1、6-7 定积分在经济学中的应用定积分在经济学中的应用1总成本总成本 =固定成本固定成本 +可变成本可变成本)(qC0C)(1qC平均成本平均成本(单位成本单位成本)=qqCC)(10 收益收益=价格销量，即价格销量，即R(Q)=PQ.利润利润=总收益总收益-总成本，即总成本，即L(Q)=R(Q)-C(Q).2 f(x)在在 x=x0处的边际值为处的边际值为f(x0).0 xx 边际的经济意义边际的经济意义:当当 时时,x 改变一个单位改变一个单位,y 改变改变)(0 xf 个个单位单位.边际成本；边际收益；边际利润边际成本；边际收益；边际利润3第七节第七节 定积分在经济学中的应用定积分在经济学
2、中的应用一、已知边际函数求总函数一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值二、资金流的现值和未来值 第六章 4一、已知边际函数求总函数一、已知边际函数求总函数 问题：问题：已知某边际经济函数，求该总经济量已知某边际经济函数，求该总经济量.设某个经济函数设某个经济函数 u(x)的边际函数为的边际函数为 ,则有则有)(xu)0()()(0uxudxxux 于是于是.)()0()(0 xdxxuuxu52.已知销售某产品的边际收益为已知销售某产品的边际收益为 ，x为销售量，为销售量，R(0)=0,则总收益函数为则总收益函数为)x(R x0dx)x(R)x(R1.已知生产某产品的边际成本为已知生
3、产某产品的边际成本为 ，x为产量，为产量，固定成本为固定成本为C(0),则总成本函数为则总成本函数为()C x 00()()()xC xC x dxC 63.设利润函数设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中其中x为产量，为产量，R(x)是收益函数是收益函数,C(x)是成本函数，若是成本函数，若 L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为：均可导，则边际利润为：L (x)=R(x)-C(x).因此总利润为：因此总利润为：0d0()()()xL xL xxL 0d0()()()xR xC xxC 7 例例1 生产某产品的边际成本函数为生产某产品的边际成本函数为 100143)(2 xx
4、xC 固定成本固定成本 C(0)=1000,求生产求生产 x 个产品的总成本函数个产品的总成本函数.解解 dxxCCxCx 0)()0()(dxxxx 02)100143(1000.1007100023xxx 8 例例2 已知边际收益为已知边际收益为 ,设设R(0)=0,求求 收益函数收益函数R(x).xxR278)(解解 xdxxRxR0)278()0()(.782xx 9 例例3：设某商品的边际收益为设某商品的边际收益为()200100QR Q 199.75(50)(50)50RR 00()200100QQQR Q dQdQ()R Q (50)9987.5R 21200200QQ(1)(1
5、)求销售求销售5050个商品时的总收益和平均收益；个商品时的总收益和平均收益；(2)(2)如果已经销售了如果已经销售了100100个商品，求再销售个商品，求再销售100100个商品的总收益和平均收益；个商品的总收益和平均收益；解解:(1)总收益函数总收益函数:平均收益平均收益:10 例例3：设某商品的边际收益为设某商品的边际收益为()200100QR Q 198.5(200)(100)200100RRR 200100200100QdQ (200)(100)RR19850 (1)(1)求销售求销售5050个商品时的总收益和平均收益；个商品时的总收益和平均收益；(2)(2)如果已经销售了如果已经销
6、售了100100个商品，求再销售个商品，求再销售100100个商品的总收益和平均收益；个商品的总收益和平均收益；解解:(2)总收益为总收益为:平均收益平均收益:11 例例4：已知生产某产品已知生产某产品x台台的边际成本为的边际成本为2150()11C xx 210150ln(1)xxx2()305R xx()C x 201501011xdxx 0(0)()xCC x dx (万元万元/台台)，边际收入为，边际收入为 (万元万元/台台).).(1)(1)若不变成本为若不变成本为C(0)=10(万元万元/台台),),求总成本函数，求总成本函数，总收入函数和总利润函数；总收入函数和总利润函数；(2)
7、(2)当产量从当产量从4040台增加到台增加到8080台时台时,总成本与总收入的增量总成本与总收入的增量;解解:(1)总成本为总成本为12 由于当产量为零时总收入为零由于当产量为零时总收入为零,即即R(0)=0,(0)=0,于是于是22129150ln(1)105xxxx0()(0)()xR xRR x dx 020(30)5xx dx()()()L xR xC x21305xx 总收入为总收入为总利润函数为总利润函数为138040(80)(40)()CCC x dx 143.96 240 8040(80)(40)()RRR x dx （万元）（万元）(2)(2)当产量从当产量从4040台增加
8、到台增加到8080台时台时,总成本的增量为总成本的增量为;当产量从当产量从4040台增加到台增加到8080台时台时,总收入的增量为总收入的增量为;（万元）（万元）14 二、由变化率求总量二、由变化率求总量 例例5 某工厂生产某商品某工厂生产某商品,在时刻在时刻 t 的总产量变化率的总产量变化率为为 (单位单位/小时小时).求由求由 t=2 到到 t=4 这两小时这两小时 的总产量的总产量.ttx12100)(解解 总产量总产量 4242)12100()(dttdttxQ.2726100422 tt 例例6 生产某产品的边际成本为生产某产品的边际成本为 ,当当 产量由产量由200增加到增加到30
