1、 1二项式定理二项式定理在在(ab)n与与(ba)n的展开式中，其通项相同吗？的展开式中，其通项相同吗？提示：提示：从整体上看，从整体上看，(ab)n与与(ba)n的展开式是相同的，但的展开式是相同的，但具体到某一项是不同的，如第具体到某一项是不同的，如第r1项项Tr1 anrbr，Tr1 bnrar.性质性质1:1:在二项展开式中，与首末两端等距离的任在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等意两项的二项式系数相等.性质性质2 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数
2、，中间两项的二项式系幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；数最大；nnnknnnnCCCCC2210 性质性质3 3：性质性质4 4：(a+b)(a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和数的和等于偶数项的二项式系数和.12n二项式系数与项的系数有什么区别？二项式系数与项的系数有什么区别？提示：提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指式系数是指 ，它只与各项的项数有关，而与，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不的值无关；而
3、项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关的值有关题型题型1 利用利用 的二项展开式解题的二项展开式解题na b题型题型2 利用通项求符合要求的项或项的系数利用通项求符合要求的项或项的系数题型3 二项式定理的逆用题型题型4 4 求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项(系数系数)题型题型5 5 求乘积二项式展开式中特定的项求乘积二项式展开式中特定的项(特定项的特定项的系数系数)题型题型6 6 三项式转化为二项式三项式转化为二项式题型题型7 7 求展开式中各项系数和求展开式中各项系数和题型题型8 8：求奇数
4、项、偶数项系数：求奇数项、偶数项系数与最大二项式系数的比求其项的最大系数的展开式中在、例，x20)32(16解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6.126.11 r项系数最大的项是第13128122032C即二项式系数最大的项为第11项,即1020C所以它们的比是137102012812203211532CC题型题型9 9 求展开式中系数最大求展开式中系数最大(小小)的项的项例例1717、在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 20)23(yx解：设系数绝对
5、值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21(2)20(2)1(3542537r8r所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为8r812812820923yxCT解：设第解：设第 项是数值最大的项项是数值最大的项1r展开式中展开式中数值数值最大的项是最大的项是29295030)2(CT 115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28 r29r例例1818、求求 的展开式中的展开
6、式中数值数值最大的项最大的项50)21(211rrrrTTTT211rrrrAAAA解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有1r例题点评例题点评由此确定由此确定r r的取值的取值(设设 为第为第r r项的系数）项的系数）rA题型题型10 10 整除或余数问题整除或余数问题例例1919。的余数除以求1009192解解:9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各项均能被前面各项均能被100100整除整除.只有只有 不能被不能被100100整除整除92992919229092
7、9029291192929292)1(1010101010)110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余数是被可见余数为余数为正整数正整数注意(1)(1)今天是星期五，那么今天是星期五，那么7天后天后 的这一天是星期几呢的这一天是星期几呢?(2)(2)如果是如果是15天后的这一天呢？天后的这一天呢？1 10 00 01 10 00 01 1）（7 78 8r r100100r r10010099991 11001001001000 01001007 7C C7 7C
8、 C7 7C C1 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 0C C7 7C C 余数是余数是1 1，所以是所以是星期六星期六1008(3)(3)今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后天后的这一天是星期几？的这一天是星期几？整除性问题，余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前几项或后几项,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。常用技巧。注意注意 ,余数要为正整数余数要为正
9、整数例题点评例题点评例例21.21.某公司的股票今天的指数为某公司的股票今天的指数为2,2,以后每天的指以后每天的指 数都比上一天的指数增加数都比上一天的指数增加0.2%,0.2%,则则100100天后这天后这 公司的股票股票指数为公司的股票股票指数为_(_(精确到精确到0.001)0.001)解解:依题意有依题意有2(1+0.2%)2(1+0.2%)1001002(10.002)2(10.20.0198)所以所以100100天后这家公司的股票指数约为天后这家公司的股票指数约为2.442.44点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项2.43962.440012210010010020.0020.002CCC题型题型11 11 近似计算问题近似计算问题
