1、2、写出、写出 3,7 的算术平方根的算术平方根_1、平方根的定义是什么？、平方根的定义是什么？算术平方根的定义是什么？算术平方根的定义是什么？一一.情境情境:3、面积为面积为S的正方形的边长是的正方形的边长是_4、物体下落到地面所用时间、物体下落到地面所用时间t与落时距与落时距地面高度地面高度h间的关系为间的关系为h=5t2,用用h表示表示t为为_7,3,S,5h，731.都带二次根号都带二次根号2.被开方数没有负数被开方数没有负数.0aa 形如形如 的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式二二.探究探究:所得的各代数式的共同特点是什么？所得的各代数式的共同特点是什么？表示算术平方根的代数式表示
2、算术平方根的代数式3.双重非负性双重非负性.a00a,5h,Sa可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.形形质质两个必备特征下列各式是二次根式吗下列各式是二次根式吗?3 32 25 5 (7 7),a a (6 6)，x xy y (5 5)m m-(4 4),1 12 2 (3 3)6 6,(2 2),3 32 2 (1 1)1(m0),(m0),(x,y(x,y 异号异号)小试：小试：二次根式根号内字母的取值范围必须满足二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零被开方数大于或等于零例例1、求下列二次根式中字母、求下列二次根式中字母a的取值范围：的取值范围：(1)1a 1(2)
3、12a2(3)(3)a三三.应用应用:231.4aaa求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？被开方数大于等于零；被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。二次根式有意义的条件求下列二次根式中字母求下列二次根式中字母x的取值范围：的取值范围：练习练习:x12.1 065.4xx(5).11.3xx(2).123xx322 xx 32.62xx 被开方数是多项式时，需配方讨论.(1)单个二次根式如 有意义的条件：_；A(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：.ABN00.0ABN；(3)二次根式作为分
4、式的分母如 有意义的条件：_ ；BA(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：_.1AB归纳总结二次根式有意义的条件类型A0A0A0且B0bababaxyxxy,86.264,977.12互为相反数，求与已知的算术平方根。求已知练习：例例2.已知，求已知，求xy的值的值130 xy-+=二次根式的双重非负性3.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长3264baayaab 若 ，则a=0.的式子叫做二次根式形如 a)0(a 1.1.二次根式的概念二次根式的概念:2.2.二次根式中字母的取值范围二次根式中字母的取值范围被开方数大于等于零；被开方数大于等于零；分母中有字母
5、时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。多个条件组合时，应用不等式组求解多个条件组合时，应用不等式组求解3.3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性小结小结a00a列不等式列不等式配方法配方法;二次根式的两个特征：二次根式的两个特征：形形质质3.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围222mmm(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围26xxm1.当x=_时，二次根式 取最小值，其最小值 为_1x-104.若x，y是实数，且y ,求 的值.1112xx 11yy2.2.若二次根式若二次根式 =3=3，则，则x=_x=_2x拓展拓展学习目标1.理解二次根式的
6、乘法法则.（重点）2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性 质进行简单运算.（难点）问题1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.gR第一宇宙速度v1可以表示为 .一一.情境情境:问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.22gR第二宇宙速度v2可以表示为 .思考 若已
7、知地球半径R6371km及重力加速度g10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？(1)_=_;=_;49=1.二次根式的乘法计算下列各式:1625253649(2)_=_;(3)_=_;2536=_;=_.1625236366452040020563090030观察前后两式有什么关系？二二.探究探究:=思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？0,0.aba b ab求证：证明：根据积的乘方法则，有222()()().ababab .(0,0)ababab0,0.aba b ababab2)(语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次
8、根式的乘法法则:二次根式相乘，_不变，_相乘.根指数被开方数0,0.aba b ab归纳总结注意：a,b都必须是非负数.在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数例1 计算:应用应用:1.二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘:0,0,0)a bka bk abk （拓展拓展:.7352.3;532.2;53.12.当二次根式根号外的因数不为当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式时，可类比单项式乘单项式的法则计算乘单项式的法则计算0,0m a n bmnab ab例2 比较大小(一题多解):3352与1.比较被开方数的大小，2.平方法平方法即将根号外的正数平方后移到根
