1、第十一章圆锥曲线第十一章圆锥曲线第第4节节 求轨迹方程的专题训练求轨迹方程的专题训练1 1.轨迹轨迹:一个点在空间移动一个点在空间移动,它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹.即即:符合一定条件的动点所形成的图形符合一定条件的动点所形成的图形,或者说或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集符合一定条件的点的全体所组成的集合合,叫做满足该条件的点的轨迹叫做满足该条件的点的轨迹.2 2.求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法:(1):(1)直接法直接法;(2);(2)定义法定义法;(3);(3)相关点法相关点法;(4);(4)参数法和交轨法等参数法和交轨法等.3 3.求轨迹
2、方程注意事项求轨迹方程注意事项:求轨迹方程时求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系,正确进行化简与计算是必须具备的基本能力正确进行化简与计算是必须具备的基本能力;求出轨迹方程后求出轨迹方程后,容易忽略容易忽略x x的范围的范围,导致轨导致轨迹图形出错迹图形出错.检验可从以下两个方面进行检验可从以下两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变形一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的实二是是否符合题目的实际意义际意义.1 1.直接法直接法:直接将条件翻译成等式直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程整理化简后即得动点的轨迹方程
3、,这种求轨迹方程这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法的方法通常叫做直接法.【解题规律】【解题规律】(1)(1)如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角如距离与角)的等量关系的等量关系,或这些几或这些几何条件简单明了且易于表达何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系转化为我们只需把这种关系转化为x x、y y的等式就得到曲线的轨迹方的等式就得到曲线的轨迹方程程.(2)(2)直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意要注意翻译的等价性翻译的等价性.通常
4、将步骤简记为通常将步骤简记为“建设建设限限代化代化(检验检验)”五个步骤五个步骤,但最后的证明可以但最后的证明可以省略省略.如果题目给出了直角坐标系则可省去建系这一步如果题目给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的方程后还需注意检验方求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性程的纯粹性和完备性.【例【例1 1】(必修必修2 2P P118118)求圆的标准方程求圆的标准方程.【解析】【解析】圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合.而确定圆的基本条件为而确定圆的基本条件为圆心和半径圆心和半径,设圆的圆心坐标为设圆的圆心坐标为A A(a a,b
5、 b)、半径为、半径为r r(其中其中a a、b b、r r都是常数都是常数,r r0)0).设设M M(x x,y y)为这个圆上任意一点为这个圆上任意一点,那么点那么点M M满足的条件是满足的条件是P P=M M|MAMA|=|=r r,利用两点间的距利用两点间的距离公式离公式,写出点写出点M M的坐标适合的条件表示为的坐标适合的条件表示为:式两边平方式两边平方,得得:(:(x-ax-a)2 2+(y-by-b)2 2=r=r2 2,若点若点M M(x x,y y)在圆上在圆上,由上述推理可知由上述推理可知,点点M M的坐标适合方程的坐标适合方程;反之反之,点点M M(x x,y y)的坐
6、标适合方程的坐标适合方程,这就说明点这就说明点M M与圆心与圆心A A的距离为的距离为r r,即点即点M M在圆心为在圆心为A A的圆上的圆上.【例【例2 2】(2013(2013高考陕西卷文高考陕西卷文20)20)已知动点已知动点M M(x x,y y)到直线到直线l l:x=x=4 4的距离是它到点的距离是它到点N N(1,0)(1,0)的距离的的距离的2 2倍倍.(1)(1)求动点求动点M M的轨迹的轨迹C C的方程的方程.【变形】【变形】当距离关系常数不是大于当距离关系常数不是大于1,1,而是小于而是小于1,1,或等于或等于1 1是的情形呢是的情形呢?(?(对应双曲线对应双曲线,抛物线