9、0时时,需追加成本为多少需追加成本为多少?xxC2.0150)(解解 追加成本追加成本dxxC 300200)2.0150(30020021.0150 xx .10000 15 例例7 在某地区当消费者个人收入为在某地区当消费者个人收入为 x 时时,消费消费支出支出 W(x)的变化率的变化率 ,当个人收入由当个人收入由 900 增加增加到到 1600 时时,消费支出增加多少消费支出增加多少?xxW15)(解解 dxxW 160090015160090030 x.300 16 设有本金设有本金A0,年利率为年利率为r,则一年后得利息则一年后得利息A0r,本利和本利和为为A0A0rA0(1r),n
10、年后所得利息年后所得利息nA0r,本利和为本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)这就是这就是单利的本利和计算公式单利的本利和计算公式假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.三、收益流的现值与未来值三、收益流的现值与未来值17 第二年以第一年后的本利和第二年以第一年后的本利和A1为本金为本金,则两年后的则两年后的本利和为本利和为A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照，照此计算此计算,n年后应得本利和为年后应得本利和为AnA0(1r)n这就是这就是一般
11、复利的本利和计算公式一般复利的本利和计算公式.这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被计入下一期的本金计入下一期的本金.就像常说的就像常说的“利滚利利滚利”.三、收益流的现值与未来值三、收益流的现值与未来值18 资金周转过程是不断持续进行的资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分若一年中分n期计算期计算,年利率仍为年利率仍为r,于是每期利率为于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为则一年后的本利和为A1A(1 r/n)n，t年后本利和为年后本利和为AtA(1 r/n)nt，若采取瞬时结算法若采取瞬时结算法,即随时生息即随时生息,随时计算随时计算,也就是
12、也就是n时时,得得t年后本利和为年后本利和为 这就是这就是连续复利公式连续复利公式0lim(1)nttnrAAn 00lim(1).nrtrtrnrAAen 19 因此，在年利率为因此，在年利率为r的情形下的情形下,若采用若采用连续复利连续复利，有：，有：（1）已知现值为）已知现值为A0,则则t年后的未来值为年后的未来值为AtAert，（2）已知未来值为）已知未来值为At,则贴现值为则贴现值为A At e-rt期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时每刻计算复利的方式称为每刻计算复利的方式称为连续复利连续复利.时刻时刻t的一个货币单位在时刻的一个
13、货币单位在时刻0时的价值时的价值.20 我们知道我们知道,若以连续复利率若以连续复利率 r 计息计息,一笔一笔 P 元人民币元人民币 从现在起存入银行从现在起存入银行,t 年后的价值年后的价值(将来值将来值),t rPeB 若若 t 年后得到年后得到 B 元人民币元人民币,则现在需要存入银行的则现在需要存入银行的金金 额额(现值现值).t rBeP 下面先介绍收益流和收益流量的概念下面先介绍收益流和收益流量的概念.若某公司的收益是连续地获得的若某公司的收益是连续地获得的,则其收益可被看作则其收益可被看作是一种随时间连续变化的是一种随时间连续变化的收益流收益流.而收益流对时间的变化而收益流对时间
14、的变化率称为率称为收益流量收益流量.4、收益流的现值和将来值、收益流的现值和将来值21 收益流量实际上是一种速率收益流量实际上是一种速率,一般用一般用 R(t)表示表示;若时间若时间 t 以年为单位以年为单位,收益以元为单位收益以元为单位,则收益流量的则收益流量的 单位为单位为:元元/年年.(时间时间 t 一般从现在开始计算一般从现在开始计算).若若 R(t)=b 为常数为常数,则称该收益流具有则称该收益流具有均匀收益流量均匀收益流量.将来值：将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值现在一定量的资金在未来某一时点上的价值现值：现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，将来某一时点的一
15、定资金折合成现在的价值，俗称俗称“本金本金”例如：例如：假设银行利率为假设银行利率为5%,你现在存入银行你现在存入银行10000块块,一年以后可得本息一年以后可得本息10500元元.10500为为10000的将来值的将来值,而而10000为为10500的现值的现值.22 和单笔款项一样和单笔款项一样,收益流的将来值收益流的将来值定义为将其存入定义为将其存入 银行并加上利息之后的本利和银行并加上利息之后的本利和;而而收益流的现值收益流的现值是这是这 样一笔款项样一笔款项,若把它存入可获息的银行若把它存入可获息的银行,将来从收益流将来从收益流 中获得的总收益中获得的总收益,与包括利息在内的本利和与
