1、概率统计韩旭里谢永钦版3章课件第三章第三章 随机向量随机向量第一节第一节 二维随机向量及其分布二维随机向量及其分布第二节第二节 边缘分布边缘分布第三节第三节 条件分布条件分布第四节第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性第五节第五节 两个随机变量的函数的分两个随机变量的函数的分布布1、二维随机向量及其分布函数、二维随机向量及其分布函数定义定义1：设：设E是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=e.设设X(e)与与Y(e)是定义在同一样本空间是定义在同一样本空间 上的两上的两个个随机变量随机变量,则称则称(X(e),Y(e)为为 上的上的二维随机向量二维随机向量或或二维随机
2、变量二维随机变量。简记为。简记为(X,Y).定义定义2：设：设(X,Y)是二维随机向量是二维随机向量,对于任意实数对于任意实数x,y，称，称二元函数二元函数 F(x,y)=PX x，Y y 为二维随机向量为二维随机向量(X,Y)的的分布函数分布函数或或联合分布函数联合分布函数。第一节第一节 二维随机向量及其分布二维随机向量及其分布上一页上一页下一页下一页返回返回(X,Y)的分布函数满足如下的分布函数满足如下基本性质基本性质：(2)0 F(x,y)1(1)F(x,y)是变量是变量x,y的不减函数的不减函数.0),(,yFy对于任意的对于任意的0),(,xFx对于任意的对于任意的1),(0),(F
3、F，)0,(),(),0(),(,),()3(yxFyxFyxFyxFyxyxF，是右连续的，即是右连续的，即关于关于0),(),(),(),(,),(),()4(1121122221212211 yxFyxFyxFyxFyyxxyxyx有有，和和对于任意对于任意上一页上一页下一页下一页返回返回2、二维离散型随机变量、二维离散型随机变量定义定义3：若二维随机向量：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有的所有可能取值是有限对或无限可列多对限对或无限可列多对,则称则称(X,Y)为为二维离散型随机二维离散型随机向量向量。设设(X,Y)的一切可能值为的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,，
4、且，且(X,Y)取取各对可能值的概率为各对可能值的概率为 PX=xi，Y=yj=pij，i,j=1,2,(1)非负性非负性:pij0，i，j=1，2；1)2(,jiijp规范性：规范性：上一页上一页下一页下一页返回返回,(,),X YF x yP Xx Yypijxx yyii 离离散散型型随随机机变变量量的的联联合合分分布布函函数数：定义定义4的联合分布律。的联合分布律。和和或随机变量或随机变量的概率分布或分布律，的概率分布或分布律，离散型随机变量离散型随机变量为二维为二维称称YXYXjipYYxXPij),(,.)2,1,(,上一页上一页下一页下一页返回返回(X,Y)的分布律也可用表格形式
5、表示的分布律也可用表格形式表示 Y X y1 y2 yj x 1 x2 .xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j .pi1 pi2 pij 上一页上一页下一页下一页返回返回例例1:从一个装有从一个装有2个红球个红球,3个白球和个白球和4个黑球的袋中随机个黑球的袋中随机地取地取3个球个球,设设X和和Y分别表示取出的红球数和白球数分别表示取出的红球数和白球数,求求(X,Y)的分布律的分布律,并求并求PX1,Y2,PX+Y=2,及及PX=1.843391322/1,2 CCCYXP解解:X的可能值为的可能值为0,1,2,Y的可能为的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可的所有可能值为
6、能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率计算可得由古典概率计算可得 8443934/0,0 CCYXP8418392413/1,0 CCCYXP8412391423/2,0 CCCYXP8413933/3,0 CCYXP8412392412/0,1 CCCYXP842439141312/1,1 CCCCYXP846392312/2,1 CCCYXP844391422/0,2 CCCYXP上一页上一页下一页下一页返回返回于是于是(X,Y)的分布可用表示的分布可用表示 Y X0 1 2 30124/84 18/84
