1、 15. .2. .2 分式的加减分式的加减( (第第 1 课时课时) ) 人教版义务教育课程标准教科书人教版义务教育课程标准教科书数学数学 （八年级上册第十五章）（八年级上册第十五章） 授课教师：授课教师： 刘红红刘红红 天津市西青区张家窝中学天津市西青区张家窝中学 指导教师：指导教师： 刘金英刘金英 天津市天津市中小学中小学教育教学研究室教育教学研究室 吴世镜吴世镜 天津市西青区教育教学研究室天津市西青区教育教学研究室 边明星边明星 天津市西青区张家窝中学天津市西青区张家窝中学 2015 年年 10 月月 中国教育学会第九届中国教育学会第九届初中青年初中青年 数学教师优秀课数学教师优秀课展
2、示展示活动活动 1 教学设计教学设计 一、一、内容和内容解析内容和内容解析 1 1. .内容内容 分式的加减法法则. . 2 2. .内容解析内容解析 本节课内容属于义务教育数学课程标准 （2011 年版）中的“数与代数”领域，是在小学学习了 分数的加减运算，初中学习了整式加减、多项式的因式分解、分式的基本性质和分式乘除运算的基础 上，利用“数式通性” ，通过类比研究整式加减的方法和分数的加减法运算，进一步研究分式的加减法 运算因此，分式的加减运算是分数加减运算的抽象和深化.同时分式的加减运算又是后续学习分式的 混合运算及分式方程的基础，在本章中起着承上启下的作用. 首先，分式的加减法法则是对
3、分数的加减法法则的抽象，两者的本质是一样的.教学中先回顾分数 的加减法法则，再引申出分式的加减法法则，从而在学生的“最近发展区”得到响应，体现由“数” 到“式”的发展过程.本节课的核心内容是分式的加减运算，而分式的加减运算的核心内容是“数式通 性”. 其次， 分式加减法法则分别用文字形式和符号形式进行了表述.类比分数加减法则首先出现文字表 述，在学生理解后，适时地提出如何用符号形式表述法则的问题，引导学生运用数学符号语言表达法 则.这样处理不仅可以加深学生对法则本身的理解，还可以锻炼他们用数学式子表达数学关系的能力， 渗透符号意识. 再次，对于分式加减法法则的教学，不仅要清楚它们的算理，而且还
4、要安排相应的例题进行示范， 以规范学生的解题格式，培养学生良好的学习习惯.因此，本节课安排了例题及不同层次的练习，用以 巩固本节课所学知识，及时反馈目标达成情况，提高学生的运算能力. 最后，分式的加减法中蕴含着丰富的数学思想和研究问题的方法： 1.本节课通过两个实际问题工作效率问题、增长率问题，说明分式的加减法有着丰富的实际 背景和广泛的应用，通过对这两个实际问题的数学化，潜移默化地向学生渗透数学模型思想. 2.在进行分式加减运算时，由于分母有相同和不同之分，所以对同分母和异分母分式的加减，得 出对应的结论，即“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变 为同分母的
5、分式，再加减”，体现了分类讨论的研究方法. 3.由整式加减的研究思路得出分式加减的研究思路， 分数的加减法法则得出分式的加减法法则,体 现解决问题的基本策略即类比的研究方法. 4.将异分母分式的加减转化为同分母的分式加减,最终转化为分子的整式加减运算， 体现了化归的 思想方法. 基于以上分析,确定本节课的教学重点确定本节课的教学重点:分式的加减法法则和简单运算，以及本节课所蕴含的数学 思想方法. 2 二、二、目标目标和目标解析和目标解析 1 1. .目标目标 （1）理解分式的加减法法则，体会类比思想. （2）会运用法则进行分式的加减运算,体会化归思想. （3）在探究法则及运用法则解决问题的过程
6、中，提高观察、分析、归纳及概括能力. 2 2. .目标解析目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能类比分数的加减法法则得出分式的加减法法则，通过分数的加减 法体会分式的加减法，能用文字语言和符号语言表示分式的加减法法则. 通过分数的加减运算法则抽象得到分式加减运算法则，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过 程，体会从特殊到一般的研究问题的方法. 达成目标（2）的标志是：学生能对两个或三个分式进行加减运算（含整式与分式的加减运算） ， 明确异分母分式必须化为同分母分式才能进行加减运算，体会化归思想在异分母分式加减运算中的作 用. 达成目标（3）的标志是：在探究分式的加减法法则的过程中，通过学生独
7、立思考、互相交流，引 导学生归纳概括出分式加减的法则，提高学生的归纳及概括能力；在学生自主完成练习后，通过订正 习题、交流不同解法，提高学生观察及分析能力. 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 在进行异分母分式的加减运算时，通常要经历找最简公分母、通分、加减、化简这 4 个步骤，由 于步骤多，运算量大，综合性强，学生很容易出错. 常遇到如下问题： （1）找不准最简公分母. （2）当进行分式与整式的加减计算时，不能把这个整式看作分母为 1 的式子. （3）当分子相减时，若减式的分子是多项式，计算时没有将分子用括号括起来.（忽视了分数线 的括号作用） （4）运算结果没有化为最简分式或整式.