7、抛物线).(2)(2)(略略)【解析】【解析】(1)(1)点点M M(x x,y y)到直线到直线x=x=4 4的距离的距离,是到点是到点N N(1,0)(1,0)的距离的的距离的2 2倍倍,则则 两边平方可得两边平方可得(x-x-4)4)2 2=4(=4(x-x-1)1)2 2+y y2 2,化简得化简得3 3x x2 2+4+4y y2 2=12,12,所以所以,动点动点M M的轨迹方程为的轨迹方程为2 2.定义法定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种特殊曲线如果能够确定动点的轨迹满足某种特殊曲线(如直线或圆锥曲线如直线或圆锥曲线)的定义或的定义或特征特征,则可根据定义先设方程则可根据定义
8、先设方程,再求出该曲线的相关参量再求出该曲线的相关参量,从而得到动点的轨迹方程从而得到动点的轨迹方程.【解题规律】【解题规律】熟悉一些常见的基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键熟悉一些常见的基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.(1)(1)圆圆:在同一平面内在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合到定点的距离等于定长的点的集合.(2)(2)椭圆椭圆:到两定点的距离之和为常数到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离大于两定点的距离)的点的轨迹的点的轨迹.(3)(3)双曲线双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离小于两定点的距离)的点的轨
9、迹的点的轨迹.(4)(4)抛物线抛物线:到定点与定直线距离相等的点的轨迹到定点与定直线距离相等的点的轨迹.【例【例3 3】已知点已知点F F(,0),0),直线直线l l:x x=-=-,点点B B是是l l上的动点上的动点.若过若过B B垂直于垂直于y y轴的直线轴的直线l l与与线段线段BFBF的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点M M,则点则点M M的轨迹是的轨迹是()()A.A.双曲线双曲线B.B.椭圆椭圆C.C.圆圆D.D.抛物线抛物线【答案】【答案】D D 【解析】【解析】由已知得由已知得,|,|MFMF|=|=|MBMB|.|.由抛物线定义知由抛物线定义知,点点M M的轨迹是以的
10、轨迹是以F F为为焦点焦点,l l为准线的抛物线为准线的抛物线.【例【例4 4】(2016(2016年全国年全国高考高考,理理20)20)设圆设圆x x2 2+y y2 2+2+2x-x-15=015=0的圆心为的圆心为A A,直线直线l l过点过点B B(1,0)(1,0)且与且与x x轴不重合轴不重合,l l交圆交圆A A于于C C,D D两点两点,过过B B作作ACAC的平行线交的平行线交ADAD于点于点E.E.(1)(1)证明证明|EAEA|+|+|EBEB|为定值为定值,并写出点并写出点E E的轨迹方程的轨迹方程;(2)(2)(略略).【解析】【解析】(1)(1)证明证明:圆圆A A
11、的标准方程为的标准方程为(x x+1)+1)2 2+y y2 2=16,=16,从而从而A A(-1,0),|1,0),|ADAD|=4,|=4,如图如图,BEBEACAC,则则C C=EBDEBD,由由AC=AD=rAC=AD=r,得得D=D=C C,D D=EBDEBD,则则EBEB=EDED,则则|EAEA|+|+|EBEB|=|=|EAEA|+|+|EDED|=|=|ADAD|=4(|=4(定值定值).由题设得由题设得A A(-1,0),1,0),B B(1,0),|(1,0),|ABAB|=2,|=2,|EAEA|+|+|EBEB|=4(|=4(定值定值).由椭圆定义可得点由椭圆定义
12、可得点E E的轨迹是的轨迹是:以以A A、B B为焦点的椭圆为焦点的椭圆,且且2 2a=a=4,24,2c=c=2,2,得得a=a=2,2,c=c=1,1,所以点所以点E E的轨迹方程为的轨迹方程为3 3.相关点法相关点法(转移代入法转移代入法):):当所求动点当所求动点Q Q是随着另一动点是随着另一动点P P(称之为相关点称之为相关点)而运动而运动.如果如果相关点相关点P P所满足某一曲线方程所满足某一曲线方程,这时我们可以用动点坐标这时我们可以用动点坐标Q Q(x x,y y)表示相关点坐标表示相关点坐标P P(x x0 0,y y0 0),),再把相关点再把相关点P P(x x0 0,y