7、 12/84 1/8412/84 24/84 6/84 0 4/84 3/84 0 0由由(X,Y)的分布的分布律律,所求概率为所求概率为6905.08458842484128418844 1,10,1 1,00,02,1 YXPYXPYXPYXPYXP上一页上一页下一页下一页返回返回4762.08440844842484120,2 1,12,02 YXPYXPYXPYXP5.08442846842484122,11,10,11 YXPYXPYXPXP上一页上一页下一页下一页返回返回3、二维连续型随机变量、二维连续型随机变量.,),(),(简简称称为为概概率率密密度度联联合合概概率率密密度度函
8、函数数的的称称为为非非负负二二元元函函数数YXyxf定义定义5：设设(X,Y)为二维随机向量为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数对于任意实数x,y，有，有 xydvduvufyxF),(),(.),(为为二二维维连连续续型型随随机机向向量量则则称称YX上一页上一页下一页下一页返回返回 1),()2(dxdyyxf的的性性质质：概概率率密密度度)(xf;0),()1(yxf),(),(,),(),()3(2yxfyxyxFyxyxf 则则连连续续在在若若 GdxdyyxfGYXPxOyG),(),(,)4(
9、则则平平面面的的一一区区域域为为设设上一页上一页下一页下一页返回返回.),(,),(,)4(,1,)2(.),(为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以知知由性质由性质积为积为平面之间空间区域的体平面之间空间区域的体介于该曲面和介于该曲面和知知由性质由性质表示空间的一张曲面表示空间的一张曲面在几何上在几何上yxfzGDYXPxOyyxfz ,)4(,)3(;)2(;)1(00,10),(),(:221412143 YXPYPXPAxyxAxyxfYX系数系数求求其它其它的概率密度为的概率密度为设随机向量设随机向量例例33)(),(1)1(100 AAdx
10、Axdydxdyyxfx得得由由概概率率密密度度的的性性质质知知解解：上一页上一页下一页下一页返回返回6437),(),(43,),(43,43|),()2(DdxdyyxfDyxPXPDYXXxyxD于于是是则则设设641),(21,41)4(2141 yxdxdyyxfYXP1611),(21)3(21 ydxdyyxfYP类类似似地地可可计计算算上一页上一页下一页下一页返回返回11y=xoxy1Oyx1Oyx41143Oyx上一页上一页下一页下一页返回返回 设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为S,若二维随机变若二维随机变量量(X.,Y)的概率密度为的概率密度为 其
11、它其它0),(1),(GyxAyxf设设(X,Y)在区域在区域G上服从均匀分布上服从均匀分布,D为为G内的一区域内的一区域,即即D G,且且D的面积为的面积为S(D),那么那么SDSdxdySdxdyyxfDYXPDD)(1),(),(二维均匀分布二维均匀分布则称则称(X,Y)在区域在区域G上服从均匀分布上服从均匀分布.上一页上一页下一页下一页返回返回若若(X.,Y)的概率密度为的概率密度为)()(2)(121exp121),(2222212121212221 yyxxyxf二维正态分布二维正态分布).,(),(),(.11,0,0,21212121 NYXYX记为记为服从二维正态分布，服从二
12、维正态分布，则称则称其中其中 上一页上一页下一页下一页返回返回4、n维随机变量维随机变量 设设E是一个随机试验是一个随机试验,它的样本空间是它的样本空间是=(e).设设随机变量随机变量 是定义在同一样本空是定义在同一样本空间间 上的上的n个随机变量，则称向量个随机变量，则称向量 为为n维随机向量维随机向量或或n维随机变量维随机变量。简记为简记为)(,),(),(21eXeXeXn)(,),(),(21eXeXeXn),(21nXXX设设 是是n维随机变量，对于任意实维随机变量，对于任意实数数 ,称称n元函数元函数为为n维随机变量维随机变量 的的联合分布函数联合分布函数。),(21nXXXnxx