8、（5） 进行异分母分式加减运算时， 按法则先通分进行运算， 不能根据题目特点约分后再进行计算， 存在思维定势，不能具体问题具体分析. 教学时,应注意进行有针对性的引导，如结合题目引导学生如何找最简公分母，结果要化成最简， 具体问题具体分析等. 本节课的教学难点是：本节课的教学难点是：异分母分式的加减运算. 四、学情分析四、学情分析 学生在小学已经学过分数的加减，分数的加减运算相关内容和学习方法为学习分式的加减法运算 3 搭好了“脚手架”. 七年级已经类比数的运算，研究了整式加减运算，研究整式加减的过程和方法为研究分式的加减 积累了经验. 在本章前面已学过分式的基本性质、约分与通分、分式的乘除，
9、而这些内容的展开都非常重视分 数与分式的联系，利用“数式通性” ，充分考虑了“从具体到抽象，从特殊到一般”的认识过程，这些 已有的知识和经验使学生具备了学习分式加减法则的基础. 八年级学生已经具备一定的运算能力，但对于运算的准确性和算法的选择存在一定的困难，如在 进行分式的减法运算时，忽略分数线的括号作用，不能将分子的整式用括号括起来，从而造成运算错 误.还有的学生在进行异分母分式加减运算时，只知道按法则通分进行运算，不能根据题目特点约分后 再进行计算，存在思维定势，不能具体问题具体分析. 五五、教学策略分析教学策略分析 1.“先行组织者”教学策略.在“创设情景，提出问题”这一环节，引导学生类
10、比整式加减运算的 研究路径，引出本节课学习的分式加减运算的研究路径，为新知学习提供研究线索和研究方法. 2.“问题导学”教学策略.教师通过设置“问题串” ，利用类比的思想，采用启发式教学，引导学 生回顾分数的加减法法则，类比得出分式的加减法法则，最大限度地调动学生“合情推理”的因素， 从而在学生的“最近发展区”得到响应，以确保学习知识的“正迁移” ，从而体现由数到式的发展过程. 3.“多媒体辅助”教学策略.使用多媒体课件，及时反馈学生的课堂达成情况，激发学生的学习兴 趣.同时，增大课堂容量，提高课堂效益. 4.“评价反思”教学策略.在归纳小结环节，引导学生回顾本节课的学习内容及研究过程，针对学
11、 习过程反思新知的研究方法，完善学生的认知结构，培养学生良好的学习习惯，从而逐步做到学会学 习. 5.“分层递进”教学策略.在运用分式加减法法则环节，为学生搭建自主探索、合作交流的平台， 展示学习成果，反馈学习疑难.在展示中比较优劣，通过分析题目的显著特点，来灵活运用方法技巧解 决问题，从而达到“用法则而不拘泥于法则”的程度；在反馈中进行调控，通过富有针对性的提问、 指导，从而面向全体，为不同层次的学生提供学习机会和恰当的帮助，提高课堂实效性在布置作业 环节，通过设置不同层次的作业让不同的学生在数学上得到不同的发展，增加学习的兴趣. 六六、教学支持条件分析教学支持条件分析 根据本节课教材内容的
12、特点，采用多媒体辅助教学.在教学过程中，利用 Seewolink 教学软件，通 过手机拍照，将学生所做练习同步传输到电脑屏幕，结合电子白板的功能完成批注，形象、直观的呈 现素材，及时反馈学生的课堂达成情况，提高课堂效率，激发学生的学习兴趣，体现数学课堂的“现 代感”. 七、七、教学过程设计教学过程设计 4 (一)创设情境，创设情境，提出问题提出问题 问题问题 1 我们是如何研究整式的加减运算的？我们是如何研究整式的加减运算的？ 师生活动：师生活动：教师提出问题，学生独立思考并回答问题，师生共同完成. 追问：追问：你能类比整式加减运算的研究过程和方法，试着说出分式加减运算的过程和方法吗？ 师生活
