1、1.什么是统计物理（Statistical Physics）?从物质的微观结构和微观运动来阐明物质的宏观热性质的学科。它基本假设是等概率原理：处于平衡态的处于平衡态的孤立系统，其各个可能的微观状态出现的概率相等孤立系统，其各个可能的微观状态出现的概率相等。统计物理部分统计物理部分2.基本特点是什么？统计物理学并不研究某一粒子的运动状态随时间变化，而是讨论在一定条件下粒子按状态的统计分布规律。李政道语：李政道语：统计力学是理论物理中最完美的科目之一，因为统计力学是理论物理中最完美的科目之一，因为它的基础假设是简单的，但它的应用却十分广泛。它的基础假设是简单的，但它的应用却十分广泛。3.(平衡态平
2、衡态)统计物理的基本任务是什么？统计物理的基本任务是什么？定义取平均值的严格方法，首先从微观状态数出发，计算系统在一个态的概率，在一定条件下计算均匀物性系统的状态方程和热力学函数。因此它是连接微观和宏观的桥梁因此它是连接微观和宏观的桥梁。4.统计物理的研究手段有那些？(1)最概然统计（玻耳兹曼建立）(2)系综理论（吉布斯建立）5.既然传统的统计物理已经很成熟，那么当今统计物理还有那些问题要研究？德国著名统计物理学家德国著名统计物理学家Peter Hanggi语：语：统计力学的创始人的心中装着宏观系统，因此他们用几个变量统计力学的创始人的心中装着宏观系统，因此他们用几个变量就能够描写之，而现代统
3、计力学的关键问题在于就能够描写之，而现代统计力学的关键问题在于微观机械能超微观机械能超越宏观定律的极限有多远越宏观定律的极限有多远。例如：可逆卡诺循环热机效率：例如：可逆卡诺循环热机效率：121TT玻耳兹曼玻耳兹曼：统计物理的奠基人之一统计物理的奠基人之一路德维希玻尔兹曼(Ludwig Edward Boltzmann（1844.2.20-1906.9.5)生于维也纳，卒于意大利的杜伊诺 科学史话科学史话(4)物理学界物理学界的贝多芬的贝多芬他还注重自然科学哲学问题的研究，著有物质的动理论等。作为哲他还注重自然科学哲学问题的研究，著有物质的动理论等。作为哲学家，反对实证论和现象论，并在原子论遭
4、到严重攻击的时刻坚决捍卫学家，反对实证论和现象论，并在原子论遭到严重攻击的时刻坚决捍卫它。它。“如果对于气体理论的一时不喜欢而把它埋没，对科学将是一个悲剧；如果对于气体理论的一时不喜欢而把它埋没，对科学将是一个悲剧；例如：由于牛顿的权威而使波动理论受到的待遇就是一个教训。我意识例如：由于牛顿的权威而使波动理论受到的待遇就是一个教训。我意识到我只是一个软弱无力的与时代潮流抗争的个人，但仍在力所能及的范到我只是一个软弱无力的与时代潮流抗争的个人，但仍在力所能及的范围内做出贡献，使得一旦气体理论复苏，不需要重新发现许多东西。围内做出贡献，使得一旦气体理论复苏，不需要重新发现许多东西。”玻尔兹曼玻尔兹
5、曼玻尔兹曼的一生颇富戏剧性，他独特的个性也一直吸引着人们的关注。玻尔兹曼的一生颇富戏剧性，他独特的个性也一直吸引着人们的关注。有人说他终其一生都是一个有人说他终其一生都是一个“乡巴佬乡巴佬”，他自己要为一生的不断搬迁和，他自己要为一生的不断搬迁和无无间断的矛盾冲突负责，甚至他以自杀来结束自己辉煌一生的方式也是其间断的矛盾冲突负责，甚至他以自杀来结束自己辉煌一生的方式也是其价值观冲突的必然结果。价值观冲突的必然结果。玻耳兹曼捍卫科学的精神值得称赞，但不应效仿玻耳兹曼捍卫科学的精神值得称赞，但不应效仿玻耳兹曼的历史贡献玻耳兹曼的历史贡献1 1）发展了麦克斯韦的）发展了麦克斯韦的分子运动论分子运动论