9、号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小,被开方数大的，其算术平方根也大.63132:与比较大小练习反过来：abab（a0，b0）abba（a0，b0）一般的：语言表述：两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.2.积的算术平方根的性质二二.探究探究:积的算术平方根的性质”例3.化简：（1）；（；（2）1681 234a b00ab（，）开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.练习:化简：3226900 xx yxyxy,(1).(2).被开方数是多项式时，应先因式分解 81163.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a2 =把这个因式(或因数)开出来，将二
10、次根 式化简.1.把被开方数分解因式(或因数)；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因 式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：a归纳总结分解积化积开方例4 计算：（1）；（2）.3 52 10 133xxy 练习:计算：38241).2(;714.1aa 乘除法运算的一般步骤是怎样的？乘除法运算的一般步骤是怎样的？（1 1）运用法则，化归为根号内的运算；）运用法则，化归为根号内的运算；（2 2）完成根号内的相乘、除（约分）运算；）完成根号内的相乘、除（约分）运算；（3 3）化简二次根式）化简二次根式.课堂小结课堂小结二次根式乘法法则性质拓展法则(0,0)ababab=0,0
11、)m a n b mn abab（0,0)ababab（0,0,0)a bka bk abk （当堂练习当堂练习1.若 ，则 （）Ax6 Bx0 C0 x6 Dx为一切实数 66x xxxA2.下列运算正确的是 （）A.222253535 315 B.22225353532C.(4)(16)416(2)(4)8 D.2 183 56 80D3.已知 试着用a,b表示 .7,70,ab4.9解：7704904.9 1004.910010 4.9,14.9.10ab10 4.9,ab7,70,ab又能力提升：学习目标1.了解二次根式的除法法则.（重点）2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算
12、.（难点）3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 .85hd 解：18 2016 5.d 一.情景某一登山者从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？28 4016 10.d 2116 10.16 5dd二次根式的除法该怎样算呢(1)_=_;=_;49计算下列各式:1625364949(2)_=_;(3)_=_;3649=_;=_.16252345672345672345671.二次根式的除法二二.探究探究:观察前后两式有什么关系？=思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的
13、规律吗？aabb(a_0,b_0)00求证：二次根式的除法法则:(0,0).aaabbb文字叙述:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得(0,0,0).m amaabnnbn b总结二次根式相除，_不变，_相乘.根指数被开方数例1 计算：24(1);3应用:练习:计算：61212112.2 8123.1 65423.2被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算2.商的算术平方根的性质两个非负数的商的算术平方根，等于各因式的算术平方根的商.(0,0).aaabbb把二次根式的除法法则商的算
14、术平方根的性质:二二.探究探究:(0,0).aaabbb反过来语言表述：例2 化简:解:33(1)100100310.227553(2)27332255.33还有其他解法吗?757527275 35.33 3补充解法：375(1);(2);10027应用:(3)1.25.1.能使等式 成立的x的取值范围是（）A.x2 B.x0 C.x2 D.x2 22xxxxC2.化简：725(2)1;558645(1)64.解：5(1)64；2732324242252552525(2)1.555424(3)1.25.练习:满足如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
15、我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，要把最后结果化为最简二次根式.2.最简二次根式二二.探究探究:?3212还能化简吗，你认为最简二次根式？例3.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简154(1)45;(2);(3);(4)0.5;(5)1.325 把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.?32还能化简吗你认为二二.探究探究:最简二次根式简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.3(1);5例4.化简:3 282;3.272a（）（）应用:.251.2;523.1练习:化简:.62531.4例4
16、 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.2 3,10Sb解:,Sab2 32 31030.5101010Sab自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内试问：刘敏说得对吗？3aa 3aa 3aa 解：刘敏说得不对，结果不一样理由如下：按 计算，则a0，a-30或a0，a-30,解得a3或a0；而按 计算，则a0，a-30,解得a33aa 3aa 能力提升：课堂小结课堂小结二 次 根式 除 法法则性质拓展法则(0,0)aa
