1、2学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点：直线间的夹角、平面间的夹角、直线重点：直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的定义与平面的夹角的定义难点：用向量法难点：用向量法(“基底法基底法”“”“坐标法坐标法”)解决解决线线角、线面角、面面角的计算线线角、线面角、面面角的计算新知初探思维启动新知初探思维启动1.直线间的夹角直线间的夹角(1)共面直线的夹角共面直线的夹角当两条直线当两条直线l1与与l2共面时，我们把两条直线交共面时，我们把两条直线交角中，范围在角中，范围在_内的角叫作两直线的内的角叫作两直线的夹角如图夹角如图1所示所示 图图1(2)异面直线的夹角异面直线的夹角当
2、直线当直线l1与与l2是异面直线时，在直线是异面直线时，在直线l1上任取一上任取一点点A作作ABl2，我们把直线，我们把直线l1和直线和直线AB的夹角的夹角叫作异面直线叫作异面直线l1与与l2的夹角如图的夹角如图2.图图2(3)空间直线夹角的求解空间直线夹角的求解空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定，如图角确定，如图3.图图3s1，s22.平面间的夹角平面间的夹角(1)平面间夹角的概念平面间夹角的概念如图，平面如图，平面1和和2相交于直线相交于直线l，点点R为直线为直线l上任意一点，过点上任意一点，过点R，在平面，在平面1上上作直线作直线l1l，在
3、平面，在平面2上作直线上作直线l2l，则，则l1l2R，我们把直线，我们把直线_叫作平面叫作平面1与与2的夹角的夹角l1和和l2的夹角的夹角n1，n2做一做做一做3.已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面间的夹角为，则两平面间的夹角为()A45B135C45或或135 D903.直线与平面的夹角直线与平面的夹角(1)直线与平面夹角的概念直线与平面夹角的概念平面外一条直线与平面外一条直线与_的的夹角叫作该直线与此平面的夹角如图夹角叫作该直线与此平面的夹角如图它在该平面内的投影它在该平面内的投影如果一条直线与一个平面平行或在平面内，如果一条直线
4、与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为条直线与平面的夹角为.由此可得由此可得,直线与平面夹角的范围是直线与平面夹角的范围是_.典题例证技法归纳典题例证技法归纳直线间的夹角直线间的夹角 在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知中，已知AB4，AD3，AA12，E，F分别是线段分别是线段AB，BC上的点，且上的点，且EBFB1.求直线求直线EC1与与FD1所成角的余弦值所成角的余弦值【解解】如图，以如图，以D为原点，分别以为原点，分别以DA，D
5、C，DD1所在的直线为所在的直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴分别建立空间直角坐标系，轴分别建立空间直角坐标系，则则E(3，3，0)，F(2，4，0)，D1(0，0，2)，C1(0，4，2)【名师点评名师点评】求线线夹角时应注意线线夹求线线夹角时应注意线线夹角的范围为角的范围为0，90，所以若求得余弦值为，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角，所以求完后一负数，则线线夹角为其补角，所以求完后一定要说明定要说明求平面间的夹角求平面间的夹角 如图是一个直三棱柱如图是一个直三棱柱(以以A1B1C1为底面为底面)被一平面所截得的几何体，被一平面所截得的几何体，截面为截面为ABC.已知已知A1B1B1
6、C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13，求平面，求平面BAC与平面与平面ACC1A1夹角的大小夹角的大小【解解】如图，以如图，以B1为原点，为原点，B1C1，B1A1，B1B所在直线分别为所在直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立空间轴建立空间直角坐标系，则直角坐标系，则A(0，1，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)变式训练变式训练求直线与平面的夹角求直线与平面的夹角【思路点拨思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角求角时有两种思路：一是由定义
7、找出线面角,取取A1B1的中点的中点M，连接，连接C1M，证明，证明C1AM是是AC1与面与面AB1所成的角；另一种是利用平面所成的角；另一种是利用平面AB1的法向量的法向量n(，x，y)求解求解名师微博名师微博这是得分点，指明所求角的位置这是得分点，指明所求角的位置.变式训练变式训练1.如图，在空间直角坐标系中有长方体如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线，直线BD与平与平面面AA1B1B的夹角为的夹角为30，F是是A1B1的中点的中点求平面求平面BDF与平面与平面AA1B1B夹角的余弦值夹角的余弦值方法技巧方法技巧1.利用空间向量求线线角、线面角的
8、关键是利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握方法，解题时要灵活掌握2.利用向量方法求两平面夹角的方法分为二类利用向量方法求两平面夹角的方法分为二类：一类是找到或作出两平面夹角的平面角，：一类是找到或作出两平面夹角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用然后利用向量去计算其大小；另一类是利用两平面夹角的两个平面的法向量所成的角与两平面夹角的两个平面的法向量所成的角与两平面夹角的平面角的关系去求后一类需两平面夹角的平面角的关系去求后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系.失误防范失误防范求两平面夹角时，应根据图形判断求两平面夹角时，应根据图形判断为钝角还为钝角还是锐角，从而求出是锐角，从而求出(或三角函数值或三角函数值)知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