16、包括利息在内的本利和,有相同的有相同的 价值价值.在讨论连续收益流时在讨论连续收益流时,为简单起见为简单起见,假设以连续复利假设以连续复利 率率 r 计息计息.23 若有一笔收益流的收益流量为若有一笔收益流的收益流量为 R(t)(元元/年年),下面计下面计 算其现值及将来值算其现值及将来值.考虑从现在开始考虑从现在开始(t=0)到到 T 年后这一时间段年后这一时间段.利用元利用元 素法素法,在区间在区间 0,T 内内,任取一小区间任取一小区间 t,t+dt,在该小在该小 区间内将区间内将 R(t)近似看作常数近似看作常数,则应获得的金额近似等则应获得的金额近似等 于于 R(t)dt(元元).从
17、现在从现在(t=0)算起算起,R(t)dt 这一金额是在这一金额是在 t 年后的将年后的将 来而获得来而获得,因此在因此在 t,t+dt 内内,从而，总现值为从而，总现值为00()TrtRR t edt 收益的现值收益的现值()rtR t edt 24 在计算将来值时在计算将来值时,收入收入 R(t)dt 在以后的在以后的(T t)年内获年内获 息息,故在故在 t,t+dt 内内 例例8 假设以年连续复利率假设以年连续复利率 r=0.1 计息计息 (1)求收益流量为求收益流量为100元元/年的收益流在年的收益流在20年期间的现年期间的现 值和将来值值和将来值;(2)将来值和现值的关系如何将来值
18、和现值的关系如何?解释这一关系解释这一关系.解解 (1)从而，将来值为从而，将来值为()0()Tr TtTRR t edt 收益流的将来值收益流的将来值()()r TtR t edt 25dtet1.0200100 现值现值;)(66.864)1(10002元元 edtet)20(1.0200100 将来值将来值dteet1.02200100 .)(06.6389)1(100022元元 ee (2)显然显然,2e 现值现值将来值将来值 若在若在 t=0 时刻以现值时刻以现值 作为一笔款项存作为一笔款项存 入银行入银行,以年连续复利率以年连续复利率 r=0.1计息计息,则则20年中这笔单年中这笔
19、单 独款项的将来值为独款项的将来值为)1(10002 e.)1(1000)1(100022(20)0.12eeee 而这正好是上述收益流在而这正好是上述收益流在20年期间的将来值年期间的将来值.26例例9 某公司投资某公司投资100万元建成万元建成1条生产线，并于条生产线，并于1年年后取得经济效益，年收入为后取得经济效益，年收入为30万元，设银行年利率为万元，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资，问公司多少年后收回投资 Ttt01.0100de30解解 设设T年后可收回投资，投资回收期应是总收入的年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有现值等于总投资
20、的现值的时间长度，因此有 100)e1(301.0 T即即解得解得T=4.055，即在投资后的，即在投资后的4.055年内可收回投资年内可收回投资27作业：作业：P267:1,3,8(注：注：e-0.9=0.4066)周三、五复习第六章周三、五复习第六章x28 一般来说一般来说,以年连续复利率以年连续复利率 r 计息计息,则在从现在起到则在从现在起到 T 年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为 单笔款项存入银行单笔款项存入银行 T 年后的将来值年后的将来值.例例1 设有一项计划现在设有一项计划现在(t=0)需要投入需要投入 1000 万元万元,
21、在在 10 年中每年收益为年中每年收益为 200 万元万元.若连续利率为若连续利率为 5%,求求 收益资本价值收益资本价值W.(设购置的设备设购置的设备10年后完全失去价值年后完全失去价值)解解资本价值资本价值=收益流的现值收益流的现值 投入资金的现值投入资金的现值 100020010005.0 dteWt100005.020010005.0 te1000)1(40005.0 e.)(88.573万元万元 29 例例2 某企业一项为期某企业一项为期10年的投资需购置成本年的投资需购置成本80万元万元,每年的收益流量为每年的收益流量为10万元万元,求内部利率求内部利率 (注注:内部利率内部利率
22、是使收益价值等于成本的利率是使收益价值等于成本的利率).解解由收益流的现值等于成本由收益流的现值等于成本,得得 1001080dtet 10010 te ,)1(1010 e 可用近似计算得可用近似计算得.04.0 30),2,1()1(0 trAAtt 设有一笔数量为设有一笔数量为A0元的资金存入银行，若年利率为元的资金存入银行，若年利率为r，按复利方式每年计息一次，则该笔资金，按复利方式每年计息一次，则该笔资金t年后的本年后的本利和为利和为1.连续复利概念连续复利概念),2,1()1(0*tnrAAntt如果每年分如果每年分n次计息，每期利率为次计息，每期利率为r/n，则，则t年后的本年后
23、的本利和为利和为rnnnre1lim 当当n无限增大时，由于，故无限增大时，由于，故三、收益流的现值与未来值三、收益流的现值与未来值31rtntntnAnrAAe1limlim00*rttAA e0称为称为t年末的年末的A t元的资金在连续复利方式下折算为现元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公式值的计算公式rttAAe 0 称称公公式式为为A0元的现值元的现值(即现在价值即现在价值)在连续复利方式下折在连续复利方式下折 算为算为t年后的未来值年后的未来值(将来价值将来价值)的计算公式的计算公式建立资金的现值和未来值概念，是为了对不同时点建立资金的现值和未来值概念，是为了对不同时点的资金进行比较，以便进行投资决策的资金进行比较，以便进行投资决策 32
