1、第七章第七章 参数估计参数估计习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点三、典型例题三、典型例题二、主要内容二、主要内容一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点矩估计矩估计与与最大似然估计最大似然估计.一个正态总体参数的区间估计一个正态总体参数的区间估计.2.难点难点最大似然估计最大似然估计矩估计量矩估计量估计量的评选估计量的评选二、主要内容二、主要内容最大似然估最大似然估计量计量最大似然估计的性质最大似然估计的性质似然函数似然函数无偏性无偏性正态总正态总体均值体均值方差的方差的置信区置信区间与上间与上下限下限有效性有效性置信区间和上下限置信区间和上下限求置信区间的求置信区间的步骤步骤相合性
2、相合性第七章第七章 备用例题备用例题例例1解解.,)0(.,0 ,0,00,e)(,)(0大似然估计大似然估计的最的最试求试求只器件失效只器件失效此时有此时有束束结结试验进行到预定时间试验进行到预定时间投入独立寿命实验投入独立寿命实验在时刻在时刻只只从这批器件中任取从这批器件中任取未知未知其中其中其他其他概率密度概率密度指数分布指数分布服从服从以小时计以小时计设某种电子器件的寿命设某种电子器件的寿命 nkkTtnttfTt ,:0只器件未失效只器件未失效失效失效只器件只器件为止有为止有试验到时间试验到时间设事件设事件knkTA 三、典型例题三、典型例题 ),(tFT 的分布函数为的分布函数为记
3、记,00,e1)(其他其他ttFt ,0 投入试验投入试验一只器件在一只器件在 t 0以前失效的概率为以前失效的概率为在时间在时间T)(0TF 0TTP,e10T 0未失效的概率为未失效的概率为在时间在时间T)(10TF 0TTP,e0T 根据试验的独立性根据试验的独立性,的概率为的概率为事件事件 A,e e1)(00knTkTknL ),)(e1lnln)(ln00TknkknLT ,0)(e1ed)(lnd 0000 TknkTLTT 令令 ,e 0knnT 得得 的最大似然估计为的最大似然估计为解得解得 .ln10knnT 解解?)05.0(,0025.0,7.12,16,0.01,),
4、(22 问此仪器工作是否稳定问此仪器工作是否稳定算得算得个点个点今抽测今抽测超过超过按仪器规定其方差不得按仪器规定其方差不得现对该区进行磁测现对该区进行磁测从正态分布从正态分布设某异常区磁场强度服设某异常区磁场强度服sxN,05.0,16 n,5.27)15(2025.0 置信区间为置信区间为的的 1 2 ,26.6)15(2975.0 )1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn ),00599.0,00136.0(.,0.012故此仪器工作稳定故此仪器工作稳定不超过不超过由于方差由于方差 例例2备备 用用 例例 题题例例3解解.2(2).),;(,05.0)d,;(1),.,)
5、,(222122的最大似然估计的最大似然估计求求的概率密度的概率密度是是其中其中估计估计的最大似然的最大似然的点的点求使得求使得的样本的样本是来自是来自未知未知设总体设总体 XPXxfaxxfXXXXNXan ,的最大似然估计分别为的最大似然估计分别为已知已知 ,x .)(121xxnnii axxf)d,;()1(2 ),;(),;(22 aFF ,1 a )(的分布函数的分布函数为为 XF,05.01 a要使要使95.0 a),645.1(,645.1 a.645.1 a由最大似然估计的不变性由最大似然估计的不变性,的最大似然估计是的最大似然估计是a.645.1 a2 (2)XP,21 由
6、最大似然估计的不变性由最大似然估计的不变性,2 的最大似然估计为的最大似然估计为知知 XP.212 XP例例4?,)3(.,)2(.1 ,)1(,0,e)(2122121)(中哪一个较有效中哪一个较有效问问计量计量的无偏估的无偏估是是并验证并验证的矩估计量的矩估计量求求的无偏估计量的无偏估计量是是并验证并验证的最大似然估计量的最大似然估计量求求的样本的样本是来自是来自为未知参数为未知参数其他其他的概率密度的概率密度设总体设总体 nXXXXxxfXnx 解解,(1)2121的一个样本值的一个样本值是相应于样本是相应于样本设设nnXXXxxx似然函数为似然函数为 .,0,e)(211)(其他其他
7、nnixxxxLi ,),min(21)1(nxxxx 记记 ,)1(21 xxxxn相当于相当于由于由于 .,0,e)(1)(1)1xxLniinx 因而因而 ,)(1)的增加而递增的增加而递增随随时时当当 Lx 0.)(1)Lx时时当当 ,)(1)时取最大值时取最大值当当xL ,)1(x 的最大似然估计值为的最大似然估计值为,)1(X 的最大似然估计量的最大似然估计量 的分布函数的分布函数因为因为 X xxxfxF)d()(其他其他,0,e)(xxx .,0,e1)(其他其他 xx )1(的分布函数为的分布函数为则则 XnXxFxF)(1)()1(.,0,e1)(其他其他 xxn )1(的
8、概率密度为的概率密度为X)()1(xfX .,0,e)(其他其他 xnxn )1(的数学期望为的数学期望为X)()1(XE xnxxnde)(xxxnxndee)()(,1 n .)1(的无偏估计量的无偏估计量不是不是因此因此 X ,11 (1)nXn 因为因为 ,1 nE则则 .11 (1)1的无偏估计量的无偏估计量是是于是于是 nXn xxXExde)(2)(因为因为 xxxxdee)()(,1 ,1)(XE 所以所以.1 2 X 的矩估计量的矩估计量)1()(2 XEE 因为因为,1)(XE .12的无偏估计量的无偏估计量是是所以矩估计量所以矩估计量 X xxXExde)(3)(22 x
9、xxxxde2e)()(2,1)(22 22)()()(XEXEXD ,11)(1)(222 )1()(2 XDD 故故)(XD)(1XDn,1n )(2)1(XE因为因为 xnxxnde)(2 xxxxnxnde2e)()(2,122 nn 2)1(2)1()1()()()(XEXEXD 22112 nnn ,12n nXDD1)(1)1)(1)XD 21n n1),(2 D ,1 时时当当 n),()(21 DD .21有效有效较较故故 ).(),(),()3(;)2(;,(1),)(212121SEXDXEXXXXXXXXXXniinn求求的分布律的分布律及及求求的联合分布律的联合分布律求求的样本的样本为来自总体为来自总体服从服从设设 练习练习1
