1、作业作业P86 习题习题3.3 5(4).(5).(7).(8).6.复习复习:P6886预习：预习：P889611/26/20221第十讲第十讲 任意项级数任意项级数一、交错级数及其收敛性一、交错级数及其收敛性二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛级数的性质三、绝对收敛级数的性质11/26/20222.)(),2,1()(,)(),111同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散与与广广义义积积分分则则级级数数使使得得连连续续函函数数上上单单调调减减的的非非负负若若有有一一个个在在 dxxfunnfuxfnnn 1nnu考考虑虑正正项项级级数数定理定理9:柯西积分判敛法柯西积分判
2、敛法11/26/20223的的收收敛敛性性判判别别级级数数例例 2ln11nnn解解 22lnlnln1xdxxx因因为为发发散散广广义义积积分分 2ln1dxxx发发散散级级数数所所以以 2ln1,nnn11/26/20224的的收收敛敛性性判判别别级级数数例例)0()(ln123 pnnnp解解)3()(ln1)(xxxxfp取取单单调调减减函函数数 npnpxxdxxdx33)(lnln)(ln 11)(ln1lnln313ppxpxnpn11/26/20225由由此此可可知知1)3(ln)(lnlim,113 pxxdxppnpn时时当当收收敛敛广广义义积积分分 3)(lnpxxdx收
3、收敛敛因因而而级级数数 3)(ln1npnn11/26/20226 npnxxdxp3)(lnlim,1时时当当发发散散广广义义积积分分 3)(lnpxxdx发发散散因因而而级级数数 3)(ln1npnn 3)(ln1,npnn级级数数综综上上所所述述.,1;,1发发散散时时当当收收敛敛时时当当 pp11/26/20227正项级数的收敛判定准则正项级数的收敛判定准则比较判定比较判定准则准则比阶判定比阶判定准则准则达朗贝尔达朗贝尔判定准则判定准则根式判根式判定准则定准则柯西积分柯西积分判定准则判定准则11/26/20228 nnnnnuuuuuu1432111)1()1(),2,1(0 nun其
4、其中中0 nu一、交错级数及其收敛性一、交错级数及其收敛性（一）定义：正项、负项交替出现的（一）定义：正项、负项交替出现的 级数称为级数称为交错级数交错级数。一般可写为一般可写为11/26/20229)(莱莱布布尼尼兹兹准准则则定定理理.,)1(0lim)2();()1(),0()1(1111111 nnnnnnnnnnnnnnnurSSruSuuNnuuuu则则有有又又记记余余和和且且其其和和收收敛敛则则级级数数满满足足：若若交交错错级级数数（二）交错级数的收敛性（二）交错级数的收敛性11/26/202210.)1(11nnnnSu 的的部部分分和和为为设设级级数数 .lim,存存在在只只需
5、需证证明明为为了了证证明明级级数数收收敛敛nnS .limlim122 nnnnSS为为此此我我们们证证明明怎样证明？怎样证明？证证)1()()(1212223212uuuuuuuSnnnn 又又 单单调调增增加加。即即nS2 从从而而收收敛敛。单单调调增增加加且且有有上上界界所所以以,2nSnnnnnSuuSS22212222)(知知由由条条件件)1(11/26/2022110limlim,22212 nnnnnnnuuuSS又又.limlim,122 nnnnSS所所以以.,lim,即即级级数数收收敛敛因因此此SSnn 式式知知又又由由)1(12limuSSnn 321211)1()1(n
6、nnnnnnnuuuuur因因为为的的两两个个条条件件：且且满满足足定定理理个个交交错错级级数数右右端端绝绝对对值值号号内内也也是是一一,)1()()(1212223212uuuuuuuSnnnn 0lim)2();()1(1 nnnnuNnuu1 nnur即即有有因因此此其其和和不不超超过过第第一一项项,11/26/202212 11)1()1(1nnn级级数数例例 1)1()2(nnn 2ln)1()3(nnnn 因为它们都是莱布尼兹型级数因为它们都是莱布尼兹型级数,所以它们都收敛。所以它们都收敛。0lim)2();()1(:,)1(111 nnnnnnnuNnuuu且且满满足足莱莱布布尼
7、尼兹兹条条件件为为交交错错级级数数11/26/202213的的收收敛敛性性讨讨论论级级数数例例 1112)1(2nnnnn解解1123112 nnnnnn考考察察不不等等式式1123,1121 nnnunnnunn1)3)(1()2(2 nnnnn等等价价于于0112limlim nnnunnn又又故故,级数收敛级数收敛.1,nnuu所所以以这显然是成立的这显然是成立的!11/26/202214问题问题1:1:是是否否一一定定发发散散？那那麽麽莱莱布布尼尼兹兹定定理理中中的的条条件件如如果果它它不不满满足足交交错错级级数数,)1(111nnnnnuuu 研究例子研究例子:2)1()1()1(n
8、nnn 2)1()1()2(nnnn发散发散!收敛收敛!11/26/202215.,111绝绝对对收收敛敛任任意意项项级级数数则则称称收收敛敛：若若正正项项级级数数定定义义 nnnnuu.,2111条条件件收收敛敛则则称称级级数数发发散散而而级级数数收收敛敛：若若级级数数定定义义 nnnnnnuuu二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛11/26/202216 1211)1(nnn例例如如绝绝对对收收敛敛 121nn收敛收敛 111)1(nnn收敛收敛条条件件收收敛敛收敛收敛绝绝对对收收敛敛注意注意 若正项级数收敛若正项级数收敛,则必为绝对收敛。则必为绝对收敛。11/26/202217.