6、学说学说 ；2 2）物理体系的）物理体系的熵熵和和概率概率联系起来联系起来 3 3）阐明了）阐明了热力学第二定律热力学第二定律的统计性质；的统计性质；4 4）导出能量均分理论；）导出能量均分理论；5 5）最先把热力学原理应用于辐射，导出热辐射定律，）最先把热力学原理应用于辐射，导出热辐射定律，称斯忒藩称斯忒藩-波尔兹曼定律；波尔兹曼定律；6 6）建立了稀薄气体分子的输运方程：）建立了稀薄气体分子的输运方程：玻耳兹曼方程玻耳兹曼方程 和和H H定理。定理。WkSBln因此而自杀！因此而自杀！最辉煌!其表述如下：其表述如下：“一个新的科学真理照例不能用说服对手，等他们表示意见一个新的科学真理照例不
7、能用说服对手，等他们表示意见说说得益匪浅得益匪浅这个办法来实行。恰恰相反，只能是等到对手们渐渐死这个办法来实行。恰恰相反，只能是等到对手们渐渐死亡，使得新的一代开始熟悉真理时才能贯彻亡，使得新的一代开始熟悉真理时才能贯彻。”对普朗克来说，学术争论对普朗克来说，学术争论没有多少诱惑力，因为他认为它们不能产生什么新东西。没有多少诱惑力，因为他认为它们不能产生什么新东西。由于上述说法由于上述说法后来又被学界有重大影响的其他学者，如托马斯后来又被学界有重大影响的其他学者，如托马斯库恩等多次引证，它似库恩等多次引证，它似乎成了一条自明的真理。乎成了一条自明的真理。果真如此吗？如果普朗克所言不虚，那么科学
8、争论在科学思想发展史上果真如此吗？如果普朗克所言不虚，那么科学争论在科学思想发展史上的意义就要大打折扣了。普朗克为人平和、正直，被誉为的意义就要大打折扣了。普朗克为人平和、正直，被誉为“学林古柏学林古柏”，其高尚的人品是值得人们敬仰的，但并不是他所说的每一句话都是正确其高尚的人品是值得人们敬仰的，但并不是他所说的每一句话都是正确的，哪怕这句话多次被人们引用。的，哪怕这句话多次被人们引用。“普朗克定律普朗克定律”（一个现代科学的绊脚石一个现代科学的绊脚石）由此可见，由此可见，玻耳兹曼就是他自己发明的玻耳兹曼就是他自己发明的“孤立系统的熵增加孤立系统的熵增加 原理原理”的牺牲品。的牺牲品。科学史话
9、科学史话(5)第五章第五章 玻耳兹曼统玻耳兹曼统计计 一、玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计 二、二、配分函数技术配分函数技术 三、三、能量均分定理能量均分定理 四、四、玻耳兹曼统计的应用玻耳兹曼统计的应用小结和习题课小结和习题课动机和目的动机和目的由广义坐标和广义动量所构成的空间。统计物理特色：事先将相空间分成许多格子，在一个格子内 的坐标和动量相同，一个能量附近的格子越多，则粒子处于 这个能级上的概率就越大。问题：问题：是在一个平面或者曲面上画格子（例如是在一个平面或者曲面上画格子（例如 围棋）吗？围棋）吗？12rzyx（广义坐标广义坐标）p（广义动量）（广义动量）预备知识：预备知识：空间空间(读读
10、mu)也叫相空间也叫相空间X 基本概念基本概念 相 点：空间中的一点代表粒子的一个可能的运动状态 等能面：在空间具有相同能量的可能状态连起来所构 成的曲面 相体积：等能面在相空间所围成的一块体积 )(Hdpdpdpdqdqdq.qUmpHrrriii212112)(2在在等等能能面面上上画画格格子？子？等能面就像等能面就像“洋葱洋葱”【例题【例题5.1】处于边长为】处于边长为L的立方容器内由单原子分子组成的立方容器内由单原子分子组成的理想气体，粒子的能量表示为：的理想气体，粒子的能量表示为：等等能能面面空空间间范范围围dmLdmLdmLdmLddmLmVmmpppHVHdpdpdpdxdydz
11、dpdpdxdydzdp.HpppmHzyxzyxzyxzyx2/12/332/332/32/332/32/32/332/333222222222123123411234234)()(234234)(,2221 )(？多大能壳之间的相体积等于所以等能面：等能面所维的相体积是根据相体积定义解：Lm2ypzpxp0 5.1 5.1 玻耳兹曼统计分布律玻耳兹曼统计分布律 玻耳兹曼假设（也是平衡态统计物理的基本假设）玻耳兹曼假设（也是平衡态统计物理的基本假设）B分布的推导（在统计平衡时，相同可分辩粒子按能量的最可几分布）能层 相格数编号的相格微观态分布注意：用 表示粒子在各能层中的一定的分布iiiii