13、 y0 0)代入已知曲线方程代入已知曲线方程,就把相关点所满足的方程转化为所求动点的轨迹就把相关点所满足的方程转化为所求动点的轨迹方程方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或转移代入法这种求轨迹的方法叫做相关点法或转移代入法.【解题规律】【解题规律】“相关点法相关点法”的基本步骤的基本步骤:(1)(1)设点设点:设所求的点设所求的点(被动点被动点)坐标为坐标为(x x,y y),),相关点相关点(主动点主动点)坐标为坐标为(x x0 0,y y0 0).(2)(2)求关系式求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式求出两个动点坐标之间的关系式 (3)(3)代换代换:将上述关系式代入已知曲线方程将上述关
14、系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程便可得到所求动点的轨迹方程.【例【例5 5】(必修必修2 2课本课本P P122122例例5)5)线段线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A在圆在圆(x x+1)+1)2 2+y y2 2=4=4上上运动运动,求求ABAB的中点的中点M M的轨迹的轨迹.【解析】【解析】解题思路解题思路:如图如图,点点A A运动引起点运动引起点M M运动运动,而点而点A A在已知圆上运动在已知圆上运动,点点A A的坐标满的坐标满足方程足方程(x x,y y).建立点建立点M M与点与点A A坐标之间的关系坐标之间的关系
15、,就可以建立点就可以建立点M M的坐标满足的条件的坐标满足的条件,求出点求出点M M的轨迹方程的轨迹方程.4.4.几何法几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满发现动点运动规律和动点满足的条件足的条件,然后得出动点的轨迹方程然后得出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做几何法这种求轨迹方程的方法叫做几何法.【解题规律】【解题规律】求曲线的轨迹方程时求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从从而再用待定系数法求出轨迹的方程而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减
16、少运算量这样可以减少运算量,提高解题速度与质量提高解题速度与质量.【例【例7 7】已知点已知点A A(-3,2)3,2)、B B(1,(1,-4),4),过过A A、B B作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l l1 1和和l l2 2,求求l l1 1和和l l2 2的的交点交点M M的轨迹方程的轨迹方程.【解析】【解析】由平面几何知识可知由平面几何知识可知,当当ABMABM为直角三角形时为直角三角形时,点点M M的轨迹是以的轨迹是以ABAB为直径的为直径的圆圆.此圆的圆心即为此圆的圆心即为ABAB的中点的中点(-1,1,-1),1),半径半径 可得方程为可得方程为(x x+1)+1)2
17、 2+(+(y y+1)+1)2 2=13=13.故故M M的轨迹方程为的轨迹方程为(x x+1)+1)2 2+(+(y y+1)+1)2 2=13=13.【例【例8 8】(2014(2014高考全国新课标高考全国新课标卷文卷文20)20)已知点已知点P P(2,2),(2,2),圆圆C C:x x2 2+y y2 2-8 8y y=0,=0,过点过点P P的动的动直线直线l l与圆与圆C C交于交于A A,B B两点两点,线段线段ABAB的中点为的中点为M M,O O为坐标原点为坐标原点.(1)(1)求求M M的轨迹方程的轨迹方程;(2)(2)(略略).5.5.参数法参数法:求轨迹方程有时很
