1、4.1 单时期的随机模型单时期的随机模型 4.2 多时期库存模型多时期库存模型 精品课程运筹学第四节 随机型存储模型 确定型存储问题中，货物的需求是确定的，订货费用和计划期的存储费用都是已知的，甚至缺货的成本都作为常数来考虑。随机型存储问题最重要的特点是需求（速度）量是随机的 ，订货策略较复杂，实际的库存管理中，订货策略多种多样：按订单发出的条件来分，可分为警戒点订货法和定期订货法；按照订货量来分，可分为定量订货法与补充订货法。精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n4.1 单时期的随机模型单时期随机需求问题中最典型的是所谓报童问题，在一个时期只订货一次以满足整个时期的需求量，这种模型称之为单时
2、期随机需求模型。模型假设如下：在周期开始时做一次订货决策，设订货量为 瞬时供货 一个周期内需求量 是非负随机变量，其Qx精品课程运筹学第四节 随机型存储模型分布函数及密度函数都已知。初始库存量为零，且固定订购费也为零决策准则是使期望总费用达到最小或期望总收益最大。下面分别就离散型与连续型两种情况进行讨论 1.离散型随机模型设在一个时期 内，需求量 是一个非负的随机变量，假设 的取值为 ，相应的概率 已知，最优存储策略是使在 内Txxnxxx,21)(ixPT精品课程运筹学第四节 随机型存储模型总费用的期望值最小或收益最大。设 为供过于求时单位产品总成本（存储成本及买价）、为供不应求时单位产品总
3、成本（缺货成本）。1)总费用的期望值最小的订货量一个时期内的订货费为零（或常数），单位产品的获得成本已包括在 中。当需求为 时，市场上实际卖出产品数量将为 本期的缺货量为 ，bRbxxQ,minQx,0max精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n库存量 。因此总费用最小的订货模型只包括上述两项费用 n （7.4.1）由于取 离散值，所以不能用求导的办法而采用边际分析法求极值。为此最佳订货量 应满足 n ，当 时n ，当 时xQ,0maxQxxQiiiiiixPQxRxPxQbQf)()()()()(ix*Q)(*Qf)(Qf)(*Qf)(QfQQ*QQ精品课程运筹学第四节 随机型存储模型解之：
4、（7.4.2）2)总收益期望值最大的订货量当订货量 时,收益为 式中 为货物的卖出价，为货物购买价，为积压品的处理价（），为积压品仓储成本。)()(111riiriRbRixPxPQx)()(110 xQbxQpQpPxP1p01pp 1b精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n此时，收益的期望值为n当订货量 时，收益为n 式中为缺货成本，收益的期望值为：n总收益期望值为n =n +（7.4.3）)()()(11011iQxixPQbppxpbPiQx)(0QxRQpPxR)()()(0ixQixPQRpxRPi)(Qf)()()(11011iQxixPQbppxpbPi)()()(0ixQix
5、PQRpxRPi精品课程运筹学第四节 随机型存储模型 求其最优解，与（7.4.2）相同。报童问题:报童每天售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚 元，如报纸未能售出，每份赔 元。报童每日售出报纸份数 的概率 根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸?由于报纸的份数只能取整数，所以 与 同时成立 khixP)1()(*QfQf)1()(*QfQf精品课程运筹学第四节 随机型存储模型解之最优应满足：（7.4.4）n n例7.4.1 某设备上有一关键零件常需更换，更换需要量服从泊松分布，根据以往的经验平均需要量为5件，此零件的价格为100元件，若零件用不完，到期末就完全报废，若备件
6、不足，待零件损坏了再去订购就会造成停工损失180元，问应备多少备件最好？1*)(QihkkiP*)(QiiP精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n解：由于零件是企业内部使用，零件被耗用时不构成浪费，故认为这时被“售出”，其收益为未造成的停工损失，少损失即认为收益180元；零件未被耗用，认为出现“积压”造成浪费，损失的是成本100元。n泊松分布函数为 =0.6428查泊松分布表，=0.6159，=0.7621，即最好准备6件零件。,2,1,0,)(!xexPxxhkk100180180505!5xxex605!5xxex精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n例7.4.2 某货物的需求量在14至2
7、1件之间，每卖出一件可赢利6元，每积压一件，损失2元，问一次性进货多少件，才使赢利期望最大？表7.4.2需求量 1415161718192021概率 0.10.150.120.120.160.180.100.07累积概率 0.100.250.370.490.650.830.931.00精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n解：n =0.75可以看出 =0.65，=0.83。所以 取19最佳。2.连续型存储模型设需求量 为连续的随机变量，其概率密度为 ，此处 0。单位货物的购买hkk266180)(iiP190)(iiPQx)(xx精品课程运筹学第四节 随机型存储模型成本为 ，单位货物售价为 ，
