1、高高 等等 数数 学学第七章 无穷级数 11/26/2022第1页第七章 无穷级数 无穷项的和式无穷项的和式无穷级数无穷级数常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数无穷级数无穷级数无穷多项相加而构成的表达式无穷多项相加而构成的表达式 研究函数的工具研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算11/26/20222第七章 无穷级数 7.1 常数项级数的概念常数项级数的概念与性质与性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件11/26/20223第七章 无穷级数 一、常数项级数的概念一、常数
2、项级数的概念如如11.0.30.030.003.3 11111.24816 11/26/20224第七章 无穷级数 1.1.级数的定义级数的定义:)1(3211 nnnuuuuu一般项或通项一般项或通项注：注：利用下标变量替换（标号变换）利用下标变量替换（标号变换）11102.nnnnnnuuu 11/26/20225第七章 无穷级数 niinnuuuus121级数的前级数的前n项部分和，简称为部分和项部分和，简称为部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 部分和数列部分和数列ns根据部分和这个数列有没有极限，我们引入根据部分和这个数列有没有极限，我们引入级数（
3、级数（1）是否具有）是否具有“和数和数”，即即收敛或发散收敛或发散的概念的概念11/26/20226第七章 无穷级数 2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:11/26/20227第七章 无穷级数 即即 常常数数项项级级数数收收敛敛(发发散散)nns lim存存在在(不不存存在在)余项余项nnssr 21nnuu 1iinu)0lim(nnr11/26/20228第七章 无穷级数 解解例例1部分和部分和拆项相消拆项相消1111 22 3(1)nsn n11111(1)()()2231nn 11,1n 1limlim(1)1,1nnnsn 所以级数收敛（其和为所以级数收敛（其和为 1）11/2
4、6/20229第七章 无穷级数 解解时时若若1 q121 nnqqqs,11qqn 例例2,1)1(时时当当 q0lim nnqqsnn 11lim,1)2(时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散11/26/202210第七章 无穷级数 时时如果如果1)3(q,1时时当当 q,1时时当当 q nsn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上.,1,10 发散发散时时当当收敛收敛时时当当qqaqnn11/26/202211第七章 无穷级数 解解例例3级数部分和为级数部分和为111,12npppsn ,1时时当当 p2111111()(
5、)2347nnppppss 111()(2)(21)npnp 11/26/202212第七章 无穷级数 1124821248(2)npppnp 11111()12,111122nppp ,1时时当当 p11112npppsn 1111,23n 11/26/202213第七章 无穷级数 111ln(11)ln(1)ln(1)ln(1)23nsn ln(1),n .,1,110 发发散散时时当当收收敛敛时时当当ppnnp11/26/202214第七章 无穷级数 性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛,则则 1nnku亦亦收收敛敛.结论结论:级数的每一项同乘一个非零的常数级数的每一项同
6、乘一个非零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质11/26/202215第七章 无穷级数 1111111(),11nnnnnnn 11/26/202216第七章 无穷级数 解解例例4是收敛的是收敛的,故原级数发散故原级数发散性质性质3 3 级数中去掉、增加或改变有限项，不级数中去掉、增加或改变有限项，不 会改变级数的敛散性会改变级数的敛散性 11/26/202217第七章 无穷级数 注：注：今后判别敛散性（无需求和）时可以把今后判别敛散性（无需求和）时可以把级数级数 简单写成简单写成1n
7、nu .nu 11/26/202218第七章 无穷级数 注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如例如 1111 收敛收敛 发散发散11/26/202219第七章 无穷级数.0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss .0 即即趋于零趋于零它的一般项它的一般项无限增大时无限增大时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件11/26/202220第七章 无穷级数 注意注意 1)1(4332211nnn例如例如 发散发散必要条件
8、不充分必要条件不充分.一般项趋于零的级数可能收敛，也可能发散。一般项趋于零的级数可能收敛，也可能发散。如如1;n 21.n 推论：推论：若若 ,则则 发散发散;lim0nnu nu 11/26/202221第七章 无穷级数 解解例例51lim(1)1nnnnn 1limlim(1)01nnnnenn 所给的级数发散所给的级数发散11/26/202222第七章 无穷级数 注注：本章会用到下列一些数列的极限：本章会用到下列一些数列的极限：lim0(|1),nnqqlim1(0),nnaalim1,nnn lim 1/1,nnn lim(1)1(1),nnnaa lim()(0),nnnnaba ab 11/26/202223第七章 无穷级数 1lim(1),nnen000,lim,./,llmnmlllma nalmb nbab lm ，11/26/202224第七章 无穷级数 四、小结四、小结1 1.由由定定义义,若若ssn,则则级级数数收收敛敛;2 2.当当0lim nnu,则则级级数数发发散散;3 3.按按基基本本性性质质.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法11/26/202225