12、NNNgfedcbaGGGGGGGGG2121222112112121,21iNNN.a.b21.1qp 空间中相格及粒子填充方式空间中相格及粒子填充方式 编号的粒子按编号的相格的一种分配，就是体系的一个微观态。一个微观态一定对应一种分布；反之，一种分布可以对应许多微观态。iNiiiiiiGNNNNNWNNNN!,.,.,2121的微观态数目等于，它的一种分布个粒子组成一个体系注意：同一相格中的粒子发生交换，体系的微观状注意：同一相格中的粒子发生交换，体系的微观状态不变；而在不同相格中的粒子发生交换时，体系态不变；而在不同相格中的粒子发生交换时，体系将出现不同的微观状态。将出现不同的微观状态。
13、,.,.,)(:)4(21分布。对应的分布就是最概然所最大的大，该分布出现的概率就越越大，值不同，对应的微观态数即不同的一套不同的分布最概然分布WWNNNWNii总能量守恒。，总粒子数守恒；它们各代表什么？使用了哪些约束条件，在推导最概然分布时，,)()()5(iiiiiNEbNNa立的。处于哪个相格是互相独哪个相格与另一个粒子粒子处于这一步时，用到了一个中的在计算相互作用；意味着不考虑粒子间的约束条件条件？子近独立”，哪些地方使用了“粒在推导玻耳兹曼分布时iNiiiiiGWbNE)(a)6(为平衡态分布。微观状态数极大，则即能够导致系统的能级上投放的粒子如何往相格数等于的是等价的，总数为的单
14、调函数，所以两者是关于的极大值，因为求的极大值较麻烦，转向发现法推导玻耳兹曼分布的方,lnln )7(iiGNWWWW0,.,.,ln)(ln21iiiiiiNNNWENNNW或变分法：技术是拉格朗日乘子法称为条件极值，常用的下的极值，和在约束条件求。变量的拉格朗日乘子法下面，我们熟悉一下两地重复推演一遍。页认真学们课下将书限于课时所限，希望同值要求：可以独立改变。条件极填充的粒子数有能级上微观状态数，就要使所立地变更，为了求极大不能独中的内能保持不变，由于体系的总粒子数和1231220lnlnENWNNWii【书150页练习】用拉格朗日乘子法求条件极值粒子按能级填充的最概然分布的表示式是：粒
15、子按能级填充的最概然分布的表示式是：观状态数。最多的微个粒子组成的系统具有个粒子，则由方式填充能量层按如此的为的平衡态下，在相格数在温度为”代表平衡态；这里上标“：讨论其为，在离散能级情况下，是一个粒子的配分函数式中，NNGTbaGeZZGTkZNNiiiiiiBiii01110)(0)(,exprrrrrhdeZhdeZNdNNhdpdpdpdqdqdqd1102121d体元的粒子数目是个粒子中能落入这一相，故在平衡态下，中包含的相格数等于某一相体积元的空间中能量为能量连续的情况下，在。rriiiiihdeZNdndWhdeZNdneZNGNnGeZNNii1)4(;)3(;)2(;)1(0
16、00【思考题思考题】试说明下列公式的物理意义】试说明下列公式的物理意义(1)在平衡态下，分布在第在平衡态下，分布在第i个能级上的粒子数；个能级上的粒子数；(2)在平衡态下，第在平衡态下，第i个能上平均每个相格内的粒子数；个能上平均每个相格内的粒子数；(3)在某一状态下，能量为在某一状态下，能量为且位于相体积元且位于相体积元 d内的粒内的粒子数；子数；(4)在某一状态下，在某一状态下，能量为能量为且位于相体积元且位于相体积元d的粒子数的粒子数与总粒子数之比。与总粒子数之比。【例5.1】0,1,22,33,42,4243200011223332103210GGGGNENNEiiiii约束条件是：解