13、动：师生活动：教师提出问题，学生独立思考并回答问题. 【设计意图设计意图】学生已有了研究整式加减运算的活动经验，通过问题引导学生回忆整式加减运算研 究的过程与方法，然后类比整式加减的研究，启发学生勾画出分式加减运算研究的过程与方法，引导 学生建构本节课的研究思路，明确类比对象，逐步养成用代数研究的“基本策略”思考问题的习惯.同 时，通过类比，使学生对本节课的内容有了一个整体的认识，使他们在后续学习与研究中增强学习的 预见性与主动性. 问题问题 2 （1）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程.请用 含有n的式子表示：甲工程队一天完成这项工程的 ；乙工程队一天完
14、成这项工程 的 ；两队共同工作一天完成这项工程的 . （2）若 2009 年，2010 年，2011 年某地的森林面积分别是 10km 2 ,15km 2 ,24km 2 ,请用算式表 示：2011 年的森林面积增长率是 ；2010 年的森林面积增长率是 . 若 2009 年,2010 年,2011 年某地的森林面积(单位: km 2 )分别是 1 s ， 2 s ， 3 s ，请用含有 1 s ， 2 s , 3 s 的式子表示：2011 年的森林面积增长率是 ；2010 年的森林面积增长率 是 ；2011 年与 2010 年相比，森林面积增长率提高了 . 师生活动：师生活动：教师提出问题，
15、学生独立思考并写出答案.如果学生存在问题,教师可适时启发引导. 在解决问题 2 的第（2）组练习时,让学生明确年增长率的含义,通过具体数字帮助学生理解其意义. 【设计意图设计意图】通过这两个实际问题，说明分式的加减法有着丰富的实际背景，为引出分式的加减 法作铺垫 ( (二二) )类比探究，解决问题类比探究，解决问题 1. .探索探索同分母同分母分式加减法法则分式加减法法则 问题问题 3 (1)请计算： 5 2 5 1 =( )， 5 2 5 1 =( ) . (2)请思考： cc 21 =( ), cc 21 =( ) . 你能类比同分母分数的加减法法则说出同分母分式的加减法法则吗？ 师生活动
16、：师生活动：学生回答问题,相互补充.在教师的引导下,学生给出同分母分数的加减法法则，再通过 类比得出同分母分式的加减法法则: “同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减”. 追问追问：你能用式子表示同分母分式的加减法法则吗？ 5 师生活动：师生活动： ( (学生自主学习， 小组讨论汇报， 师生归纳总结学生自主学习， 小组讨论汇报， 师生归纳总结) )教师指导学生完成， 得出 c a c b = c ba . 教师引导学生得出同分母分式的加减法可转化为分子整式相加减，让学生感受转化思想. 【设计意图设计意图】从学生已有的数学经验出发，经历由特殊的同分母分数
17、加减法法则到一般的同分母分 式加减法法则的类比过程， 感悟数式通性， 体会一般化及类比的方法在解决数学问题时的重要价值 同 时，引导学生对分式的加减法法则用文字语言和符号语言分别进行表述，这样处理不仅加深学生对法 则本身的理解，而且可以渗透符号意识. 2. .运用同分母分式加减法法则运用同分母分式加减法法则 计算: (1) xx x11 ； (2) 1 13 1 12 1 b a b a b a ； (3) 2222 235 yx x yx yx . 师生活动师生活动：学生独立完成，三名学生板书,师生共同订正.教师强调书写格式的规范性，强调计算 结果一定要化成最简分式， 如将 （1） 的结果