8、计划期单位存储费为 元，可先不考虑缺货成本。设订货数量为 ，货物需求量为 ，此时货物的销量应为 。需支付存储费 。即只有有库存时，才支付存储费。本阶段的盈利 =-0pPbQxQx,min0),(maxxQb)(QwPQx,min0Qp0),(maxxQb精品课程运筹学第四节 随机型存储模型盈利的期望为 =-（7.4.5）上式后部分的期望，分别是因缺货失去销售机 会出现损失、因滞销出现仓储费及购买价，而 =-易看出：求盈利最大与求损失期望最小是等价的)(QwE)(xPEQQQpdxxxQbdxxQxP00)()()()(max)(QwE)(xPEmin)(QCE精品课程运筹学第四节 随机型存储模
9、型利用 是 的连续、可微函数，要求 =0即可得出 应满足下面方程：n =（7.4.6）并且可验证此为最优解。n当模型中期末的存货在当期必须处理时：满足 =（7.4.7）如果缺货时还要付出费用 ，则 满足 =（7.4.8)(QwEQdQQwdE)(QQdxx0)(PbpP0*QQdxx0)(hkkPRQQdxx0)(RbpR0精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n例7.4.3 某时装商店计划冬季到来之前订购一批款式新颖的皮制服装。每套皮装进价是1000元，估计可以获得80的利润，冬季一过则只能按进价的50处理。根据市场需求预测，该皮装的销售量服从参数为160的指数分布，求最佳订货量。n 解：已知
10、 1000，1800，=500，n 800，5000pP1pkh精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n由n临界值为 =0.6154 n =1-=0.6154 n =-60 57（件）otherwise00 x)(601601，xex500800800Qxdxe060160160Qe*Q3846.0ln精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n4.2 多时期库存模型n多时期库存模型是考虑时间因素的一种随机动态库存模型，与单时期库存模型的不同之处在于：每个周期的期末库存货物对于下周期仍然可用。最常用的是 策略。1需求是随机离散的多时期(s，S)库存模型模型的特点在于订货的机会是周期出现。假设在一个阶段
11、的开始时原有库存量为 ，若供不应求，则需承担缺货损失费；若供大于求，Ss,0Q精品课程运筹学第四节 随机型存储模型 则多余部分仍需库存起来，供下阶段使用。当本阶段开始时，按订货量 ，使库存水平达到 ，则本阶段的总费用应是订货费、库存费和缺货费之和。设货物的单位成本为 ，单位库存费为 ，缺货损失为 ，每次订货费为 ，需求为 ，概率分布为 ，为方便可设 。解得 （7.4.9)QQQS00pbRaix)(ixP1iixx1121)()(0riibRpRriixPxP精品课程运筹学第四节 随机型存储模型 例7.4.3设某企业对于某种材料每月需求量的资料如下：需求量 （吨）556475828890100
12、110概率0.050.100.150.150.200.100.150.10累积概率0.050.150.300.450.650.750.901.00)(ixP精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n每次订货费为400元，每月每吨保管费为40元，每月每吨缺货费为1400元，每吨材料的购置费为752元，该企业欲采用 库存策略来控制库存量，试求出 之值。n解：由题知 =752元 ，=40元，n 1400元。n临界值 =0.45。n由 ，=82吨。Ss,S0pbRbRpR04131)(45.0)(iiiixPxPS4x精品课程运筹学第四节 随机型存储模型n如 =40吨，则需补充42吨货物。此时期望费用为4
13、2652元.n2.需求是随机连续的多时期()模型n设货物的单位成本为 ，单位库存费为 ，单位缺货损失费为 ，每次订货费为 ，假定滞后时间为零，需求 是连续的随机变量，概率密度为 ，期初库存量为 Q0，订货量为Q。确定 ，使总费用的期望值最小。0QSs,0pbRax)(xQ精品课程运筹学第四节 随机型存储模型现考虑的费用有订购费、库存费、缺货损失费。解之 （7.4.10）称 为临界值，由上式可定出 ，再由 可确定最佳订货量。例7.4.4某商场经销一种电子产品，根据历史资料，该产品的销售量服从在区间50，100的均匀分布，每台产品进货价为3000元，单位库存费为40元，若缺货，商店为了维护自己的
14、SbRpRdxx00)(bRpR0S0QSQ精品课程运筹学第四节 随机型存储模型信誉，将以每台3400元向其他商店进货后再卖给顾客，每次订购费为400元，设期初无库存，试确定最佳订货量及 值。解：由题知 =3000，=40，=3400，=400，临界值 =0.1163S0pbRa34004030003400精品课程运筹学 第四节 随机型存储模型n 50n 其他由 =0.1163n 56（台），56（台）n此时，费用期望值为n +n +=235792（元）0)(501x100 xSdxx0)(S0QSQ)(Sf563000400dxx560501)56(40dxx10056501)56(3400精品课程运筹学