17、：数是多少？观态哪几种？每种分布的微。问粒子能量的分布有量成，总能个这样的可分辩粒子组为四度简并。设体系由为三度简并，能级为二度简并，能级为非简并，能级能级，有设某种粒子可能的能级124321!0!1!0!3!40,1,0,3244321!0!0!2!2!4!0,0,2,2)1.5(0,1,0,30,0,2,20103400224141444WGNNWWWiNiiii式来直接计算：面，可以用书上公式。另一方级就是一种新的微观态号码的粒子在不同的能标上计算微观状态数，记住一方面可以用图解法来。和：满足条件的分布有两种第五章第五章 玻耳兹曼统玻耳兹曼统计计 一、玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计 三、三、能
18、量均分定理能量均分定理 四、四、玻耳兹曼统计的应用玻耳兹曼统计的应用小结和习题课小结和习题课动机和目的动机和目的二、二、配分函数技术分函数技术近独立近似下的粒子能量取离散和连续，那么一个粒子的近独立近似下的粒子能量取离散和连续，那么一个粒子的配分函数为配分函数为 表示将所有能级或能壳内的相格数按玻耳兹曼权重求表示将所有能级或能壳内的相格数按玻耳兹曼权重求和。系统总的配分函数是单个粒子的配分函数的乘积。和。系统总的配分函数是单个粒子的配分函数的乘积。我们寻找诸热力学函数与配分函数（我们寻找诸热力学函数与配分函数（T、V、N的函的函数）的关系数）的关系。5.2 5.2 配分函数技术（配分函数技术（
19、热力学公式热力学公式）riihdeZGeZi11,111111lnln,ZZNZNUhdeZNZNhdeZrr所以riiiiiihdeZNdNUGeZNNUi100:连续情况：离散情况：的能量之和组成该系统的所有粒子系统内能（总能量）是一、内能kkkkkkkiikikiiiikiikkkkiikikkdxxNdxYAxZNGeZNxxNfNYYxxffiikxi111100lnZln,),.,2,1(等于故系统对外界所做的功为加的广义力所对应的外界对系统施因此，与定义为一个广义力受到了该能级上的粒子能级的移动，这相当于的改变，导致系统的第强度比如体积、电场和磁场参量由于与体系相关的外部二、广义
20、功熵三、11111111111111lnln1lnln1lnln,lnlnlnlnlnlnlnln,1ZZdNkTkZNkZNkdkTTQdSZZNdAdUZdxZdZZdNdxxZZdNdxxZNZNdpdVdUAdUQBBBBBkkkkkkkk知根据可逆过程的熵定义那么的全微分后两项正好是就是一个全微分，但乘以虽然它不是全微分，111111lnlnlnlnlnlnZTNkZZTNkZNTSUFZZNkSBBB自由能四、积分并选积分常量为零至此，我们已经得到了一个粒子的各个热力学函数至此，我们已经得到了一个粒子的各个热力学函数与其配分函数的关系，然后在扩大与其配分函数的关系，然后在扩大N倍，
21、得到系统倍，得到系统的诸热力学函数。的诸热力学函数。解题方法解题方法：由单粒子的能量表示式写出粒子的配分函数，由单粒子的能量表示式写出粒子的配分函数，完成对粒子坐标和动量积分，配分函数是温度、完成对粒子坐标和动量积分，配分函数是温度、体积和粒子数的函数；在利用热力学函数与配分体积和粒子数的函数；在利用热力学函数与配分函数的关系，确定热力学函数和物态方程（即压函数的关系，确定热力学函数和物态方程（即压强的表达式）。强的表达式）。【例5.2】233212121332112222eee1e,;,6)3(3SF21222222mhVdpdpdpdxdydzhhdpdpdxdydzdpZdpdpdxdy
