1、3 一般项级数由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法前页前页后页后页返回返回3 一般项级数由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题一、交错级数若级数的各项符号正负相间若级数的各项符号正负相间,即即n?1u1?u2?u3?u4?L?(?1)un?L(un?0,n?1,2,L),(1)则称为则称为交错级数交错级数.定理定理12.11(莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法)若交错级数若交错级数(1)满足满足:(i)数列数列un单调递减单调递减;(ii)limun?0,
2、n?则级数则级数(1)收敛收敛.前页前页后页后页返回返回一、交错级数若级数的各项符号正负相间,即n?1 u 1?u 2?证证 考察交错级数考察交错级数(1)的部分和数列的部分和数列Sn,它的奇数项它的奇数项和偶数项分别为和偶数项分别为S2m?1?u1?(u2?u3)?L?(u2m?2?u2m?1),S2m?(u1?u2)?(u3?u4)?L?(u2m?1?u2m).由条件由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而数列从而数列S2m?1是递减的是递减的,而数列而数列S2m是递增的是递增的.又由条件又由条件(ii)知道知道0?S2m?1?S2m?u2m
3、?0(m?),从而从而 S2m,S2m-1 是一个区间套是一个区间套.由区间套定理由区间套定理,存存前页前页后页后页返回返回证考察交错级数(1)的部分和数列 S n ,它的奇数项和偶数项在惟一的实数在惟一的实数S,使得使得m?lim S2m?1?lim S2m?S.m?所以数列所以数列Sn收敛收敛,即级数即级数(1)收敛收敛.推论推论 若级数若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛则收敛级数级数(1)的余项估计式为的余项估计式为Rn?un?1.对于下列交错级数对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法应用莱布尼茨判别法,容易检验容易检验它们都是收敛的它们都是收敛的:前页前
4、页后页后页返回返回在惟一的实数S,使得m?l i m S 2 m?1?l i m S 2 m?111n?11?L?(?1)?L;23n?1(2)1111n?11?L?(?1)?L;(3)3!5!7!(2n?1)!1234n?1n?2?3?4?L?(?1)?L.(4)n1010101010前页前页后页后页返回返回1 1 1 n?1 1?L?(?1)?L;2 3 n?1(2)1 1 1二、绝对收敛级数及其性质若级数若级数u1?u2?L?un?L(5)(6)各项绝对值组成的级数各项绝对值组成的级数u1?u2?L?un?L收敛收敛,则称原级数则称原级数(5)为为绝对收敛级数绝对收敛级数.定理定理12.
5、12绝对收敛的级数是收敛的绝对收敛的级数是收敛的.证证 由于级数由于级数(6)收敛收敛,根据级数的柯西收敛准则根据级数的柯西收敛准则,对对于任意正数于任意正数?,总存在正数总存在正数N,使得对使得对n?N和任意正和任意正前页前页后页后页返回返回二、绝对收敛级数及其性质若级数u 1?u 2?L?u n?L(5)整数整数r,有有um?1?um?2?L?um?r?由于由于um?1?um?2?L?um?r?um?1?um?2?L?um?r?因此由柯西准则知级数因此由柯西准则知级数(5)也收敛也收敛.对于级数对于级数(5)是否绝对收敛是否绝对收敛,可引用正项级数的各种可引用正项级数的各种判别法对级数判别
6、法对级数(6)进行考察进行考察.前页前页后页后页返回返回整数r,有u m?1?u m?2?L?u m?r?由于u m?1例例1 级数级数?n!?2!?Ln?1?n?2?nn!?L的各项绝对值所组成的级数是的各项绝对值所组成的级数是n!2!n!应用比式判别法应用比式判别法,对于任意实数对于任意实数?,都有都有un?1?lim?lim?0,n?un?n?1n?n?2?L?n?L.因此因此,所考察的级数对任何实数所考察的级数对任何实数?都绝对收敛都绝对收敛.前页前页后页后页返回返回例1 级数?n!?2!?L n?1?n?2?n n!?L若级数若级数(5)收敛收敛,但级数但级数(6)不收敛不收敛,则称