18、x x 化为 1， (3)的结果 22 33 yx yx 化为最简分式 yx 3 .对于(2)， 要强调当分子为多项式时，要添加括号. 【设计意图设计意图】初步运用同分母分式的加减法法则进行简单计算，规范分式加减运算的步骤和格式. 通过运用同分母分式加减法法则进行计算，培养学生的运算能力. 3. .探索异分母分式加减法法则探索异分母分式加减法法则 问题问题 4 (1)请计算： 3 1 2 1 =( )， 3 1 2 1 =( ) . (2)请思考： db 11 =( ), db 11 = ( ) . 你能类比异分母分数加减法法则说出异分母分式的加减法法则吗？ 师生活动：师生活动：学生回答问题,
19、相互补充.在教师的引导下,学生给出异分母分数的加减法法则，再通过 类比得出异分母分式的加减法法则: “异异分母分式相加减，分母分式相加减，先通分先通分, ,变为同分母的分式变为同分母的分式, ,再再加减加减”. . 追问追问：你能用式子表示异分母分式的加减法法则吗？ 师生活动：师生活动：教师与学生共同完成.得出 d c b a = bd ad bd bc = bd bcad .教师引导学生得出异分母分式 的加减法可转化为同分母分式相加减，让学生再次感受转化思想. 【设计意图设计意图】从学生已有的数学经验出发，经历由特殊的异分母分数加减法法则到一般的异分母分 式加减法法则的类比过程， 感悟数式通
20、性， 体会一般化及类比的方法在解决数学问题时的重要价值 通 过用式子表示异分母分式的加减法法则，渗透符号意识. 4. .运用运用异异分母分式加减法法则分母分式加减法法则 例 计算: qpqp32 1 32 1 . 师生活动：师生活动：师生共同分析，解答.教师强调找准最简公分母后再通分. 6 【设计意图设计意图】初步运用异分母分式的加减法法则进行简单计算，规范分式加减运算的步骤和格式. 练习 1 计算：(1) 22 3 1 2 1 cddc ； (2) ba ba a 1 22 . 练习 2 计算：(1) 1 1 2 a a a ； (2) 22 2ab abab . 师生活动：师生活动： 学生
21、独立完成练习,利用 Seewolingk 软件和白板展示运算过程,师生共同订正.教师引导 学生注意解题过程中出现的问题.在计算练习 1 中的(1)题时，应引导学生找出正确的最简公分母；(2) 中则再次强调分子是多项式时， 要加括号. 在计算练习 2 中的(1)题时， 由于是分式与整式的减法运算， 应将整式看作是分母为 1 的“分式” ，再作计算；在计算练习 2 中的(2)题时,通过“通分、计算、再约 分”与“先约分，再计算”的解法对比，体会解法优化所带来的“运算的简捷性”.师生交流，达成共 识：应注意先观察式子的特点，参与运算的分式不是最简分式，应该先将其化为最简分式，再作减法 计算. 【设计
22、意图设计意图】(1)通过练习使学生进一步理解分式的加减法法则，会运用它们进行简单分式的加减 运算；(2)学生经历将异分母分式化归为同分母分式的过程，体会化归的作用；(3)在学生自己独立思 考解答练习 2 后，教师利用 Seewolingk 软件和白板将学生值得集体思考的做法展示出来，在展示中比 较优劣，从而把对知识的认知提升一个层面.同时，通过分析题目的特点，引导学生灵活运用方法技巧 解决问题，从而提高学生的运算能力. 练习 3 你能应用本节课所学的知识解决 “问题 2”吗？ 解：(1) 3 11 nn = 3 3 nn n + 3nn n = 3 32 nn n . (2) 2 23 S S
23、S 1 12 S SS = 21 231 SS SSS 21 122 SS SSS = 21 21 2 22131 SS SSSSSSS = 21 2 231 SS SSS . 即 2011 年与 2010 年相比，森林面积增长率提高了 21 2 231 SS SSS . 师生活动：师生活动：教师提问，学生在导学案上完成并展示，教师巡视和指导，师生交流. 【设计意图设计意图】通过这个练习，让学生应用分式的加减法法则解决简单的实际问题，并在此过程中体 会分式的加减法在解决实际问题时的重要作用. （三三）归纳小结，）归纳小结，反思提高反思提高 问题问题 5 （1）分式加减法的法则是什么？在运用法则