13、x,21,),.,(221121nnnxXxXxXPxxxF ),(21nXXX上一页上一页下一页下一页返回返回 X和和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于关于X和和Y的的边缘分布函数边缘分布函数，分别记为，分别记为FX(x),FY(y)。当。当已知已知(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)时，可通过时，可通过),(),(lim,lim,)(yFyxFyYxXPyYXPyYPyFxxY 求得两个边缘分布函数求得两个边缘分布函数第二节第二节 边缘分布边缘分布 ),(),(limlim,xFyxFyx，YXPYxXPxXPxFyyX上一页
14、上一页下一页下一页返回返回例例1：设二维随机向量：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为230,20)3(;)2(;,)1()3arctan)(2arctan(),(XPYXPYXCBAyCxBAyxF及及求求的边缘分布函数的边缘分布函数和和求求的值的值试确定试确定.2,2,1,0)2)(2arctan(),(0)3arctan)(2(),(1)2)(2(),(,)1(:2 CBACxBAxFyCBAyFCBAF由此可解得由此可解得知知由分布函数的性质由分布函数的性质解解上一页上一页下一页下一页返回返回3arctan121)3arctan2(1),()(2arctan121)
15、2arctan2(1),()()2(22yyyFyFxxxFxFYX 由由定定义义可可得得161418383169)0,0()3,0()0,2()3,2(30,20:41)2(1212,)3(FFFFYXPFXPXPXX可可得得得得的的边边缘缘分分布布函函数数由由上一页上一页下一页下一页返回返回1、二维离散型随机变量的边缘分布、二维离散型随机变量的边缘分布,2,1,),(jipyYxXPYXijji其其分分布布律律为为为为二二维维离离散散型型随随机机向向量量设设 xxjijXipxFxF),()(于于是是有有边边缘缘分分布布函函数数.2,1,),(,.2,1,),(jpyYPYYXipxXPX
16、YXYXYXiijjjiji的的边边缘缘分分布布律律为为关关于于同同理理的的边边缘缘分分布布律律为为关关于于边边缘缘分分布布律律的的和和关关于于关关于于自自身身分分布布律律分分别别称称之之为为和和上一页上一页下一页下一页返回返回0,1,0,1,0:2121 kYkXPnkknYnX时时当当的的所所有有可可能能值值为为的的所所有有可可能能值值为为解解.),(,.1),3,2,1(10,)(,),(,.,:221321321321321边边缘缘分分布布律律的的和和关关于于的的分分布布律律及及关关于于求求现现的的次次数数出出次次试试验验中中分分别别表表示示以以次次立立地地重重复复独独将将试试验验满满
17、足足有有三三个个结结果果试试验验例例YXYXAAnYXnEpppippAPAAAjiAAAAAAAAEiiiji 上一页上一页下一页下一页返回返回,)1(,212121212121321213221121kknkkkknkkpppppppkknAkAkAnkk 次次试试验验中中出出现现的的概概率率为为在在其其余余次次试试验验中中出出现现在在另另外外指指定定的的某某次次试试验验中中出出现现在在指指定定的的某某由由于于试试验验的的独独立立性性时时当当2121211211211211)1(,.,212121212211kknkkkknknkknknkknknkknknppppCCkYkXPCCCCC
18、CAAkAkAn 因因此此个个事事件件两两两两互互斥斥的的种种不不同同顺顺序序对对而而且且这这种种不不同同的的出出现现顺顺序序总总共共有有次次试试验验中中出出现现可可在在其其中中任任意意而而次次试试验验中中出出现现可可在在其其中中任任意意次次试试验验中中考考虑虑到到在在上一页上一页下一页下一页返回返回nkppCkYPYknkkn,2,1,0,)1(2222222 的边缘分布律为的边缘分布律为同样可求得关于同样可求得关于nkknkkppppCCkYkXPYXkknkkkknkn 2121212121,1,0,)1(,),(2121211的分布律为的分布律为所以所以).,(,2,1,0,)1(,1