22、dzdpdpppzyxrpCUpppmVNzpmypmxpmVzyxpppmzyxzyxVzyxzyxzyx分子的配分函数为，则单原子，相体积元是为维相空间广义坐标，个平动自由度解：单原子分子有。和、，计算系统的分子能量为，积为个单原子分子组成，体的理想气体由可看成质点TTNkVFpmhVNkNkTFUSmhVTNkZTNkFNkTUCTNkZZNUBTBBBBBVVB2332331112ln232lnln23231量来计算。广延利用系统热力学函数是根据配分函数技术，再分别量、自由能、熵和压强系统的内能、定容热容第五章第五章 玻耳兹曼统玻耳兹曼统计计 一、玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计 二、二、配分
23、函数技术配分函数技术 四、四、玻耳兹曼统计的应用玻耳兹曼统计的应用小结和习题课小结和习题课动机和目的动机和目的三、能量均分定理三、能量均分定理5.3 5.3 能量均分定理能量均分定理内容：处于温度为内容：处于温度为T的平衡态的经典系统中，一个粒子的平衡态的经典系统中，一个粒子的能量的能量分配在每个独立平方项上的平均值等于分配在每个独立平方项上的平均值等于 。注释：注释：（1）平衡态：粒子按能级分布遵守玻尔兹曼分布；）平衡态：粒子按能级分布遵守玻尔兹曼分布；（2）独立平方项：自由度之间无关联（例如动量守）独立平方项：自由度之间无关联（例如动量守恒就不独立）；恒就不独立）；（3）历史上，用经典能量
24、均分定理计算双原子分子）历史上，用经典能量均分定理计算双原子分子热容量，在低温与实验不符，带来热容量，在低温与实验不符，带来20世纪初两朵乌云世纪初两朵乌云中的一朵。中的一朵。12Bk T21211111(,;,)211,iikrrkirpf p ppp qqppddWeZhdWZZdW 221211212r12i 1i 1ri11dd=dq dqdq dp dpdp dpdpdpiiiipfrpfirZedhedpedh 其中，证明：设粒子的能量表示为证明：设粒子的能量表示为1211112121212friffriZedhZedf edh 下面将的高斯积分积出，有111111121122ff
25、ffBfZedfedZedfedk Tfed 那么，一个粒子的平均能量：那么，一个粒子的平均能量：所以所以2211112222iiBiiBpfk Tfpk T 讨论讨论 ：（1 1）结果与动量平方前的因子无关；）结果与动量平方前的因子无关；（2 2）能量均分定理仅适用于经典情况；）能量均分定理仅适用于经典情况；（3 3）总能量为消除非独立平方项数目乘以）总能量为消除非独立平方项数目乘以 。12Bk T【例【例5.3】。能也就比后者小中运动的粒子的平均势因此，在前者势低了的极小点比势能势能：讨论等于那么，粒子的平均能量能量均分定律。全平方型，然后再运用先把势能项变成一个完解：衡态下的平均能量。均
26、分定理求出粒子在平，试用能量示式为已知一个粒子的能量表ababaxbxaxabkTabTkTkababxapmababxabxaxbxaxpmBBBxx4,4442121422142212222222222222242321214212214222142221)(21y221222222222222222222cTkTkTkcTkzpccpzpccpzppcpTcppxzpppBBBBzxzxzxxyxzyx为那么，粒子的平均能量能量写成：平方自由度，现将粒子能量均分定理要求独立解：平均能量等于什么？的平衡态下，该粒子的温度为。试问在方向的动量满足：和并且，粒子在式是兹曼统计，其能量表示已知一