18、难直接找到动点的求轨迹方程有时很难直接找到动点的x x、y y之间的关系之间的关系,则可借助中间变量则可借助中间变量(参数参数),),使使x x、y y之间建立起联系之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程这种得出动点的轨迹方程这种求轨迹方程的方法叫做参数法求轨迹方程的方法叫做参数法.【解题规律】【解题规律】(1)(1)用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活由于选参灵活,技巧性强技巧性强,也是学生较难也是学生较难掌握的一类问题掌握的一类问题.(2)(2)用参数法求解时用参数法求解时,选用什么变量为参
19、数选用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化要看动点随什么量的变化而变化,一般参数一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间如时间,速度速度,距离距离,角度角度,有向线段的数量有向线段的数量,直线的斜直线的斜率率,点的横、纵坐标等点的横、纵坐标等.也可以没有具体的意义也可以没有具体的意义.常见的参数有常见的参数有:斜率、截距、定比、角、点斜率、截距、定比、角、点的坐标等的坐标等.(3)(3)选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响,要特别注意消要特别注意消参前后保持范围的等价
20、性参前后保持范围的等价性.(4)(4)多参问题中多参问题中,根据方程的观点根据方程的观点,引入引入n n个参数个参数,需建立需建立n+1n+1个方程个方程,才能消参才能消参(特殊情况特殊情况下下,能整体处理时能整体处理时,方程个数可减少方程个数可减少).).【例【例1010】在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,抛物线抛物线y=xy=x2 2上异于坐标原点上异于坐标原点O O的两不同动点的两不同动点A A、B B满满足足AOAOBOBO(如图所示如图所示).求求AOBAOB的重心的重心G G(即三角形三条中线的交点即三角形三条中线的交点)的轨迹方程的轨迹方程.6 6.交轨法交轨法:
21、求两曲线的交点轨迹时求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这或者先引入参数来建立这些动曲线的联系些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程然后消去参数来得到轨迹方程,这种方法称之交轨法这种方法称之交轨法.【解题规律】【解题规律】用交轨法求交点的轨迹方程时用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标不一定非要求出交点坐标,只要能消去只要能消去参数参数,得到交点的两个坐标间的关系即可得到交点的两个坐标间的关系即可.交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况.2 2.(2009(2009新课标文新课标文)已知椭圆已知椭
22、圆C C的中心为直角坐标系的中心为直角坐标系xOyxOy的原点的原点,焦点在焦点在x x轴上轴上,它的一个它的一个顶点到两个焦点的距离分别是顶点到两个焦点的距离分别是7 7和和1 1.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程;(2)(2)若若P P为椭圆为椭圆C C的动点的动点,M M为过为过P P且垂直于且垂直于x x轴的直线上的点轴的直线上的点,=e e(e e为椭圆为椭圆C C的离心率的离心率),),求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线并说明轨迹是什么曲线.3 3.(必修必修2 2课本课本P P124124B B组组2)2)长为长为2 2a a的线段的两个端点在的线
23、段的两个端点在x x轴和轴和y y轴上移动轴上移动,求线段求线段ABAB的的中点中点M M的轨迹方程的轨迹方程.【解析】【解析】解题思路解题思路:求轨迹方程要充分挖掘几何条件求轨迹方程要充分挖掘几何条件,此题中找到了此题中找到了OMOM=ABAB这一等这一等量关系是此题成功的关键所在量关系是此题成功的关键所在.设点设点M M的坐标为的坐标为(x x,y y)由平面几何的中线定理由平面几何的中线定理:在直角三角形在直角三角形AOBAOB中中,M M点的轨迹是以原点为圆心点的轨迹是以原点为圆心,以以a a为半径的圆为半径的圆,其轨迹方程是其轨迹方程是x x2 2+y y2 2=a=a2 2.4 4