17、abbb(0,0).aaabbb=0,0)m an bmnabab（）（相关概念分 母 有 理 化最简二次根式 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm求两个正方形边长的和S=8dm2S=18dm28+18一一.情境情境:8+18二二.探究探究:?188为什么可以合并呢与2318,2281.同类二次根式同类二次根式:几个二次根式化成几个二次根式化成_以后，如果以后，如果_相同，这几个二次根式就叫做同类二次根相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式式。1.1.化成化成_以后，以后，2 ._ 2 ._ 相同
18、相同两要素两要素:1.判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?（1）（）（2）（）（3）（）5.050与1812与aa13与是是否否是是 几个二次根式化成几个二次根式化成后，后，相同的二次根式相同的二次根式。2.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？下列二次根式中，哪些是同类二次根式？481,21,8,12,18例1 若最简根式 与 可以合并，求 的值.2132nmn3mn练习:1.如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.38a 172a42axxa应用应用:2.与最简二次根式 能合并，则m=_.181m 二次根式的加减法法则:二次根式加减时，先将二次根式化成最简二
19、次根式，再将同类二次根式进行合并.(1)化 加减法的运算步骤：(2)找(3)并8+18二二.探究探究:2.二次根式加减二次根式加减:将非最简二次根式的二次根式化简；找出被开方数相同的二次根式；把被开方数相同的二次根式合并.2322二次根式性质 2)32(逆用分配律 25整式加 减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题 例2 计算:(1)8045;应用应用:532012.3;271123.2;259.1:aa计算练习 483316122.21.下列计算哪些正确，哪些不正确？下列计算哪些正确，哪些不正确？325 aba b abab ()a
20、a b aa b a1132032aaaa（不正确不正确）（不正确不正确）（不正确不正确）（正确正确）（不正确）（不正确）练习练习:532012.3;271123.2;259.1:2aa计算练习例3 已知a,b,c满足 .(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成 三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.2853 20abc练习:有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.5 2,2 6课堂小结课堂小结二次根式加减法则注意运算顺序运算原理 一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.运算律仍然适用与实数的运算顺
21、序一样已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=，求（2*3）（27*32）的值3ab解：a*b=，（2*3）（27*32）=3ab 23 3273 3223 33 312 211 2.拓展：1(1)5 8-2 2718(2)2 18-5045.3 ；(1)5 8-2 2718 10 2-6 3 3 213 2-6 3;解：.1(2)2 18-5045 3 6 2-5 25 25 .计算:(3)44-(3 11 11 2)；11(4)(48-4)-(3-4 0.5).83 补充练习:(3)443 11+11 2=2 113 1111 21111 2;（）11(4)48434 0.583111
22、=4843+4832232=4 343+4432=4 323+2 23 3+2.（）（）学习目标1.掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）如果梯形的上下底分别为如果梯形的上下底分别为 ,高为高为 ，那么它的面积是多少，那么它的面积是多少?一一.情境情境34,226 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例1 计算：18+3624 23 62 2（）（）；（）（）；二二.探究探究:.2612332016.3;3627323.2;5232.1:0计算练习例2 计算：21(53)(53)
23、;(2)(32).（）.2323232.3;.2;34184823).1(2019201723babaababaa计算：例3.已知 试求x2+2xy+y2的值.3 1,3 1,xy练习:1.已知 ，求x3y+xy3.32,32xy2.已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.10例4 计算:m an b;233412;231.1通过适当的变形化去分母中根号的运算。通过适当的变形化去分母中根号的运算。分母有理化分母有理化:积中不含根号的两个含根号的式子积中不含根号的两个含根号的式子有理化因式有理化因式:_;:的有理化因式是注ama_;的有理化因式是bnam的有理化因式为的有理化因式为
24、 ;ba.1的有理化因式为的有理化因式为 ;ba.2的有理化因式为的有理化因式为 ;ybxa.3babaybxa ba.4的有理化因式为的有理化因式为 .b练习：练习：1.2.已知 ,求 .11,5252ab222abyxyx化简：.3课堂小结课堂小结二次根式混合运算乘法公式化简求值分 母 有 理 化化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.2,0524.122的值求已知babbababa.2,2231,2231.2的值求代数式已知babababa137146和3.比较根式的大小比较根式的大小.拓展拓展:4.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：231方法一：2231231231;31313131方法二：313123 131.313131(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：2;531111.42648620182016