9、,11收收敛敛则则级级数数收收敛敛定定理理：若若级级数数 nnnnuu有有自自然然数数时时使使得得当当所所以以由由柯柯西西收收敛敛原原理理知知收收敛敛因因为为)(,0,1pNnNunn pnnkkpnnkkuu11证证从从而而有有 pnnkkpnnkkuu11.,1收收敛敛知知级级数数再再由由柯柯西西收收敛敛原原理理 nnu11/26/202218的的收收敛敛性性讨讨论论级级数数例例 12sin3nnn解解收收敛敛而而级级数数 121nn221sinnnn 因因为为收收敛敛级级数数由由比比较较判判别别法法知知因因此此 12sin,nnn.,sin,12且且为为绝绝对对收收敛敛收收敛敛原原级级数
10、数从从而而 nnn11/26/202219.,)1(41为为实实数数其其中中的的收收敛敛性性讨讨论论级级数数例例anannn 解解aannannauunnnnnnn 1lim1limlim11naunnn)1(记记的的收收敛敛性性考考虑虑 1nnu利用达朗贝尔判别法利用达朗贝尔判别法.,1,原原级级数数绝绝对对收收敛敛时时当当故故 a(为什麽？为什麽？).,1原原级级数数发发散散时时当当 a11/26/202220.1)1(,11条条件件收收敛敛级级数数化化为为时时当当 nnna.1,11发发散散级级数数化化为为时时当当 nna,1时时当当 a结论结论:.,1级级数数绝绝对对收收敛敛时时当当
11、a.,11级级数数发发散散时时及及当当 aa.,1级级数数条条件件收收敛敛时时当当 a 1)1(nnnna11/26/202221考考察察条条件件收收敛敛级级数数交换次序交换次序:kkk4124112181613141211 nn 1)1(4131211S 我我们可以证明它的和不再是们可以证明它的和不再是 S项项的的和和先先考考虑虑 k311/26/202222)41241121()816131()41211(3kkkSk )41241()8161()4121(kk )21121()4131()211(21kk )211214131211(21kk S2111/26/202223项项的的和和项
12、项的的和和与与再再考考虑虑2313 kk121313 kSSkkS21241121323 kkSSkkS21因此因此,新级数的和为新级数的和为Skkk214124112181613141211 11/26/202224)(1交交换换律律：定定理理.,11且且其其和和不不变变也也绝绝对对收收敛敛新新级级数数它它各各项项的的顺顺序序后后所所得得的的则则任任意意改改变变绝绝对对收收敛敛若若级级数数 nnnnvu三、绝对收敛级数的性质三、绝对收敛级数的性质11/26/202225)(2分分配配律律：定定理理:,A,11法法运运算算则则可可按按下下述述规规则则进进行行乘乘与与和和为为都都绝绝对对收收敛敛
13、与与设设级级数数Bvunnnn ABvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvunnkknknnnnnnn 111112113223112211111)()()()()()(11/26/202226 1nnu有有级级数数问题问题2:2:.2,2nnnnnnuuuuuu 设设是是否否收收敛敛？与与则则正正项项级级数数绝绝对对收收敛敛级级数数若若 111)1(nnnnnnuuu是是否否收收敛敛？与与则则正正项项级级数数条条件件收收敛敛级级数数 111,)2(nnnnnnuuu11/26/202227 要点 掌握级数的概念和性质掌握级数的概念和性质 掌握正项级数的掌握正项级数的比较比较、比阶比阶、比值比值和根值、积分判定准则和根值、积分判定准则 掌握任意项级数的掌握任意项级数的绝对收敛绝对收敛和和 条件收敛条件收敛 交错级数的交错级数的莱布尼茨判定准则莱布尼茨判定准则11/26/202228
