1、九年级培优专题(二)一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：若 ax2bxc0(a0)的两根分别是x1，x2，则 _，x1x2bax1x2ca 注意：一元二次方程的根与系数的关系的前提是方程是_(即二次项系数_)且_一元二次方程a0b24ac0_.知识点一：一元二次方程的根与系数的关系、不解方程，求下列方程的两根和与两根积。X3X+1=0 X22X=2 X+5X-10=0重点基础回顾练习：212xx21xx411412，xx，xx的两个根014为方程设221则：则：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214xx 2、求值求值另外几种常
2、见的求值另外几种常见的求值2111.1xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx小结：小结：求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时,一般一般先将所求的代数式化成含两根之和与两先将所求的代数式化成含两根之和与两根之积的形式根之积的形式,再整体代入再整体代入.一元二次方程的根与系数的关系在解方程中的应用非常广泛，这一类问题可归结为四种类型：(1)不解方程检验方程的解；(2)已知方程的解构建方程；(3)求关于方程两根的代数式的值；(4)已知关于方程两根的代数式的值，求方程中字母的系
3、数知识点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【例 1】已知方程 x24xm0 的一个根为2，求方程的另一根及 m 的值思路点拨：根据根与系数的关系，可求出两根的和与两根的积，将已知的根代入即可求出另一根及 m 的值解：设原方程的两根为 x1，x2，则 x1x24，x1x2m.x12，x24x16，mx1x212.即方程的另一根是 6，m 的值为12.【跟踪训练】1已知 x1 是方程 x2bx20 的一个根，则方程的另一个根是()CA1B2C2D12方程 6x2 3x20 的两根之和是_，两根之积是_13123、如果、如果2是方程是方程 的一个根，则另一个根是的一个根，则另一个根是_=_。06
4、2mxx8 44、已知关于、已知关于x的方程的方程012)1(2mxmx当当m=时时,此方程的此方程的两根互为相反数两根互为相反数.当当m=时时,此方程的此方程的两根互为倒数两根互为倒数.11分析分析:1.10121mmxx，2.111221mmxx，x1x2bax1x2ca 若二次项的系数为1，xmxn0 则有：x x m x x n【例 2】已知方程 x23x20，不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的 2 倍思路点拨：如果原方程的两个根为 x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2.则所求方程为y2(2x12x2)y2x12x20，只要求
5、出 x1x2，x1x2 便可解出解：设原方程的两根为 x1，x2，则新方程的两个根为 2x1，2x2.又x1x23，x1x22，2x12x26,2x12x28.可设所求作的方程为y2(2x12x2)y2x12x20.即 y26y80.【例 2】已知方程 x23x20，不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的 2 倍【跟踪训练】5请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程_x2x60(答案不唯一)6任写一个一根为1，另一根大于 0 小于 1 的一元二次方程_【例 3】设x1，x2是关于x的方程x2(m1)xm0(m0)思路点拨：本题是对根的判别式和根与
6、系数关系的综合考查，因为方程有两个实数根，所以b24ac0，求出m 的取求解解：(m1)20，对于任意实数 m，方程恒有两个实数根 x1，x2.又x1x2m1，x1x2m，且 m0，3m32m.m3.【例 3】设x1，x2是关于x的方程x2(m1)xm0(m0)【跟踪训练】7已知关于 x 的一元二次方程 x26xk10 的两个实DA8B7C6D58已知方程 x23xm0 的两根为 x1，x2，当 m 为何值时，3x1x24.解：3x1x24，3(x1x2)4x24.x1x23，9 9、已知方程的两个实数根、已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。解：由根与系数的关系得解：由根与系
7、数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k，X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+X X2 2 2=4=4 即即(X X1 1+X X2 2)2-2-2X X1 1X X2 2=4=4 K K2 2-2(k+2-2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 =K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时，0 0当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2 k=-2解得解得k=4 或或k=2022kkxx2,1xx42221xx1010、以方程、以方程X X2 2+3X-5=0+3X-5=0的的两个根的相反数两个根的相反数为根的方程
8、为根的方程是（是（）A、y y2 23y-5=0 B3y-5=0 B、y y2 23y-5=0 3y-5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、y y2 23y3y5=05=0B分析分析:设原方程两根为设原方程两根为 则则:21,xx5,32121xxxx新方程的两根之和为新方程的两根之和为3)()(21xx新方程的两根之积为新方程的两根之积为5)()(21xx故所求方程为故所求方程为y y2 23y-5=0 3y-5=0 11、点、点p(m,n)既在反比例函数既在反比例函数 的的图象上图象上,又在一次函数又在一次函数 的图象上的图象上,则以则以m,n为根的一元二次方程为为根的一元二次方程为(二次项系数为二次项系数为1):)0(2xxy2 xy解解:由已知得由已知得,mn22 mn即mn=2 m+n=2所求一元二次方程为所求一元二次方程为0222 xx
