1、歐亞書局1.4 多項式的因式分解多項式的因式分解歐亞書局1.4 多項式的因式分解多項式的因式分解學習目標 利用特殊乘積與因式分解技巧分解多項式。求根式的定義域。利用綜合除法因式分解三次或更高次的多項式。利用有理根定理求多項式的實數根。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-19歐亞書局因式分解的技巧因式分解的技巧 代數基本定理代數基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)是指每個 n 次多項式 anxn+an1xn1+.+a1x+a0,an 0恰有n個根根(zeros)(這些根可能為重根或者為虛根)。求多項式之根的問題相當於分解多項式成線性因式的問題。第一
2、章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-19歐亞書局因式分解的技巧因式分解的技巧第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-19歐亞書局因式分解的技巧因式分解的技巧第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-191-20歐亞書局範例 1應用二次公式第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-20 用二次公式求下列多項式的實數根。a.4x2+6x+1b.x2+6x+9c.x2 6x+5歐亞書局範例 1應用二次公式（解）a.用 a 4、b 6 和 c 1 代入可得所以，兩個實數根為 和351.3094x 第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-20350.1914x 歐亞書
3、局範例 1應用二次公式（解）b.將 a 1、b 6 以及 c 9 代入二次公式得所以，只有一個(重複的)根：x 3c.就這個二次方程式而言，代入 a 2、b 6 以及 c 5。所以，因為 是虛數，所以沒有實數根。246363663222bbacxa 246364064244bbacxa 第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-204歐亞書局檢查站檢查站 1 1 用二次公式求下列多項式的實數根。a.2x2+4x+1b.x2 8x+16c.2x2 x+5第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-20歐亞書局學習提示學習提示 用因式分解來解範例 1(b)，會得到相同的解嗎？第一章微積分
4、基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-20歐亞書局因式分解的技巧因式分解的技巧 範例 1(a)的根是無理數，而範例 1(c)的根是虛數。這兩種情況的二次式稱為不可約的不可約的(irreducible)，因為不能分解為有理係數的線性因式。下一範例將說明如何求可約二次式的根，在這個範例中，因式分解是用來求二次式的根。試著用二次公式去求出相同的根。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-21歐亞書局範例 2二次式的因式分解 求下列二次多項式的根。a.x2 5x+6b.x2 6x+9c.2x2+5x 3第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-21歐亞書局範例 2二次式的因式分解（解）a.
5、因為x2 5x 6 (x 2)(x 3)所以根為 x 2 以及 x 3。b.因為x2 6x 9 (x 3)2所以只有一個根為 x 3c.因為2x2 5x 3 (2x 1)(x 3)所以根為 x 和 x3。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-2112歐亞書局學習提示學習提示 以 x 為變數的多項式的根就是將其代入 x 會使多項式為零。求根時，須將多項式分解成線性因式，然後將每一因式設為零。例如，(x 2)(x 3)的根會在 x 2 0以及 x 3 0 時產生。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-21歐亞書局檢查站檢查站 2 2 求下列二次多項式的根。a.x2 2x 15b
6、.x2+2x+1c.2x2 7x+6第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-21歐亞書局範例 3求根式的定義域 求 的定義域。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-21232xx歐亞書局範例 3求根式的定義域（解）因為x2 3x 2 (x 1)(x 2)二次式的根為 x 1 和 x 2。所以需要檢驗二次式在區間(,1)、(1,2)和(2,)的正負，如圖 1.15 所示。檢驗每個區間的正負後，可知二次式在中間的區間為負，而在外面的兩個區間為正。此外，因為 x 1 以及 x 2 時，二次式為零，所以 的定義域是(,1 2,)定義域定義域第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.
7、1-21232xx歐亞書局範例 3求根式的定義域（解）第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-21 圖圖1.15歐亞書局檢查站檢查站 3 3 求 的定義域。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-2122xx歐亞書局三次或更高次多項式的因式分解三次或更高次多項式的因式分解 求三次或更高次多項式的根可能是很困難的。但是若知道其中一個根，那就可以用這個根來降低多項式的次數。例如，x 2 是 x3 4x2 5x 2 的一個根，那麼(x 2)就是一個因式，且可用長除法分解多項式，如下所示：x3 4x2 5x 2 (x 2)(x2 2x 1)(x 2)(x 1)(x 1)如同選擇長除法一
8、樣，很多人更喜歡使用綜綜合除法合除法(synthetic division)去降低多項式的次數。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-22歐亞書局三次或更高次多項式的因式分解三次或更高次多項式的因式分解第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-22歐亞書局三次或更高次多項式的因式分解三次或更高次多項式的因式分解 對多項式 x3 4x2 5x 2 使用綜合除法時，由已知根 x 2 可得第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-22歐亞書局三次或更高次多項式的因式分解三次或更高次多項式的因式分解第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-22 在使用綜合除法時，要將所有的
9、係數都列入尤其是係數為零時。例如，如果已知 x 2 是 x3 3x 14 的一個根，則綜合除法的應用如下所示：歐亞書局學習提示學習提示第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-22 上頁綜合除法的演算只是針對類型為 x x1 的除數，其實 x x1 x (x1)也就是這種型式。歐亞書局有理根定理有理根定理 接下來要介紹求多項式之有理根的系統方法，即有理根定理有理根定理(Rational Zero Theorem)。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-221-23歐亞書局範例 4有理根定理的使用第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-23 求多項式 2x3 3x2 8x
10、 3 所有的實數根。歐亞書局範例 4有理根定理的使用（解）可能的有理根就是常數項的因數除以首項係數的因數。由驗算這些可能的根時，得知 x 1 就是一個根。2(1)3+3(1)2 8(1)+3=2+3 8+3=0第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-2311331,1,3,3,2222歐亞書局範例 3有理根定理的使用（解）現在，由綜合除法可得到下面的結果。最後，因式分解 2x2 5x 3 (2x 1)(x 3)，可得2x3 3x2 8x 3 (x 1)(2x 1)(x 3)所以求得的根為 x 1、x 和 x 3。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-2312歐亞書局學習提示學
11、習提示 在範例 4 中，可將求得的根代入原多項式，以檢驗答案是否正確。檢驗 x 1 是否為根2(1)3+3(1)2 8(1)+3 2+3 8+3 0第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-23歐亞書局學習提示（續）學習提示（續）第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-23 檢驗 x 是否為根檢驗 x 3 是否為根2(3)3+3(3)28(3)+3 54+27+24+3 01232 23831343440111222歐亞書局檢查站檢查站 4 4第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-23 求多項式 2x3 3x2 3x 2所有的實數根。歐亞書局 选择选择=结果结果汇报结束汇报结束 谢谢观看谢谢观看！欢迎提出您的宝贵意见！欢迎提出您的宝贵意见！