24、.已知动圆已知动圆G G经过点经过点F F(1,0)(1,0)并且直线并且直线l l:x=x=1 1相切相切,求动圆圆心求动圆圆心G G的轨迹方程的轨迹方程.【解析】【解析】由抛物线的定义知动圆圆心由抛物线的定义知动圆圆心G G的轨迹为抛物线的轨迹为抛物线,F F为焦点为焦点,直线直线l l为准线为准线,且且 =1=1得得p=p=2,2,动圆圆心动圆圆心G G的轨迹方程为的轨迹方程为y y2 2=4 4x.x.5 5.已知已知ABCABC中中,A A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c c,若若a a,c c,b b依次构成等差数列依次构成等差数列,且且a a c c b
25、 b,|,|ABAB|=2,|=2,求顶点求顶点C C的轨迹方程的轨迹方程.【解析】【解析】如图如图,以直线以直线ABAB为为x x轴轴,线段线段ABAB的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系.由题意由题意,a a,c c,b b构成等差数列构成等差数列,2,2c=a+bc=a+b,即即|CACA|+|+|CBCB|=2|=2|ABAB|=4,|=4,又又|CBCB|CACA|,|,C C的轨的轨迹为椭圆的左半部分迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中在此椭圆中,a a=2,=2,c c=1,=1,b b=,=,故故C C的轨迹方程为的轨迹方程为7 7.(2013(2013高考全国新课标
26、高考全国新课标卷文理科卷文理科)已知圆已知圆M M:(:(x x+1)+1)2 2+y y2 2=1,1,圆圆N N:(:(x-x-1)1)2 2+y y2 2=9,=9,动圆动圆P P与与圆圆M M外切并与圆外切并与圆N N内切内切,圆心圆心P P的轨迹为曲线的轨迹为曲线C.C.(1)(1)求求C C的方程的方程;(2)(2)(略略).【解析】【解析】由已知得圆由已知得圆M M的圆心为的圆心为M M(-1,0),1,0),半径半径r r1 1=1;1;圆圆N N的圆心为的圆心为N N(1,0),(1,0),半径半径r r2 2=3 3.设圆心设圆心P P为为(x x,y y),),半径为半径
27、为R.R.(1)(1)因为圆因为圆P P与圆与圆M M外切并且与圆外切并且与圆N N内切内切,所以所以|PMPM|+|+|PNPN|=(|=(R R+r r1 1)+()+(r r2 2-R-R)=)=r r1 1+r r2 2=42=42.由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知,曲线曲线C C是以是以M M、N N为左、右焦点为左、右焦点,长半轴长为长半轴长为2,2,短半轴长为短半轴长为 的椭圆的椭圆(左左顶点除外顶点除外),),其轨迹方程为其轨迹方程为8 8.一动圆与圆一动圆与圆O O:x x2 2+y y2 2=1=1外切外切,而与圆而与圆C C:x x2 2+y y2 2-6 6x x+8=
28、0+8=0内切内切,那么动圆的圆心那么动圆的圆心M M的轨迹是的轨迹是()()A.A.抛物线抛物线B.B.圆圆C.C.椭圆椭圆D.D.双曲线一支双曲线一支【答案】【答案】D D【解析】【解析】令动圆半径为令动圆半径为R R,则有则有 则则|MOMO|-|-|MCMC|=2,|=2,满足双满足双曲线定义曲线定义.故选故选D D.9 9.已知圆的方程为已知圆的方程为(x-x-1)1)2 2+y y2 2=1,1,过原点过原点O O作圆的弦作圆的弦OAOA,则弦的中点则弦的中点M M的轨迹方程的轨迹方程是是 .1010.点点M M 到点到点F F(4,0)(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线x
29、 x+5+5=0 0的距离小的距离小1,1,则点则点M M 的轨迹方程是的轨迹方程是 .【答案】【答案】y y2 2=16=16x x 【解析】【解析】解题思路解题思路:点点M M到点到点F F(4,0)(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线x+x+5 5=0 0的距的距离小离小1,1,意味着点意味着点M M到点到点F F(4,0)(4,0)的距离与它到直线的距离与它到直线x x+4=0+4=0的距离相等的距离相等.由抛物线标准方程可写由抛物线标准方程可写出点出点M M的轨迹方程的轨迹方程.依题意依题意,点点M M到点到点F F(4,0)(4,0)的距离与它到直线的距离与它到直线x x=-