19、111210111112pnbXnkppCkYkXPkXPXknkknknk可见可见的边缘分布律为的边缘分布律为关于关于 上一页上一页下一页下一页返回返回2、二维连续型随机变量的边缘分布、二维连续型随机变量的边缘分布设设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，则则()()()xXFx=F x,f x,y dy dx 从而知，从而知，X为连续型随机变量且概率密度为为连续型随机变量且概率密度为 dyyxfdxxdFxfXX),()()(.),()(),(的的边边缘缘概概率率密密度度和和关关于于关关于于为为分分别别称称YXYXyfxfYX同理，同理
20、，Y也是连续型随机变量，其概率密度为也是连续型随机变量，其概率密度为 dxyxfdyydFyfYY),()()(上一页上一页下一页下一页返回返回61)(:10 dxxxSD的面积的面积区域区域解解)().(),(,|),(),(:32如图如图的边缘概率密度的边缘概率密度和和求关于求关于上服从均匀分布上服从均匀分布在区域在区域设二维随机向量设二维随机向量例例yfxfYXyxyyxDYXYX 其它其它的概率密度为的概率密度为所以所以06),(),(2yxyyxfYX yOx2yx yx 其它其它其它其它010)(66),()(010)(66),()(22yyYxxXyyydydxyxfyfxxxd
21、ydyyxfxf上一页上一页下一页下一页返回返回.,2,1,|,0,.,2,1,|,0,),(的条件分布律的条件分布律条件下条件下为在为在则称则称若若对于固定的对于固定的同样同样的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若对于固定的对于固定的是二维离散型随机向量是二维离散型随机向量设设YxXjxXPyYxXPxXyYPxXPiXyYiyYPyYxXPyYxXPyYPjYXiijiijijjiijij 第三节第三节 条件分布条件分布1、二维离散型随机变量的条件分布律、二维离散型随机变量的条件分布律定义定义6:上一页上一页下一页下一页返回返回例例1：一射手进行射击一射手
22、进行射击,每次射击击中目标的概率均为每次射击击中目标的概率均为p(0p1)且假设各次击中目标与否相互独立且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行射击进行到击中目标两次为止到击中目标两次为止.设以设以X表示到第一次击中目标所表示到第一次击中目标所需要的射击次数需要的射击次数,以以Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数.试求试求(X,Y)的联合分布律和条件分布律的联合分布律和条件分布律.pqiijiqpjYiXPj 1,2,1,2,1,22解解:由题意由题意,X=i表示第表示第i次首次击中目标次首次击中目标,Y=j表示表示第第j次击中目标次击中目标,因而因而ij,X=i,Y=j表示第表示第
23、i次和第次和第j次次击中目标而其余击中目标而其余j-2次均未击中目标次均未击中目标.于是于是(X,Y)的联的联合分布律为：合分布律为：上一页上一页下一页下一页返回返回,3,2)1(,2,12211221122 jqpjqpjYPipqqpiXPYXjjijijij的的边边缘缘分分布布律律分分别别为为和和关关于于关关于于由由这这一一联联合合分分布布律律可可得得上一页上一页下一页下一页返回返回jjjYjXp qP Xi Yjijjjp q22222,3,1|1,2,11(1)对对于于固固定定的的 在在条条件件下下 的的条条件件分分布布律律为为,2,1|,2,11122 iijpqpqqpiXjYP
24、YiXiijij的条件分布律为的条件分布律为下下在条件在条件对于固定的对于固定的上一页上一页下一页下一页返回返回2、二维连续型随机变量的条件分布、二维连续型随机变量的条件分布定义定义7：对固定的实数对固定的实数y，设对于任意给定的正数，设对于任意给定的正数，Py-0,且若对于任意实数且若对于任意实数x，极限，极限lim0yYyxXP,lim0yYyPyYyxXP存在，则称此极限为存在，则称此极限为在在Y=y的条件下的条件下X的条件分布函数的条件分布函数，记作记作P 或记为或记为 .yYxX )(yxFYX同样同样,在在X=x条件下随机变量条件下随机变量Y的条件分布函数的条件分布函数lim)(0
