1、专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 专题十三以圆为背景的相似专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明三角形的计算与证明 专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析【例【例 1 1】(2014(2014玉林玉林)如图的如图的OO中，中，ABAB为直径，为直径，OCABOCAB，弦弦CDCD与与OBOB交于点交于点F F，过点，过点D D、A A分别作分别作OO的切线交于点的切线交于点 G G，并与，并与ABAB延长线交于点延长线交于点E.E.(1)(1)求证：求证：11
2、2.2.(2)(2)已知：已知：OFOBOFOB1313，OO的的 半径为半径为3 3，求，求AGAG的长的长 典例精析典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析解解 (1)(1)证明：连接证明：连接ODOD，如图，如图，DEDE为为OO的切线，的切线，ODDEODDE，ODEODE9090，即即22ODCODC9090，OCOCODOD，CCODCODC，22CC9090，OCOBOCOB，CC339090，2233，1133，112.2.典例精析典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆
3、为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析(2)OFOB(2)OFOB1313，OO的半径为的半径为3 3，OFOF1 1，1122，EFEFEDED，在在RtRtODEODE中，中，ODOD3 3，DEDEx x，则，则EFEFx x，OEOE1 1x x，ODOD2 2DEDE2 2OEOE2 2，332 2x x2 2(x(x1)1)2 2，解得，解得x x4 4，DEDE4 4，OEOE5 5，AGAG为为OO的切线，的切线，AGAEAGAE，GAEGAE9090，OEDOEDGEAGEA，RtRtEODRtEODRtEGAEGA，典例精析典例精析专题十三以圆为背
4、景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析探究提高探究提高本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理和相似三角形的判定过切点的半径，也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质与性质 典例精析典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析【例【例 2 2】(2014(2014咸宁咸宁)如图，已知如图，已知ABAB是是OO的直径，直线的直径，直线CDCD 与与OO相切于点相切于点C C，ADCDAD
5、CD于点于点D.D.(1)(1)求证：求证：ACAC平分平分DABDAB；(2)(2)若点若点E E为为 的中点，的中点，ADAD ，ACAC8 8，求，求ABAB和和CECE的长的长 典例精析典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析解解 (1)(1)证明：连接证明：连接OCOC，直线直线CDCD与与OO相切于点相切于点C C，OCCDOCCD，ADCDADCD，OCADOCAD，DACDACOCAOCA，OAOAOCOC，OCAOCAOACOAC，OACOACDACDAC，即，即ACAC平分平分DAB.DA
6、B.典例精析典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析(2)(2)连接连接BCBC、OEOE，过点，过点A A作作AFBCAFBC于点于点F F，ABAB是是OO的直径，的直径，ACBACB9090，ACBACBADCADC，DACDACCABCAB，ADCADCACBACB，点点E E为为 的中点，的中点，AOEAOE9090，典例精析典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析典例精析典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计
7、算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类深度剖析深度剖析探究提高探究提高此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质此题难度适性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用 典例精析典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练1.1.(2014(2014荆门荆门)如图，如图，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，D D、
8、E E是半圆上任是半圆上任 意两点，连接意两点，连接ADAD、DEDE、AEAE与与BDBD相交于点相交于点C C，要使，要使ADCADC与与 ABDABD相似，可以添加一个条件下列添加的条件中错相似，可以添加一个条件下列添加的条件中错 误的是误的是 ()A.ACD A.ACDDAB DAB B.ADB.ADDEDE C.AD2 C.AD2BDCD BDCD D.ADABD.ADABACBD ACBD 对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 B B、ADADDEDE，DAEDAEBB，ADCADCBDABDA，故本选项正确；，故本选