7、级数则称级数(5)为为条条件收敛件收敛.例如级数例如级数(2)是条件收敛是条件收敛,而级数而级数(3)、(4)则是绝对收则是绝对收敛敛.全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类数两大类.下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.1.级数的重排级数的重排我们把正整数列我们把正整数列1,2,n,到它自身的一一映射到它自身的一一映射前页前页后页后页返回返回若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条件收f:n?k(n)称为正整数列的重排称为正整数列的重排,相应地对于数列相应地对于数列un按映射按映射F:u
8、n?uk(n)所得到的数列所得到的数列uk(n)称为称为原数列的重排原数列的重排.相应地称级数相应地称级数?uk(n)为级数为级数(5)的重的重n?1?排排.为叙述上的方便为叙述上的方便,记记vn?uk(n),即把级数即把级数?uk(n)写写n?1作作v1?v2?L?vn?L,(7)定理定理12.13 设级数设级数(5)绝对收敛绝对收敛,且其和等于且其和等于S,则任则任意重排后所得到的级数意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为绝对收敛且和也为S.前页前页后页后页返回返回f:n?k(n)称为正整数列的重排,相应地对于数列 u n*证证 只要对正项级数证明了定理的结论只要对正项级数证明了定理的
9、结论,对绝对收对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的敛级数就容易证明定理是成立的.第一步第一步 设级数设级数(5)是正项级数是正项级数,用用Sn表示它的第表示它的第n 个个部分和部分和.用用?m?v1?v2?L?vm表示级数表示级数(7)的第的第m个部分和个部分和.因为级数因为级数(7)为级数为级数(5)的重排的重排,所以每一所以每一vk(1?k?m)应等于某一应等于某一uik(1?k?m).记记n?maxi1,i2,L im,前页前页后页后页返回返回*证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明则对于任何则对于任何m,都存在都存在n,使使?m?Sn.由于由于 limSn?S,所以
10、对任何正整数所以对任何正整数m都有都有?m?S,n?即级数即级数(7)收敛收敛,且其和且其和?S.由于级数由于级数(5)也可看作级数也可看作级数(7)的重排的重排,所以也有所以也有S?,从而得到从而得到?S.这就证明了对正项级数定这就证明了对正项级数定理成立理成立.第二步第二步证明证明(7)绝对收敛绝对收敛.设级数设级数(5)是一般项级数是一般项级数且绝对收敛且绝对收敛,则由级数则由级数(6)收敛第一步结论收敛第一步结论,可得可得?vn收敛收敛,即级数即级数(7)是绝对收敛的是绝对收敛的.前页前页后页后页返回返回则对于任何m,都存在n,使?m?S n.由于l i m S n?S,所第三步第三步
11、 证明绝对收敛级数证明绝对收敛级数(7)的和也等于的和也等于S.根据第根据第一步的证明一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变收敛的正项级数重排后和不变,所以先所以先要把一般项级数要把一般项级数(5)分解成正项级数的和分解成正项级数的和.为此令为此令un?unun?unpn?,qn?.22当当un?0时时,pn?un?0,qn?0;当当un?0时时,pn?0,qn?un?un?0.从而从而0?pn?un,0?qn?un,pn?qn?un,pn?qn?un.(8)(9)(10)前页前页后页后页返回返回第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明,由级数由级数(5)绝对收敛绝对收敛,及
12、及(9)式式,知知?pn,?qn都是收都是收敛的正项级数敛的正项级数.因此因此S?un?pn?qn.对于级数对于级数(5)重排后所得到的级数重排后所得到的级数(7),也可按也可按(8)式的式的办法办法,把它表示为两个收敛的正项级数之差把它表示为两个收敛的正项级数之差?qn?,?vn?pn?,?qn?分别是正项级数分别是正项级数?pn,?qn的重排的重排,显然显然?pn其和不变其和不变,从而有从而有?v?p?q?p?qnnnnn?S.前页前页后页后页返回返回由级数(5)绝对收敛,及(9)式,知?p n,?q n 都是收注注 定理定理12.13只对绝对收敛级数成立只对绝对收敛级数成立.条件收敛级条