25、 xXxyYPxyFXY为为)|(xyFXY上一页上一页下一页下一页返回返回设设(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y)，概率密度为，概率密度为f(x,y)。若在点。若在点(x,y)处处f(x,y)连续，边缘概率密度连续，边缘概率密度fY(y)连续，且连续，且fY(y)0，则有：则有：)(),(2/)()(2/),(),(lim)()(),(),(lim,lim)(000yFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYYYYYYX 亦即亦即 xYYxYXduyfyufyfduyufyxF)(),()(),()(上一页上一页下一页下一页返回返回类似地在
26、相应条件下可得在类似地在相应条件下可得在X=x条件下条件下Y的条件概率的条件概率密度为密度为)(),()(xfyxfxyfXXY 若记若记 为条件为条件Y=y下下X的条件概率函数，则由上的条件概率函数，则由上式知：式知：)(),()(yfyxfyxfYYX)(yxfYX上一页上一页下一页下一页返回返回 其它其它011),(22yxyxf 且有边缘概率密度且有边缘概率密度 其其它它01112121122yydxyy 当当1y1时有：时有：其其它它01112112/1)(),()(2222yxyyyyfyxfyxfYYX 解：解：(X,Y)的概率密度为的概率密度为 dxyxfyfY),()(例例2
27、：设随机变量设随机变量(X,Y)在区域在区域D=(x,y)x2+y21上上服从均匀分布，求条件概率密度服从均匀分布，求条件概率密度 。)(yxfYX上一页上一页下一页下一页返回返回特别特别y=0和和y=时条件概率密度分别为时条件概率密度分别为21 其它其它01121)0(xyxfYX 其它其它0232331)21(xyxfYX类似于条件概率的乘法公式，也有类似于条件概率的乘法公式，也有)()()()(),(yfyxfxfxyfyxfYYXXXY 上一页上一页下一页下一页返回返回设设F(x,y)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的分布函数，的分布函数，(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的边缘
28、分布函数分别为的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上，则上式等价于式等价于第四节第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义8：设设X和和Y是两个随机变量，如果对于任意实是两个随机变量，如果对于任意实数数x和和y，事件，事件Xx与与Yy相互独立，即有相互独立，即有P Xx,Yy=PXxPYy，则称，则称随机变量随机变量X与与Y相互独立相互独立。RyxyFxFyxFYX ,),()(),(由独立性定义可证由独立性定义可证“若若X与与Y相互独立，则对于任意实数相互独立，则对于任意实数x1x2,y1y2,事件事件 x1Xx2与事件与事件 y1Yy2相互独立相互独立”。上一页上一页下一页
29、下一页返回返回结论推广结论推广：“若若X与与Y独立，则对于任意一维区间独立，则对于任意一维区间I1和和I2，事件，事件XI1与与YI2相互独立相互独立”。Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)-FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1)=FX(x2)-FX(x1)FY(y2)-FY(y1)=Px1Xx2Py1Yy2 所以事件所以事件x1Xx2与与y1Yy2是相互独立的。是相互独立的。当（当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的）为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律
