列相邻观测值之间的相关性越强。很明显，平稳AR（1）过程的自相关函数图应该是随着滞后期数的增加而呈现逐渐衰减的态势。1ty 4.2.5 4.2.5 一阶自回归系数一阶自回归系数 的影响的影响 下面利用实际例子进一步演示自回归系数 取值不同对自相关系数以及 序列动态走势的影响。ty图图4.5 4.5
13、 AR（1）过程的自相关）过程的自相关函数图函数图 0.00.20.40.60.81.05101520253035404550ALPHA=0.5ALPHA=0.90.90.9图图4.6 AR4.6 AR（1 1）模型的自相关函）模型的自相关函数图数图-1.0-0.50.00.51.05101520253035404550ALPHA=-0.9图图4.74.7（a)a)-3-2-10123102030405060708090100ALPHA=0图图4.74.7（b)b)-3-2-10123102030405060708090100ALPHA=0.6图图4.74.7（c c）-8-4048102030405060708090100ALPHA=0.9图图4.74.7（d d）-8-4048102030405060708090100ALPHA=1.0