13、件收敛级数重排后得到的新级数数重排后得到的新级数,不一定收敛不一定收敛,即使收敛即使收敛,也也不一定收敛于原来的和不一定收敛于原来的和.更进一步更进一步,条件收敛级数条件收敛级数适当重排后适当重排后,既可以得到发散级数既可以得到发散级数,也可以收敛于也可以收敛于任何事先指定的数任何事先指定的数.例如级数例如级数(2)是条件收敛的是条件收敛的,设设其和为其和为A,即即1111111n?11?(?1)n?1?2?3?4?5?6?7?8?L?A.1乘以常数乘以常数后后,有有2前页前页后页后页返回返回注定理1 2.1 3 只对绝对收敛级数成立.条件收敛级数重排后11111An?11(?1)?L?.?2
14、n24682将上述两个级数相加将上述两个级数相加,得到的是得到的是(2)的重排的重排:1111131?L?A.325742我们也可以重排我们也可以重排(2)使其发散使其发散(可参考数学分析学习可参考数学分析学习指导书下册指导书下册39页页).2.级数的乘积级数的乘积由定理由定理12.2知道知道,若若?un为收敛级数为收敛级数,a为常数为常数,则则a?un?aun,前页前页后页后页返回返回1 1 1 1 1 A n?1 1(?1)?L?.?2 n 2 4 6 8 2由此可以立刻推广到收敛级数由此可以立刻推广到收敛级数?un与有限项和的乘与有限项和的乘n?1?积积,即即(a1?a2?L?am)?u
15、n?akun,n?1n?1 k?1?m那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?设有收敛级数设有收敛级数?un?u1?u2?L?un?L?A,?v1?v2?L?vn?L?B.(11)(12)?vn将级数将级数(11)与与(12)中每一项所有可能的乘积列成下中每一项所有可能的乘积列成下前页前页后页后页返回返回由此可以立刻推广到收敛级数?u n 与有限项和的乘n?1?积,即表表:u1v1u2v1u3v1Lunv1Lu1v2u2v2u3v2Lunv2Lu1v3Lu2v3Lu3v3LLLLLunv3Lu1vnLu2vnLu3vnLLLLLunvnL(13)这些乘积这
16、些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数可以按各种方法排成不同的级数,常常用的有按正方形顺序或按对角线顺序用的有按正方形顺序或按对角线顺序.前页前页后页后页返回返回表:u 1 v 1 u 2 v 1 u 3 v 1 L u n v 1 L u 1 v 2 u 2 v 2 u?u1v1?u2v1?u3v1g?unv1g?u1v2?u2v2?u3v2g?unv2g?u1v3?u2v3?u3v3gLLLLLLLL?unv3LLg?u1vn?u2vn?u3vn?g?unvngLLLLLLLLLL正方形顺序正方形顺序前页前页后页后页返回返回?u 1 v 1?u 2 v 1?u 3 v 1 g?u n
17、v 1 g?u 1 v 2?u1v1u2v1u3v1ggggggu3v2u2v2u1v2u1v3u2v3u3v3gggLLLLLL对角线顺序对角线顺序前页前页后页后页返回返回 u 1 v 1 u 2 v 1 u 3 v 1 g g g g g g u 3 v 2 u依次相加依次相加,于是分别有于是分别有u1v1?u1v2?u2v2?u2v1?u1v3?u2v3?u3v3?u3v2?u3v1?L(14)和和u1v1?u1v2?u2v1?u1v3?u2v2?u3v1?L.(15)定理定理12.14(柯西定理柯西定理)若级数若级数(11)、(12)都绝对收敛都绝对收敛,则对则对(13)中中uivj按
18、任意顺序排列所得到的级数按任意顺序排列所得到的级数?wn也绝对收敛也绝对收敛,且其和等于且其和等于AB.*证证 以以Sn表示级数表示级数?wn的部分和的部分和,即即前页前页后页后页返回返回依次相加,于是分别有u 1 v 1?u 1 v 2?u 2 v 2?u 2 v 1?Sn?w1?w2?L?wn,其中其中wk?uikvjk(k?1,2,L,n),记记m?maxi1,j1,i2,j2,in,jn,Am?u1?u2?L?um,Bm?v1?v2?L?vm,则必有则必有Sn?AmBm.(16)由定理条件由定理条件,级数级数(11)与与(12)都绝对收敛都绝对收敛,因而因而?un与与?vn的部分和数列