9、项正确；题型分类题型分类对点训练对点训练解析解析 如图，如图，ADCADCADBADB，A A、ACDACDDABDAB，ADCADCBDABDA，故本选项正确；，故本选项正确；C C、ADAD2 2BDCDBDCD，ADBDADBDCDADCDAD，又，又ADCADCBDABDA，ADCADCBDABDA，故本选项正确；，故本选项正确；D D、ADABADABACBDACBD，ADBDADBDACABACAB，但，但ADCADCADBADB不是夹角，故本选项错误故选不是夹角，故本选项错误故选D.D.对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算
10、与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练1.1.(2014(2014荆门荆门)如图，如图，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，D D、E E是半圆上任是半圆上任 意两点，连接意两点，连接ADAD、DEDE、AEAE与与BDBD相交于点相交于点C C，要使，要使ADCADC与与 ABDABD相似，可以添加一个条件下列添加的条件中错相似，可以添加一个条件下列添加的条件中错 误的是误的是 ()A.ACD A.ACDDAB DAB B.ADB.ADDEDE C.AD2 C.AD2BDCD BDCD D.ADABD.ADABACBD ACBD 对点训练对点训练D D 专题十三以圆为背景的相似三角形
11、的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练2.2.(2014(2014内江内江)如图，如图，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，ACAC4 4，BC BC6 6，以斜边，以斜边ABAB上的一点上的一点O O为圆心所作的半圆分别与为圆心所作的半圆分别与 AC AC、BCBC相切于点相切于点D D、E E，则，则ADAD为为 ()A.2.5 A.2.5 B.1.6 B.1.6 C.1.5 C.1.5 D.1 D.1 对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训
12、练对点训练解析解析 连接连接ODOD、OEOE，设，设ADADx x，半圆分别与半圆分别与ACAC、BCBC相切，相切，CDOCDOCEOCEO9090，CC9090，ODODOEOE，四边形四边形ODCEODCE是正方形，是正方形，CDCDODODCECE4 4x x，BEBE6 6(4(4x)x)x x2 2，ACOEACOE，AABOEBOE，AODOBEAODOBE，对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练2.2.(2014(2014内江内江)如图，如图，RtRtABCABC中，中，ACBAC
13、B9090，ACAC4 4，BC BC6 6，以斜边，以斜边ABAB上的一点上的一点O O为圆心所作的半圆分别与为圆心所作的半圆分别与 AC AC、BCBC相切于点相切于点D D、E E，则，则ADAD为为 ()A.2.5 A.2.5 B.1.6 B.1.6 C.1.5 C.1.5 D.1 D.1 对点训练对点训练B B 专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练3.3.(2014(2014绵阳绵阳)如图，如图，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，C C是半圆是半圆O O上一点，上一点，OQBC OQBC于点于点
14、Q Q，过点，过点B B作半圆作半圆O O的切线，交的切线，交OQOQ的延长线于的延长线于 点点P P，PAPA交半圆交半圆O O于于R R，则下列等式中正确的是，则下列等式中正确的是 ()对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解析解析 (1)(1)连接连接AQAQ，如图，如图1 1，BPBP为半圆为半圆O O的切线，的切线，ABAB为半圆为半圆O O的直径，的直径，ABPABPACBACB9090，OQBCOQBC，OQBOQB9090，OQBOQBOBPOBP9090，对点训练对点训练专题十三以
15、圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练AOQAOQPOAPOA，OAQOAQOPAOPA，OAQOAQOPAOPA，OQBOQBACBACB9090，ACOPACOP，CAPCAPAPOAPO，CAPCAPOAQOAQ，CAQCAQBAPBAP，ACQACQABPABP9090，ACQACQABPABP，对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的
16、计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练(3)(3)连接连接OROR，如图，如图2 2，OQBCOQBC，BQBQCQCQ，对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练3.3.(2014(2014绵阳绵阳)如图，如图，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，C C是半圆是半圆O O上一点，上一点，OQBC OQBC于点于点Q Q，过点，过点B B作半圆作半圆O O的切