24、计算的过程中，需要注意哪些问题？ （2）通过本节课的学习，你学到了哪些解决数学问题的方法？能举例说明吗？ 师生活动：师生活动：教师引导，学生思考、回答，师生共同完成. 【设计意图设计意图】引导学生从知识内容和思想方法等方面总结自己的收获，体会类比方法在学习分式的 加减法中的作用，进一步感悟数式通性，体会化归思想，积累解题经验同时，让学生学会反思，养 7 成良好的学习习惯. （四四）分层分层作业，巩固作业，巩固提高提高 1.必做题：教科书 P146 习题 15.2 第 4,5 题. 2.选做题： 观察下面的变形规律： 21 1 =1 2 1 ， 32 1 = 2 1 3 1 ， 43 1 = 3
25、 1 4 1 ， 解答下面的问题： 若 n 为正整数，请你猜想 1 1 nn = . 证明你猜想的结论； 求和： 21 1 + 32 1 + 43 1 + nn1 1 + 1 1 nn . 【设计意图设计意图】 分层作业， 使 “人人都能获得良好的数学教育， 不同的人在数学上得到不同的发展.” 第 1 题“必做题”是帮助学生巩固基础知识和基本技能；第 2 题“选做题”是为学有余力的学生设置的， 主要是培养学生综合运用能力. 八、八、板书设计，突出重点板书设计，突出重点 【设计意图设计意图】第一块黑板分成左右两部分，它们对课堂所起的作用分别是：左边让学生明确知识 要点和相应的数学思想、方法，突出
26、本节课的重点；右边是解题板书，给学生示范.第二块黑板以学生 的板书为主，根据问题的难易程度，让不同的学生板书，激励学生上课认真听讲，吸收有价值的相关 知识和方法. 该板书设计突出本节课的核心内容，能够有效利用黑板，起到辅助教学、提高课堂教学 效益的作用. 九九、目标检测设计目标检测设计 1. .计算计算 11 1 a a a 的结果为（的结果为（ ） A. . 1 1 a a B. . 1 a a C. . 1 D. . a1 5.2.2 分式的加减(1) 一、同分母分式相加减，同分母分式相加减， 例题 分母不变，把分子相加减分母不变，把分子相加减. . c a c b = c ba 二、异分
27、母分式相加减，先通分异分母分式相加减，先通分, , 变为同分母的分式变为同分母的分式, ,再加减再加减. . d c b a = bd ad bd bc = bd bcad . 转 化 通 分 8 【设计意图设计意图】考查同分母分式的加减运算. 2. .化简化简 x x x 3 1 9 2 2 的结果是的结果是 . . 【设计意图设计意图】考查异分母分式的加减运算. 3. .计算下列各题： (1) a b a b1 ； (2) yx yx yx yx 32 4 32 3 ； (3) 16 2 4 1 2 x x x ； (4) 1 1 2 x x x . 【设计意图设计意图】观察题目特点，灵活运用法则，积累解题经验，提高运算能力. 4. .某单位全体员工计划在植树节义务植树某单位全体员工计划在植树节义务植树 240 棵，原计划每小时植树棵，原计划每小时植树 a 棵， 实际每小时植树的棵数棵， 实际每小时植树的棵数 是原计划的是原计划的 1. .2 倍，那么实际比原计划提前了倍，那么实际比原计划提前了 小时小时完成任务（用含完成任务（用含 a 的代数式表示）的代数式表示） 【设计意图设计意图】考查建模思想及运用分式加减法解决实际问题的能力.