27、个粒子遵守玻耳第五章第五章 玻耳兹曼统玻耳兹曼统计计 一、玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计 二、二、配分函数技术配分函数技术 小结和习题课小结和习题课动机和目的动机和目的 四、玻耳兹曼统计的应用四、玻耳兹曼统计的应用 三、三、能量均分定理能量均分定理5.4 玻耳兹曼分布的实际适用性玻耳兹曼分布的实际适用性经典玻耳兹曼统计适用于稀薄气体，即 jjNG3/212130326253256302exp7 106.02 103 1022.43 104 107 10BQQjjjBQjjmk TZVhNNGZk TmNmVNG 5.5 5.5 应用之一：量子谐振子应用之一：量子谐振子nn1n21n0n020NN1N
28、NBN12Z(T)eeexp()exp()121exp()2sinh2N1 Z(T)Z(T)12sinh()2 F=-k T ln Znnne 能量公式：配分函数:个谐振子组成的系统的配分函数为自由能：B1BNk T ln ZNk T ln 2sinh()2 TVT,NVNnFFNNFp0VFS=-T11U=F+TSNN2exp()-11nexp()1 ，化学势：压强：熵：内能：平均量子数：讨论：平均量子数的意义，它是系统被热激发所能到达的能讨论：平均量子数的意义，它是系统被热激发所能到达的能量，这个数在低温小，高温大。量，这个数在低温小，高温大。5.5 应用之二：气体热容量的量子理论应用之二
29、：气体热容量的量子理论一、动机一、动机（首先看量子统计与经典统计的异同首先看量子统计与经典统计的异同）能量均分定理能量均分定理计算气体和固体热容量，遇到困难计算气体和固体热容量，遇到困难 低温时与实验结果不符低温时与实验结果不符以经典统计为基础，以经典统计为基础，粒子能谱是连续的粒子能谱是连续的微观粒子遵守量子力学；微观粒子遵守量子力学；能量是分立的。能量是分立的。为什么将双原子分子组成的气体拿来研究？为什么将双原子分子组成的气体拿来研究？19世纪的最后一天，欧洲著名的科学家欢聚一堂。会上，英国著名物理世纪的最后一天，欧洲著名的科学家欢聚一堂。会上，英国著名物理学家汤姆孙（即开尔文男爵）发表了
30、新年祝词。他在回顾物理学所取得的伟学家汤姆孙（即开尔文男爵）发表了新年祝词。他在回顾物理学所取得的伟大成就时说，物理大厦已经落成，所剩只是一些修饰工作。同时，他在展望大成就时说，物理大厦已经落成，所剩只是一些修饰工作。同时，他在展望20世纪物理学前景时，却若有所思地讲道：世纪物理学前景时，却若有所思地讲道：“动力理论肯定了热和光是运动动力理论肯定了热和光是运动的两种方式，现在，它的美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了的两种方式，现在，它的美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了”。“第一第一朵乌云出现在光的波动理论上朵乌云出现在光的波动理论上”；“第二朵乌云出现在用第二朵乌云出现在用能量均分定理计算能
31、量均分定理计算气体比热以及辐射能谱与实验不符，也称紫外灾难气体比热以及辐射能谱与实验不符，也称紫外灾难”。引发了相对论和量子论的诞生引发了相对论和量子论的诞生 究其根源究其根源经典统计：经典统计：能量是坐标和动量的连续函数；能量是坐标和动量的连续函数；经典粒子可以编号。经典粒子可以编号。量子统计：能量是离散的；粒子不能编号，量子统计：能量是离散的；粒子不能编号，即全同粒子不可分辨。即全同粒子不可分辨。二、本节思路：二、本节思路：（1 1）承认量子力学给出的能谱结构，不要求从量子化）承认量子力学给出的能谱结构，不要求从量子化条件导出；条件导出；（2 2）在已知能谱情况下，计算双原子分子的）在已知