19、的部分和数列 An和和Bn都是有界的都是有界的.前页前页后页后页返回返回S n?w 1?w 2?L?w n,其中w k?u i k v j k(k?1,于是由不等式于是由不等式(16)知知Sn是有界的是有界的,从而级数从而级数?wn绝对收敛绝对收敛.下面证明下面证明?wn的和的和 S?AB.由于绝对收敛级数具有可重排的性质由于绝对收敛级数具有可重排的性质,即级数的和即级数的和与采用哪一种排列的次序无关与采用哪一种排列的次序无关,为此为此,采用正方形采用正方形顺序并对各被加项取括号顺序并对各被加项取括号,即即u1v1?(u1v2?u2v2?u2v1)?(u1v3?u2v3?u3v3?u3v2?u
20、3v1)?L,将每一括号作为一项将每一括号作为一项,得到新级数得到新级数p1?p2?p3?L?pn?L,(17)前页前页后页后页返回返回于是由不等式(1 6)知 S n 是有界的,从而级数?w n 绝它与级数它与级数?wn同收敛同收敛,且和相同且和相同.用用Pn表示表示(17)的的部分和部分和,则则Pn与与An与与Bn有关系式有关系式:从而从而n?Pn?AnBn.S?limPn?lim AnBn?lim AnlimBn?AB.n?n?n?12n?1?r?r?L?r?L,r?1例例2 等比级数等比级数1?r是绝对收敛的是绝对收敛的.将将(?r)按按(15)的顺序排列的顺序排列,则得则得n 2到到
21、前页前页后页后页返回返回它与级数?w n 同收敛,且和相同.用P n 表示(1 7)的部分1222nn?1?(r?r)?(r?r?r)?L?(r?L?r)?L,21 4 42 44 3(1?r)n?1?1?2r?3r?L?(n?1)r?L.注注 级数乘积在幂级数级数乘积在幂级数(第十四章第十四章)中有重要应用中有重要应用.2n前页前页后页后页返回返回1 2 2 2 n n?1?(r?r)?(r?r?r)?L?(r?L?三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.引理引理(分部求和公式分部求和公式,也称阿贝尔变换也称阿贝尔变换)设
22、设?i,vj(i?1,2,L,n),两组实数两组实数,若令若令?k?v1?v2?L?vk(k?1,2,L,n),则有如下分部求和公式成立则有如下分部求和公式成立:?vi?1nii?(?1?2)?1?(?2?3)?2?L?(?n?1?n)?n?1?n?n.(18)证证 以以v1?1,vk?k?k?1(k?2,3,L,n)分别乘以分别乘以前页前页后页后页返回返回三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收?k(k?1,2,L,n),整理后就得到所要证的公式整理后就得到所要证的公式(18).推论推论(阿贝尔引理阿贝尔引理)若若(i)?1,?2,L,?n是单调数组是单调数组,记记?ma
23、x?k;k(ii)对任一正整数对任一正整数k(1?k?n)有有?k?A,则有则有?k?1nkkv?3?A.(19)证证 由由(i)知知?1?2,?2?3,L,?n?1?n都是同号的都是同号的.于是由分部求和公式及条件于是由分部求和公式及条件(ii)推得推得前页前页后页后页返回返回?k(k?1,2,L,n),整理后就得到所要证的公式(1 8)?k?1nkkv?(?1?2)?1?(?2?3)?2?L?(?n?1?n)?n?1?n?n?A(?1?2)?(?2?3)?L?(?n?1?n)?A?n?A?1?n?A?n?A(?1?2?n)?3?A.现在讨论形如现在讨论形如?a bn n?a1b1?a2b2
24、?L?anbn?L(20)级数的收敛性的判别法级数的收敛性的判别法.定理定理12.15(阿贝尔判别法阿贝尔判别法)若若an为单调有界数列为单调有界数列,前页前页后页后页返回返回?k?1 n k k v?(?1?2)?1?(?2?3)?2?且级数且级数?bn收敛收敛,则级数则级数(20)收敛收敛.证证 由于数列由于数列 an单调有界单调有界,故存在故存在M?0,使使an?M(阿贝尔引理条件阿贝尔引理条件(i).又由于级数又由于级数?bn收敛收敛,依柯西依柯西准则准则,对任给正数对任给正数?,存在正数存在正数N,使当使当n N 时时,对对任一正整数任一正整数p,都有都有n?pk?n?bk?.(阿贝