30、或概率密度来判别分布律或概率密度来判别X与与Y的独立性。的独立性。上一页上一页下一页下一页返回返回例例1:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。的分布律如表所示。X Y-102-1/22/201/202/2012/201/202/201/24/202/204/20问问X与与Y相相互独立吗？互独立吗？解解:X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为X -1/2 1 1/2pi.1/4 1/4 1/2Y -1 0 2p.j 2/5 1/5 2/5 逐一验证可知，逐一验证可知，pij=pi.p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。）。从而从而X与与Y相互独立。相互独立。上一页上
31、一页下一页下一页返回返回例例2:设设X和和Y都服从参数为都服从参数为1的指数分布，且相互独的指数分布，且相互独立，试求立，试求PX+Y1。000)(yyeyfyY由于由于X与与Y相互独立，所以相互独立，所以(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其它其它00,0)()(),()(yxeyfxfyxfyxYX于是于是 1),(1yxdadyyxfYXP解解:设设fX(x),fY(y)分别为分别为X和和Y的概率密度，则的概率密度，则 000)(xxexfxX2642.02111010)(edyedxxyx上一页上一页下一页下一页返回返回第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布1、
32、二维离散型随机变量的函数分布、二维离散型随机变量的函数分布 Y12101/321/31/3例例 设（设（X,Y）分布律为）分布律为求求 XY,XY,XY及及X/Y的分布的分布.解：先列出下表解：先列出下表X上一页上一页下一页下一页返回返回P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)X Y2334X Y0 110XY1224X/Y11/221于是于是X+Y的分布律为的分布律为X+Y234P02/31/3上一页上一页下一页下一页返回返回同理同理X-YX-Y的分布律为的分布律为X Y 101P1/31/31/3X/Y124P02/31/3XYXY及及X/YX/Y的分布律分
33、别为的分布律分别为XY124P02/31/3上一页上一页下一页下一页返回返回设设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数为一已知的连续函数)。大部分情。大部分情况下，况下，Z是一连续型随机变量。是一连续型随机变量。),()(zYXgPzZPzFZ dxdyyxfzyxg),(),(为求为求Z的概率密度，可先求出的概率密度，可先求出Z的分布函数的分布函数2、二维连续型随机变量的函数分布、二维连续型随机变量的函数分布上一页上一页下一页下一页返回返回即首先找出上式右端的积分区域即首先找出上式右端的积分区域
34、Dz。如果求得了。如果求得了FZ(z),那么可通过那么可通过 求出求出Z的概率密的概率密度度 。dzzdFzfZZ)()()(zfZ求解过程中，关键在于将事件求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为用等价地转化为用(X,Y)表示的事件表示的事件g(X,Y)z=(X,Y),其其中中 。zD),(),(zyxgyxDz 上一页上一页下一页下一页返回返回例例1：设：设 且且X与与Y相互相互独立，求独立，求 的概率密度。的概率密度。),0(),0(22 NYNX22YXZ 22222221)(,21)(yYxXeyfexf 由于由于X与与Y相互独立，于是相互独立，于是(X,Y)的概率密度为的概率密度
35、为 2222221)()(),(yxYXeyfxfyxf 先求先求Z的分布函数的分布函数FZ(z)(22zYXPxZPzFZ 解解：X和和Y的概率密度分别为的概率密度分别为当当z0时时,zxZdxexzxzf011212121)()()()(zzdxxzxe011212121)()()(1011121212121)1()()(dtttezztxz 令令zez 121212121)()(),(zez 1212121)(上一页上一页下一页下一页返回返回综上所述，综上所述，Z=X+Y的概率密度为的概率密度为 0 00)()(1212121zzezzfzZ 这正是参数为这正是参数为 的的 分布的概率密