17、线，交的切线，交OQOQ的延长线于的延长线于 点点P P，PAPA交半圆交半圆O O于于R R，则下列等式中正确的是，则下列等式中正确的是 ()对点训练对点训练A A 专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练4.4.(2014(2014南宁南宁)如图，如图，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACACBCBC a a，以斜边，以斜边ABAB上的点上的点O O为圆心的圆分别与为圆心的圆分别与ACAC、BCBC相切于点相切于点 E E、F F，与，与ABAB分别交于点分别交于点G G、H H，且，且EHEH的
18、延长线和的延长线和CBCB的延长的延长 线交于点线交于点D D，则，则CDCD的长为的长为_ 对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解析解析 如图，连接如图，连接OEOE、OFOF，由切线的性质可得，由切线的性质可得OEOEOFOF，OECOECOFCOFCCC9090，OECFOECF是正方形，是正方形，对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练OEDBOEDB，OEOEOHOH，OEHOEHBDHBDH，
19、对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练4.4.(2014(2014南宁南宁)如图，如图，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACACBCBC a a，以斜边，以斜边ABAB上的点上的点O O为圆心的圆分别与为圆心的圆分别与ACAC、BCBC相切于点相切于点 E E、F F，与，与ABAB分别交于点分别交于点G G、H H，且，且EHEH的延长线和的延长线和CBCB的延长的延长 线交于点线交于点D D，则，则CDCD的长为的长为_ 对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明
20、专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练5.5.(2013(2013广安广安)雅安芦山发生雅安芦山发生7.07.0级地震后，某校师生准备了级地震后，某校师生准备了 一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆 制作玩具，寄给灾区的小朋友已知如图，是腰长为制作玩具，寄给灾区的小朋友已知如图，是腰长为4 4的的 等腰直角三角形等腰直角三角形ABCABC，要求剪出的半圆的直径在，要求剪出的半圆的直径在ABCABC的的 边上，且半圆的弧与边上，且半圆的弧与ABCABC的其他两边相切，请作出所有的其他两边相切，请作出
21、所有 不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径(结果保留根结果保留根 号号)对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练6.6.(2014(2014陕西陕西)如图，如图，OO的半径为的半径为4 4，B B是
22、是OO外一点，连接外一点，连接 OB OB，且，且OBOB6 6，过点，过点B B作作OO的切线的切线BDBD，切点为，切点为D D，延长，延长BOBO 交交OO于点于点A A，过点，过点A A作切线作切线BDBD的垂线，垂足为的垂线，垂足为C.C.(1)(1)求证：求证：ADAD平分平分BACBAC；(2)(2)求求ACAC的长的长 对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解解 (1)(1)证明：连接证明：连接ODOD，BDBD是是OO的切线，的切线，ODBDODBD，ACBDACBD，ODACOD
23、AC，2233，OAOAODOD，1133，1122，即，即ADAD平分平分BAC.BAC.(2)ODAC(2)ODAC，BODBODBACBAC，对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练7.7.(2014(2014资阳资阳)如图，如图，ABAB是是OO的直径，过点的直径，过点A A作作OO的切线的切线 并在其上取一点并在其上取一点C C，连接，连接OCOC交交OO于点于点D D，BDBD的延长线交的延长线交 AC AC于于E E，连接，连接AD.AD.(1)(1)求证：求证：CDECDECADCAD
24、；对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解解 (1)(1)证明：证明：ABAB是是OO的直径，的直径，ADBADB9090，BBBADBAD9090，ACAC为为OO的切线，的切线，BAACBAAC，BACBAC9090，即即BADBADCADCAD9090，BBCADCAD，OBOBODOD，BBODBODB，ODBODBCDECDE，BBCDECDE，CDECDECADCAD，ECDECDDCADCA，CDECDECAD.CAD.对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三
25、以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练8.8.(2014(2014宜昌宜昌)已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD为平行四边形，以为平行四边形，以 CD CD为直径作为直径作OO，OO与边与边BCBC相交于点相交于点F F，OO的切线的切线DEDE与与 边边ABAB相交于点相交于点E E，且，且AEAE3EB.3EB.(1)(1)求证：求证：ADEADECDFCDF；(2)(2)当当CFFBCFFB1212时，求时，求