30、4=-4的距离相等的距离相等.则点则点M M的轨迹是以的轨迹是以F F(4,0)(4,0)为焦点、为焦点、x x=-4 4为准线的抛物线为准线的抛物线.故所求轨迹方程为故所求轨迹方程为y y2 2=16=16x.x.1111.已知动点已知动点P P 到定点到定点F F(1,0)(1,0)和直线和直线x x=3=3的距离之和等于的距离之和等于4,4,求点求点P P的轨迹方程的轨迹方程.1212.(2013(2013高考陕西卷理高考陕西卷理20)20)已知动圆过定点已知动圆过定点A A(4,0),(4,0),且在且在y y轴上截得的弦轴上截得的弦MNMN的长为的长为8 8.(1)(1)求动圆圆心的
31、轨迹求动圆圆心的轨迹C C的方程的方程;(2)(2)(略略)【解析】【解析】(1)(1)利用曲线的求法求解轨迹方程利用曲线的求法求解轨迹方程,但要注意结合图形寻求等量关系但要注意结合图形寻求等量关系.如图如图,设动圆圆心为设动圆圆心为O O1 1(x x,y y),),由题意由题意,得得|O O1 1A A|=|=|O O1 1M M|,|,当当O O1 1不在不在y y轴上时轴上时,过过O O1 1作作O O1 1H HMNMN交交MNMN于于H H,则则H H是是MNMN的中点的中点,化简得化简得y y2 2=8 8x x(x x0)0).又当又当O O1 1在在y y轴上时轴上时,O O
32、1 1与与O O重合重合,点点O O1 1的坐标为的坐标为(0,0)(0,0)也满足方程也满足方程y y2 2=8 8x x,动圆圆心的轨迹动圆圆心的轨迹C C的方程为的方程为y y2 2=8 8x.x.1313.已知两个定圆已知两个定圆O O1 1和和O O2 2,它们的半径分别是它们的半径分别是1 1和和2,2,且且|O O1 1O O2 2|=4|=4.动圆动圆M M与圆与圆O O1 1内切内切,又与又与圆圆O O2 2外切外切,建立适当的坐标系建立适当的坐标系,求动圆圆心求动圆圆心M M 的轨迹方程的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线并说明轨迹是何种曲线.【解析】【解析】解题思路解题思路:
33、求曲线的轨迹方程时求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量这样可以减少运算量,提高解题速度与质量提高解题速度与质量.利用两圆内、外切的充要条件找出点利用两圆内、外切的充要条件找出点M M 满足的几何条件满足的几何条件,结合双曲线的定义求解结合双曲线的定义求解.如图所示如图所示,以以O O1 1O O2 2的中点的中点O O为原点为原点,O O1 1O O2 2所在直线为所在直线为x x轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系.由由|O O1 1O O2
34、2|=4,|=4,得得O O1 1(-2,0)2,0)、O O2 2(2,0)(2,0).设动圆设动圆M M的半径为的半径为r r,则由动圆则由动圆M M与圆与圆O O1 1内切内切,有有|MOMO1 1|=|=r r-1;-1;由动圆由动圆M M与圆与圆O O2 2外切外切,有有|MOMO2 2|=|=r r+2+2.|MOMO2 2|-|-|MOMO1 1|=3|=3.点点M M的轨迹是以的轨迹是以O O1 1、O O2 2为焦点为焦点,实轴长为实轴长为3 3的双曲线的左支的双曲线的左支.点点M M的轨迹方程为的轨迹方程为1414.(2015(2015高考广东文理高考广东文理)已知过原点的
35、动直线已知过原点的动直线l l与圆与圆C C1 1:x x2 2+y y2 2-6 6x x+5=0+5=0相交于不同的两相交于不同的两点点A A,B.B.(1)(1)求圆求圆C C1 1的圆心坐标的圆心坐标;(2)(2)求线段求线段ABAB的中点的中点M M 的轨迹的轨迹C C 的方程的方程.解题小结解题小结:本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识,转转化与化归化与化归,数形结合思想和运算求解能力数形结合思想和运算求解能力,属于中高档题属于中高档题,本题本题(1)(2)(1)(2)问相对简单问相对简单,但第但第(2)(2)问需注意取值范围问需注意取值范围:x x33.1515.(2016(2016年全国年全国,文文20)20)已知抛物线已知抛物线C C:y y2 2=2 2x x的焦点为的焦点为F F,平行于平行于x x轴的两条直线轴的两条直线l l1 1,l l2 2分别交分别交C C于于A A,B B两点两点,交交C C的准线于的准线于P P,Q Q两点两点.(1)(1)若若F F在线段在线段ABAB上上,R R是是PQPQ的中点的中点,证明证明:ARARFQFQ;(2)(2)若若PQFPQF的面积是的面积是ABFABF的面积的两倍的面积的两倍,求求ABAB中点的轨迹方程中点的轨迹方程.