36、度。分布的概率密度。,21 上一页上一页下一页下一页返回返回 21),(),()(,),(),(DDzdxdyyxfdxdyyxfzZPzFZYXZYXZyxfYX的的分分布布函函数数为为的的概概率率密密度度现现求求又又的的联联合合概概率率密密度度为为设设商的分布商的分布)2(0),(),(1yzDdxdyyxfdxdyyxf而而yx1D2Dzyx 上一页上一页下一页下一页返回返回 yzzduyyuyfdxyxf),(),(得得 zzDdyduyyuyfdudyyyuyfdxdyyxf00),(),(),(1于是于是),0(),(,yyxudxyxfyzyz作作换换元元积积分分对对于于固固定定
37、的的 0),(),(:2yzDdudyyyuyfdxdyyxf类似地可得类似地可得 zdyduyyuyf0),(上一页上一页下一页下一页返回返回 21),(),()(:DDzdxdyyxfdxdyyxfzF故故有有:的的概概率率密密度度为为由由概概率率密密度度定定义义可可得得YXZ 00),(),(dudyyyuyfdyyyuyfz zdudyyyufy),(|dyyyzfyzfZ),(|)(:相相互互独独立立时时有有与与当当YX dyyfyzfyzfYXz)()(|)(.)()(的的概概率率密密度度和和分分别别为为和和其其中中YXyfxfYX上一页上一页下一页下一页返回返回.:0002)(0
38、00)(,:32的的概概率率密密度度求求它它们们的的概概率率密密度度分分别别为为相相互互独独立立和和设设例例YXZyyeyfxxexfYXyYxX dyyfyzfyzfZYXZ)()(|)(:的的概概率率密密度度为为解解2)2(22)(002 zdyeyezfxyyzZ时时当当0)(,0 zfxZ时时当当 0 00)2(2)(2xxzzfYXZZ的的概概率率密密度度为为所所以以上一页上一页下一页下一页返回返回的的分分布布函函数数与与现现在在求求的的分分布布函函数数为为设设NMyxFYX),(),(的的分分布布及及),min(),max()3(YXNYXM ),(,),max()(zzFzYzX
39、PzYXPzMPzFM ).,()()(11 ,1),min(1 ),min()(zzFzFzFzzFzFzFzYzXPzYXPzYXPzNPzFYXYXN ，.,)(),(的的边边缘缘分分布布函函数数分分别别为为YXyFxFYX)(1)(1(1)()()()(zFzFzFzFzFzFYXYXNYXM 独独立立时时有有与与当当上一页上一页下一页下一页返回返回),2,1)(,21nixFXnXXXiXini 的的分分布布函函数数为为且且个个相相互互独独立立的的随随机机变变量量是是设设.的的情情形形个个相相互互独独立立的的随随机机变变量量上上两两式式容容易易推推广广到到 n)(1)(1)(1 1)
40、()()()()(),min(),max(21212121zFzFzFzFzFzFzFzFXXXNXXXMnXXXNXnXXMnn 的的分分布布函函数数为为则则nNnMnzFzFzFzFxFXXX)(11)()()(),(,21 则则有有布布函函数数相相互互独独立立具具有有相相同同的的分分若若上一页上一页下一页下一页返回返回.,0,00 00)(0 00)(,)2()1(,42121的的概概率率密密度度的的寿寿命命求求出出系系统统方方式式试试分分别别就就以以上上两两种种联联接接其其中中别别为为已已知知它它们们的的密密度度函函数数分分和和的的寿寿命命分分别别为为和和设设如如图图所所示示并并联联串
41、串联联其其联联接接方方式式分分别别为为联联接接而而成成和和统统由由两两个个相相互互独独立立的的子子系系：设设系系统统例例ZLyyeyfxxexfYXLLLLLyYxX XY1L2LX1LY2L上一页上一页下一页下一页返回返回分分布布函函数数分分别别为为和和YX的的概概率率密密度度为为得得Z的的分分布布函函数数为为Z),min(,21YXZLLLL 的的寿寿命命为为所所以以这这时时工工作作就就停停止止系系统统中中有有一一个个损损坏坏时时和和当当解解:(1)1)串联情况串联情况 0 001)(1)(11)()(zzeyFxFzFzYXZ XY1L2L 0 001)(0 001)(yyeyFxxexFyYxX 0 00)()()(zzezfzZ 上一页上一页下一页下一页返回返回),max(YXZL 的的寿寿命命为为此此时时系系统统(2)(2)并联情况并联情况 0 001)(1()(),max()zzeezFYXZzzZ 的的分分布布函函数数为为由由公公式式得得0 00)()(),max()(zzeeezfYXZzzzZ的概率密度为于是得X1LY2L上一页上一页下一页下一页返回返回