26、OO与平行四边形与平行四边形ABCDABCD的面积的面积 之比之比 对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解解 (1)(1)证明：证明：CDCD是是OO的直径，的直径，DFCDFC9090，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AACC，ADBCADBC，ADFADFDFCDFC9090，DEDE为为OO的切线，的切线，DEDCDEDC，EDCEDC9090，ADFADFEDCEDC9090，ADEADECDFCDF，AACC，ADEADECDF.CDF.对点训练对点训练专题十三以
27、圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练(2)CFFB(2)CFFB1212，设设CFCFx x，FBFB2x2x，则，则BCBC3x3x，AEAE3EB3EB，设设EBEBy y，则，则AEAE3y3y，ABAB4y4y，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADADBCBC3x3x，ABABDCDC4y4y，xx、y y均为正数，均为正数，xx2y2y，BCBC6y6y，CFCF2y2y，对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类
28、对点训练对点训练对点训练对点训练在在RtRtCDFCDF中，中，DFCDFC9090，专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练9.9.(2014(2014呼和浩特呼和浩特)如图，如图，ABAB是是OO的直径，点的直径，点C C在在OO上，过上，过 点点C C作作OO的切线的切线CM.CM.(1)(1)求证：求证：ACMACMABCABC；(2)(2)延长延长BCBC到到D D，使，使BCBCCDCD，连接，连接ADAD与与CMCM交于点交于点E E，若，若OO 的半径为的半径为3 3，EDED2 2，求，求ACEAC
29、E的外接圆的半径的外接圆的半径 对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解解 (1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OCOC，ABAB为为OO的直径，的直径，ACBACB9090，ABCABCBACBAC9090，又又CMCM是是OO的切线，的切线，OCCMOCCM，ACMACMACOACO9090，COCOAOAO，BACBACACOACO，ACMACMABC.ABC.对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练
30、对点训练(2)BC(2)BCCDCD，AOAOBOBO，OCADOCAD，又又OCCEOCCE，ADCEADCE，ACEACE是直角三角形，是直角三角形，ACEACE的外接圆的直径是的外接圆的直径是ACAC，ABCABCBACBAC9090，ACEACEECDECD9090，对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练10.10.(2014(2014株洲株洲)如图，如图，PQPQ为圆为圆O O的直径，点的直径，点B B在线段在线段PQPQ的延的延 长线上，长线上，OQOQQBQB1 1，动点，动点A A在
31、圆在圆O O的上半圆运动的上半圆运动(含含P P、Q Q两点两点)，以线段，以线段ABAB为边向上作等边三角形为边向上作等边三角形ABC.ABC.对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练(1)(1)当线段当线段ABAB所在的直线与圆所在的直线与圆O O相切时，求相切时，求ABCABC的面积的面积(图图1)1)；(2)(2)设设AOBAOB，当线段，当线段ABAB、与圆、与圆O O只有一个公共点只有一个公共点(即即A A点点)时，求时，求的范围的范围(图图2 2，直接写出答案，直接写出答案)；(3)(3
32、)当线段当线段ABAB与圆与圆O O有两个公共点有两个公共点A A、M M时，如果时，如果AOPMAOPM于点于点N N，求求CMCM的长度的长度(图图3)3)对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练如答图如答图1 1所示所示.专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练(2)(2
33、)当点当点A A与点与点Q Q重合时，线段重合时，线段ABAB与圆与圆O O只有一个公共点，只有一个公共点，此时此时0 0；当线段当线段A A1 1B B所在的直线与圆所在的直线与圆O O相切时，如图相切时，如图2 2所示，所示，线段线段A A1 1B B与圆与圆O O只有一个公共点，只有一个公共点，此时此时OAOA1 1BABA1 1，OAOA1 11 1，OBOB2 2，当线段当线段ABAB与圆与圆O O只有一个公共点只有一个公共点(即即A A点点)时，时，的范围为：的范围为：0 06060.对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练(3)(3)连接连接MQMQ，如图，如图3 3所示所示PQPQ是是OO的直径，的直径，PMQPMQ9090，OAPMOAPM，PNOPNO9090，PNOPNOPMQPMQ，对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练对点训练对点训练
