2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第14章第1节.ppt

1、2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第14章第1节22 第第1414章章 非线性金融时间序列模型非线性金融时间序列模型 14.1 14.1 非线性时间序列模型介绍非线性时间序列模型介绍 14.2 14.2 马尔可夫区制转移模型马尔可夫区制转移模型 14.3 14.3 门限模型门限模型 14.1 14.1 非线性时间序列模型背景介绍非线性时间序列模型背景介绍 金融时间序列变量，特别是高频金融时间序列变量，经常表现出与较低频率的时间序列变量明显不同的特征。所以，对高频金融数据进行建模，往往与一般的时间序列分析方法存在差别。这是因为，随着时间的变化，宏观政策的调整和经济结构的可能

2、变化，能够造成计量模型内的系数发生变化。换言之，不同时期或者区制对应的模型系数可能会发生改变。而捕捉这种系数变化的重要模型之一，就是带有状态变量的区制转移模型。非线性模型的一个重要表象就是可能出现“状态”的转变。这种状态的转变，有时候也被称为“区制”的转变，可以用来捕捉金融时间序列模型中可能存在的结构性变化。14.2 14.2 马尔可夫区制转移模型马尔可夫区制转移模型 14.2.1 14.2.1 背景介绍背景介绍 近年来，非线性模型的发展使得其在经济和金融时间序列分析领域得到了越来越广泛的应用。特别是区制转移模型，在经济、金融领域得到越来越多的重视。例如，马尔可夫区制转移模型可以用来分析宏观经

3、济周期。Hamilton(1989)的文献应该算得上是MS模型的开创性文献，而且利用Hamilton的马尔可夫区制转移模型获得的经济周期与NBER给出的经济周期基本上是完全吻合的。基于Hamilton的重要贡献，马尔可夫区制转移模型也经常被称为Hamilton模型。正如前面介绍过的，在MS模型中，区制有时候也称为“状态”。14.2.2 14.2.2 马尔可夫区制转移概率问题马尔可夫区制转移概率问题 MS模型所表示的内容是不同时期的不同状态。在只涉及两个状态的MS模型中，转移概率的定义可以写成：(14.1)1 1 1 1Pr 1|1 Pr 0|1 1Pr 0|0 Pr 1|0 1tttttttt

4、sspsspssqssq 模型14.1可以用矩阵表示为：（14.2）这里，以不同状态下对应的概率所组成的矩阵P，称为转移矩阵。模型(14.1)也可以写成另一种形式:（14.3）1P=1pqpq111112122121Pr 1|1=Pr 2|1=Pr 2|2=Pr 1|2=ttttttttsspsspsspssp 实际上，模型(14.3)的这种表达形式给出了状态变量 与所谓的马尔可夫链（Markov Chain）的联系，而马尔可夫链的定义可以写成：(14.4)从上面的介绍不难看出，一阶的MS模型，在t时刻的状态 只与t-1时刻的状态 有关。ts1Pr(|)ttjisj sipts1ts 14.2

5、.3 14.2.3 马尔可夫区制转移模型马尔可夫区制转移模型11(1)()()tttttsttsttARyyyyy对于一个过程，如果其是平稳的，则有。如果存在区制转移，(1)若 的均值随区制不同而变化，则有；011200211(2)(3)AR (0,),0 (0,),1tstttttttttttttARycyycyiidsycyiids若模型的截距项随区制的不同而变化，则有；若模型的所有系数以及扰动项的方差依据区制的不同而不同,则有 在更一般的情况下，区制转移模型可以写成如下形式 其中：、和 分别表示因变量、自变量矩阵以及系数矩阵。2000021111 (0,),0 (0,),1ttttttt

6、tttYXiidsYXiidstYtX 14.2.4 14.2.4 状态变量的属性状态变量的属性 MS模型中不同区制（状态）持续的时间、区制的期望、区制的向量表示形式以及利用向量形式的区制形式预测未来的状态，是状态变量属性中最重要的几个方面，我们下面分别进行介绍。1 1）区制的持续期）区制的持续期 区制的持续期，是指在某个区制或者状态下持续的时间长度。所以，利用区制持续期可以衡量模型在不同状态下持续的时间。例如，从模型(13.1)可以看出，对于 ，概率p的值越高，从当前的状态“1”转换到状态“0”的可能性越小。1ts 举例来说，如果变量 表示经济增长率变量，并假设 表示经济衰退状态，而 对应经