32、能谱情况下，计算双原子分子的Z Z、U U、CvCv，并求高温和低温近似表达式。并求高温和低温近似表达式。双原子分子运动分解双原子分子运动分解：质心平动；振动；转动。质心平动；振动；转动。12rzyx 经典 量子(1)能量:是(p,q)的连续函数 离散值(2)相格:一个相格相应一个 测不准原理 粒子的一个运动状态 同一种粒子不可(3)粒子:可编号 分辨，全同性原理(4)配分函数：理解为第i个能级 所对应的量子态数目，在量子力学中称为能级 的简并度。iirGehdeZiZ,iGii三、运动模式三、运动模式由量子力学解出其能级表达式：作了两点近似：略去了核外电子的能量；作了两点近似：略去了核外电子
33、的能量；略去了这三种运动形式之间的关联。略去了这三种运动形式之间的关联。几点讨论几点讨论：(1)(1)质心平动与经典一样；质心平动与经典一样；trizyxnhnIhllpppm21212122222（2）转动转动 是角动量的量子数，是角动量的量子数，为转动能级的简并度，即一能为转动能级的简并度，即一能级上可能的量子态数；级上可能的量子态数；随随 变化是因为角动量在空间某一方向上的投影也变化是因为角动量在空间某一方向上的投影也是量子化的，角动量量子数为是量子化的，角动量量子数为 时，共有时，共有 可能的可能的投影。投影。（3）振动）振动振动能级是无简并的振动能级是无简并的转动和振动最低能级：转动
34、和振动最低能级：12;,2,1,0,8)1(22lGlIhllrrrGrGlll12 l1;,2,1,0,21ttGnhnhtr21,0故一个双原子分子的能量表达式为故一个双原子分子的能量表达式为相应的简并度为相应的简并度为平动的能级是连续的，平动的能级是连续的，代表在代表在 中的状态数目。中的状态数目。四、配分函数，内能，等容热容量四、配分函数，内能，等容热容量(1)(1)(2)(2)trij1,12,)(triiitrijGlGdDGGGGGiGiiidtriZZZZNUZtri,ln220/0/)1(r1r22r0)1(0018T)12(Z,)12(),1(),(T(i)8/(h)12(
35、)12()(23)(,hTIkdyedleldlldyllyIkeleleZbNkCaBrTyTllBlTllllllmrBtVrrrrrml则入可用积分代替求和，引转动能级的间距很小，高温示式：求出转动热容的近似表现就高低温极限情况来为转动温度。式中，转动对热容的贡献给出正确的结果，来描写，能量均分定量质心平动仍用经典理论平动对热容的贡献TIkhBrVrrTIkhrBrTrBrVBrBBBeTkNIhCNUeIhTZTkZNkCTNkUTk2222r42222422121/2r1r1r4343lnlne31ZZ,T)ii(,贡献，那么求和中的前两项起主要在）低温（结果一致。与经典能量均分定理
36、的从而2v2vV11vv212121021021v12sinh2,11211/h2sinh212211Z)(TTNkUCNUeehZZkTeeeeeeecBVhhBhhhhnhnhnhn气体的定容热容量为双原子分子组成的理想分子的平均振动能量为称为振动特征温度。其中，振动配分函数为一个双原子分子的量子振动对热容的贡献与经典结果一致。热容量的贡献退化为振动对气体内能和定容示成将分子平均动能近似表时，利用当）高温（BBBBxBNkCTNkUTkhTkhhhhxexhTkvVvv,1221111121,11)1TVTxxxxxxxxxxBBeTNhUCNUehheheeeheeeeheehTkhxh
37、TkvvvvvVvv2442222222v,21212112121111121112112,)2容热容量贡献为则振动对气体内能和定写作，分子的平均振动能量令）低温（0.51.01.52.02.53.03.54.0VibrationRotationTranslationTCV/NkB vvr讨论讨论:(1)分子的振动的典型能量分子的振动的典型能量h 为零点几电子伏，相当于为零点几电子伏，相当于几几K K，若低于这个温度，分子的振动不能显现出来；，若低于这个温度，分子的振动不能显现出来；(2)(2)转动的典型能量的数量级转动的典型能量的数量级 为电子伏特的几百分之一，为电子伏特的几百分之一，在室温