25、尔引理条件阿贝尔引理条件(ii).应用应用(19)式得到式得到前页前页后页后页返回返回且级数?b n 收敛,则级数(2 0)收敛.证由于数列 a n n?pk?n?a b这就说明级数这就说明级数(20)收敛收敛.kk?3M?.定理定理12.16(狄利克雷判别法狄利克雷判别法)若数列若数列an单调递减单调递减,且且liman?0,又级数又级数?bn的部分和数列有界的部分和数列有界,则级则级n?数数(20)收敛收敛.证证 由于由于?bn部分和数列部分和数列Vn?bn有界有界,故存在正故存在正k?1n数数M,使使|Vn|?M,因此当因此当n,p为任何正整数时为任何正整数时,前页前页后页后页返回返回n
26、?p k?n?a b 这就说明级数(2 0)收敛.k k?3 M?.定|bn?1?bn?2?L?bn?p|?|Vn?p?Vn|?2M.又由于数列又由于数列 an单调递减单调递减,且且liman?0,对对?0,n?N,当当n?N时时,有有|an|?.于是根据于是根据(19)式得到式得到|an?1bn?1?L?an?pbn?p|?2M(|an?1|?2|an?p|)?6M?.有了阿贝尔判别法就知道有了阿贝尔判别法就知道:若级数若级数?un收敛收敛,则则un级数级数?p(p?0),n?un都收敛都收敛.n?1前页前页后页后页返回返回|b n?1?b n?2?L?b n?p|?|V n?p?V n|?
27、2例例3 3 若数列若数列an具有性质具有性质:a1?a2?L?an?L,liman?0,n?则级数则级数?ansinnx和和?ancosnx对任何对任何x?(0,2?)都收敛都收敛.解解 因为因为nx?1x?3x?2sin?coskx?sin?sinx?sin?L2?2k?12?22?1?1?sin?n?x?sin?n?x?2?2?前页前页后页后页返回返回例3 若数列 a n 具有性质:a 1?a 2?L?a n?L,l i m1?sin?n?x,2?x当当x?(0,2?)时时,sin?0,故得到故得到21?sin?n?xn12?coskx?.x2k?12sin2(21)所以级数所以级数?c
28、osnx的部分和数列当的部分和数列当x?(0,2?)时有时有界界,由狄利克雷判别法得级数由狄利克雷判别法得级数?ancosnx收敛收敛.同同前页前页后页后页返回返回1?s i n?n?x,2?x 当x?(0,2?)时,s i理可证级数理可证级数?ansinnx也是收敛的也是收敛的.作为例作为例3 的特殊情形的特殊情形,得到级数得到级数sinnxcosnx?n和和?n对一切对一切x?(0,2?)都收敛都收敛.2sin n例例4级数级数?(?1)收敛但不绝对收敛收敛但不绝对收敛.nn?1n?sin n的绝对值级数的绝对值级数解解 由于由于?(?1)nn?1n?2前页前页后页后页返回返回理可证级数?
29、a n s i n n x 也是收敛的.作为例3 的特殊情形,?n?1?sin n1?1cos2n?,?n2n?1?nn?cos2n收敛收敛(根据例根据例3结论结论),故故?nn?1?2?1其中其中?发散发散,n?1n?n?1?sin n发散发散.n221又因又因sin n?(1?cos2n),得得2sin n1cos2n?n?1(?1)?(?1)?，?n2n?1n?nn?1n?2?前页前页后页后页返回返回?n?1?s i n n 1?1 c o s 2 n?,?n 2 n?11由于级数由于级数?(?1)收敛收敛,而而nn?1n?cos2ncos(2?)n(?1)?,?nnn?1n?1?n?s
30、in n根据例根据例3也收敛也收敛,因此级数因此级数?(?1)收敛收敛.nn?1n?2所以级数所以级数sin n(?1)?nn?1n?2为条件收敛为条件收敛.前页前页后页后页返回返回1 由于级数?(?1)收敛,而n n?1 n?c o s 2 n c o s(2复习思考题1.假设级数假设级数?un绝对收敛绝对收敛,级数级数?vn条件收敛条件收敛,问问级数级数?(un?vn)是绝对收敛还是条件收敛是绝对收敛还是条件收敛?un2.对于一般项级数对于一般项级数?un与与?vn,从从 lim?l?0,能能n?vn否得出否得出?un与与?vn同敛散同敛散?3.总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤骤.前页前页后页后页返回返回复习思考题1.假设级数?u n 绝对收敛,级数?v n 条件收敛,