7、济扩张状态。那么，如果 从 转移到 的状态时，就代表着经济从t时期的衰退期转变到了t+1时期的扩张时代。在进入下一个衰退期之前，扩张状态持续的时间就是 对应的持续期。ty0ts 11tsty0ts 11ts11ts 时刻标志着扩张状态的开始，假定这样的状态持续到 时刻为止，则 所以，区制“1”持续期的期望可以写成：1211,0ttt it issss ti1t 11112222()Pr1,1,0 1(1)2(1)3(1)(1)123 (1)1 ttitiiE durationisssppppppppppppp 222 1 (1)111 111pppppppppp（14.12）同理，如果假设 就

8、可以求出区制“0”持续期的期望，即：（13.13）120,1ttt jt jssss0112()Pr0,1 1(1)2(1)3(1)1 1t jt jjE durationjssqqqqqq 2 2）区制的期望）区制的期望 关于区制或者说状态变量的期望，实际上分为条件期望和无条件期望。我们先来讨论简单的条件期望，然后在介绍区制的向量表示形式之后再介绍无条件期望。在两个区制的情况下，区制的取值只有0和1。所以，在给定一个区制的条件下，就可以确定另一个区制对应的期望值。例如，如果 ，那么从模型(14.1)可知，与 的概率分别是p和1-p。这样，状态 的条件期望可以写成：11ts1ts 0ts ts

9、11101(1)Pr1 0(1)1 Pr(11)ttttttsttE s sss sppssp 如果 ，那么 与 的概率分别是q和1-q，则有：11101(0)Pr0 01(1)1Pr(10)ttttttsttE s sss sqqssq 10ts1ts 0ts 定义如下矩阵：(14.16)进而：结合转移概率矩阵(14.2)，可得 (14.17)1tttsSs101001ttttsSsS 如果，；如果，。111()101ttpqpE S Spqp 同时，利用模型(14.16)可知：(14.18)再结合模型(14.14)和(14.15)，可得：(14.19)可以定义一个随机扰动项 ，使得 满足：

10、(14.20)这样，可以把模型(14.19)重新写成VAR(1)模型的形式，即：（14.21）1111tttsSs11()tttE S SPStVtV1()ttttVSE S S1tttSPSV 在一阶MS模型中，我们还可以得到比模型(14.23)更一般的结论，即：()0,0tt iE V Si 无条件期望对应的是其中一个状态的期数占总共状态期数的比重。我们知道，对于只有两个状态的MS模型来说，在每一个时刻点，只有一个状态，也只有一个扰动项。从模型(14.16)和(14.21)，我们得到：11121111ttttttssvpqssvpq 这个VAR模型系统对应的两个分等式给出的是：(14.28

11、)因为概率p和q都介于0与1之间，所以：(14.29)对于模型(14.29)，不等式两端的情形（-1和1）分别对应的是两个特殊情况。1(1)(1)tttsqp qsu 11 1p q 当 时，对应的是p和q都为0的情况。在这种情况下，每个时刻点都发生区制转移。而当 时，对应的是p和q都为1的情况。此时，区制转移不再发生。11p q 1 1p q 除了这两种极端情况之外，(14.28)是平稳序列。利用AR模型的性质，我们可以获得状态 的无条件期望，即1ts 1()1(1)tqE spq 3 3）区制的预测）区制的预测 利用模型(14.21)以及第10章介绍的VAR模型的属性，得到下列等式：因为模