38、下，在室温下，因此只有转动是重要的；因此只有转动是重要的；(3)(3)对很低的温度，例如对很低的温度，例如T=10KT=10K，只有平动是重要的，在室温，只有平动是重要的，在室温（T=300KT=300K）转动被激发了；当温度很高，振动才起作用。）转动被激发了；当温度很高，振动才起作用。I22eV,401TkB第五章第五章 玻耳兹曼统玻耳兹曼统计计 一、玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计 二、二、配分函数技术配分函数技术 动机和目的动机和目的三、三、能量均分定理能量均分定理四、四、玻耳兹曼统计的应用玻耳兹曼统计的应用 小结和习题课小结和习题课部分思考题解答部分思考题解答dppedxdydzhhdpdpd
39、xdydzdpeZpdppdpdpdpssppp|p|pppppNsaa|p|spVzyxzyxzyxzyxs203312222222241,432,|32,1的配分函数为在平衡态下，一个粒子穷大。的取值是从零到无这里坐标变换到球坐标系：，动量积分元从直角种情况的粒子配分函数球坐标系方法来计算两其实，都可以用就不好做定积分计算。情况，若还用这种方法，然而，对于情况可以用直角坐标系。因此则的动量大小，即代表粒子在三维空间中解：量。系统的内能和定容热容个这样的粒子组成的两种情况，计算由和为一常量，试就其中动量之间的关系为】已知某种粒子的能量【模拟试题对于对于s=2s=2情况，粒子的配分函数，进而系
40、统的内能情况，粒子的配分函数，进而系统的内能与定容热容量结果与与定容热容量结果与 例例5.25.2相同，略。相同，略。下面计算下面计算s=3s=3的结果。的结果。BVVBppNkTUCTNkNZZNUhVdpehVdppehVZ定容热容量是所以，系统的内能为11133032031434433有子的配分函数的关系，利用系统的熵与一个粒的粒子配配分函数写作而求和，那么，本题中以指数权重上相格数（简并度）乘义在于对所有粒子能级数的意的，而一个粒子配分函设这三个能级是非简并解：值。系统熵的极大值和极小时系统的熵；系统的配分函数和内能的大热源接触，计算：与温度为，设系统三个能级中的任何一个可处于能量为耳
41、兹曼分布，每个粒子个弱耦合的粒子服从玻模拟试题eeZcKTbaTN1)(0)()()0(,0,21eeeeNZZNUeeeeeeNkZZeNkSBB111lnlnln1111内能：讨论：由内能表示式可以看出：讨论：由内能表示式可以看出：U0。这是因为粒。这是因为粒子有三个可能的能级子有三个可能的能级-、0 0、，按玻耳兹曼分布律，按玻耳兹曼分布律，粒子在低能级的概率最大，所以系统的平均能量小粒子在低能级的概率最大，所以系统的平均能量小于零。于零。，极小值是极大值是。故系统熵的情况下，系统熵为即系统的熵为这一项，并考虑到，略去即03ln3ln0)(0ln1)1ln(,10,0)(maxmaxSNkSNkSTceNkeeeNkSeeKTbBBBB本本 章章 小小 结结1.掌握由朗格朗日乘子确定玻耳兹曼最概然统计，掌握由朗格朗日乘子确定玻耳兹曼最概然统计，会推导热力学函数与粒子配分函数的关系会推导热力学函数与粒子配分函数的关系；2.熟练计算单个粒子的配函数熟练计算单个粒子的配函数；3.能量均分定理的证明及其应用；能量均分定理的证明及其应用；4.双原子分子组成的理想气体的量子热容量。双原子分子组成的理想气体的量子热容量。