12、型(14.24)知道 ,所以：111hhT hTT hT hTSP SVPVP V()0,0tt iE V Si()hThTTE SSP S 如果假设现在处在状态1，那么未来1期转移概率可以分别计算为：和 22Pr(11)(1)(1)TTssppq 2Pr(01)(1)(1)TTssp p qp 14.2.5 14.2.5 区制的推断问题区制的推断问题 贝叶斯定理（Bayesian Rule）（14.33）PrPr|Pr Pr|Pr Pr ABB AAA BBBPrPr|Pr Pr|Pr Pr ABB AAA BBBPrPr|Pr Pr|Pr Pr ABB AAA BBBPrPr|Pr Pr|

13、Pr Pr ABB AAA BBB 假设 代表到样本端点时刻T时的所有信息集，序列 的初始值 已知，并且在时刻t，区制为 。故有：结合贝叶斯定理，可得：（14.34）TIty0y01s 1010Pr=1|Pr=0|1sspssp110101110111010(|1,)Pr1|Pr1|(|)()Pr1|(|)f y sIsIsIf y If yssfy I 由于 只能取0或者1，所以 可以通过分别与这两个可能取的值对应的两个联合概率密度函数的和:1s10(|)f y I1101101=01110101 01101(|)(,|)s (|,)Pr|()(1)()f yIf y sIf ys Isss

14、pfypfy 当我们考虑更一般的情况时，则可以把模型(14.34)拓展为：其中：111()Pr1|Pr1|(|tttttttfysIsIf y111111011111 0Pr1|Pr,|Pr|Pr1|tttttstttttsIs sIsIsss 111101101111100(|)(,|)()Pr|()Pr|Pr|tttttttttttstttstttttf y If y sIsfys IsfysIs sss 我们可以通过模型(14.36)到(14.38)，来获得从 的概率 。这些概率一般被称为区制的滤波概率。而与滤波概率相对的另一个相关的概率是“平滑概率”，定义为 。在MS模型应用中，这些平

15、滑概率有着极为重要的作用。Pr,tTs ITtPrtts I1,2,tT 14.2.6 14.2.6 马尔可夫区制转移模型的马尔可夫区制转移模型的 估计与设检验估计与设检验 假定我们考虑的序列为 ,样本大小为 ,条件密度函数是 ,其中 ,表示待估计的系数矩阵。2000021111 (0,),0 (0,),1ttttttttttYXiidsYXiidsty1;ttfy Y112,tttYyyT 若区制转移发生在 ,对于前 个观测值,对应的密度函数为 .对于剩下的 个观测值,对应的密度函数为 .与MS模型对应的似然函数就是：两个区制对应的密度函数可以写成：1111101(|1,)(|1,)TTtt

16、tttttt TfysYfysY2122()11(|,)exp22titttiif y si Y1(0,)tttf y sY1(1,)tttf y sY1T1T1TT 为消掉这个密度函数中的未知状态变量以使用 ,利用平滑概率 和条件密度函数 ,可以获得：加总所有可能的状态变量值,就获得了 。从而,我们可以获得条件似然函数：（14.42）011111(|)(|,)Pr(|)ttttttttsfyYfys YsY1()ttf y Y011111(|)(|,)Pr(|)tTTtttttttsttf y Yf y s Ys Y,1tttf y s Y,1tttf y s Y 1ttP s Y 假定条件

17、概率 为固定值,这样也就是把它也看作一个系数。如果仍然假设正态分布的扰动项,则似然函数可以写成：1Pr(|)ttYs201221111expPr(|)22tttTtttstssLs Y 假设我们研究的序列 可以使用一个AR(p)模型来刻画其动态过程，并且该AR模型为一个马尔可夫过程，AR模型的系数、均值和方差都出现区制转移，即：密度函数就可以写成：从而可以进一步获得模型(14.42)对应的条件似然函数。2,1,.(0,)tptttsti stt isiyyuuii d211221(|,)exp(|,.,)22ttttttttttpssuf ys Yf ys yy 获得了似然函数之后，对于一个MS 模型,其估计方法可以使用准最大似然估计。当然在估计过程中,除了模型中的系数之外,平滑概率也是一个需要估计的变量。当模型的系数估计出来之后，一般情况下我们可以利用传统的假设检验方法，检验模型中各个系数的显著性。