1、1第八章矩阵特征值计算数值分析 幂法与反幂法幂法与反幂法2本章内容本章内容n 特征值基本性质特征值基本性质n 幂法与反幂法幂法与反幂法n 正交变换与矩阵分解正交变换与矩阵分解n QR 方法方法3本讲内容本讲内容n 特征值基本性质特征值基本性质n 幂法幂法n 幂法的加速幂法的加速n 反幂法反幂法4特征值性质特征值性质A x=x(C,x 0)l 性质性质(1)q 特征值与特征向量特征值与特征向量 ()()AxxAI xx(2)kkAxxA xx(3)11,BPAP AxxByyyPx(4)若若 A 对称，则存在正交矩阵对称，则存在正交矩阵 Q，使得，使得12diag(,)TnQ AQ 5圆盘定理圆
2、盘定理定理定理：(Gerschgorin 圆盘定理圆盘定理)设设 是是 A 的特征值，则的特征值，则i=1,2,.,n设设 A=(aij)Rn n，记，记1,C|niiiijjj iDaa Gerschgorin 圆盘圆盘1niiD 若有若有 m 个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含个圆盘内恰好包含 m 个特征值。个特征值。6Rayleigh 商商定理：定理：设设 A 是是 n 阶实对称矩阵，其特征值为阶实对称矩阵，其特征值为则对任意非零向量则对任意非零向量 x，有，有1(,)(,)nAx xx x100(,)(,)max,
3、min(,)(,)nxxAx xAx xx xx x 12n且且l 称为矩阵称为矩阵 A 关于关于 x 的的 Rayleigh 商商。(,)()(,)Ax xR xx x7(1)任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足(x1,v0)0(2)对对 k=1,2,.，直到收敛，计算直到收敛，计算 幂法幂法l 计算矩阵的计算矩阵的主特征值主特征值（按模最大）（按模最大）及其特征向量及其特征向量假设：假设：(1)|1|2|n|0(2)对应的对应的 n 个个线性无关线性无关特征向量为：特征向量为：x1,x2,.,xn计算过程：计算过程：q 幂法（乘幂法，幂迭代）幂法（乘幂法，幂迭代）1k
4、kvAv 8幂法的收敛性幂法的收敛性l 收敛性分析收敛性分析012112(0)nnvxxx 10111222nnnvAvxxx 1111222kkkkknnnvAvxxx 21112211kkknnnxxx 111kx 设设21 越小，收敛越快越小，收敛越快9幂法的收敛性幂法的收敛性当当 k 充分大时，有充分大时，有111kkvx 11111kkvx 11kkvv 又又1kkvAv 1kkAvv 11kjkjvv (j=1,2,.,n)vk 为为 1 的近似特征向量的近似特征向量10幂法的收敛性幂法的收敛性定理：定理：设设 A 有有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足个线性无关的特征向量，
5、其特征值满足则由幂法生成的向量满足则由幂法生成的向量满足11111()lim,lim()kjkkkkkjvvxv 123nl 注：幂法的收敛速度取决于注：幂法的收敛速度取决于 的大小的大小21 11幂法幂法111kkvx 1|1,1|10,|改进方法：改进方法：规范化规范化1,kkkkkvuvAuv 1kkvAv l 幂法中存在的问题幂法中存在的问题11limkkxux 12幂法幂法l 1 的计算的计算1limkkv 00kkkkkvA vuvA v 1111112101011121knkiiikikkkknkiiiixxAvvAuA vxx 13改进的幂法改进的幂法定理：定理：设设 A 有有
6、 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足个线性无关的特征向量，其特征值满足则由改进的幂法生成的向量满足则由改进的幂法生成的向量满足111lim,limkkkkxuvx 123n(1)任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足(x1,v0)0(2)对对 k=1,2,.，直到收敛，计算直到收敛，计算 q 改进的幂法改进的幂法1,kkkkkvuvAuv 14举例举例例：例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量 1.01.00.51.01.00.250.50.252.0A 15幂法的加速幂法的加速幂法的收敛速度取决于幂法的
7、收敛速度取决于 的大小的大小21r 当当 r 接近于接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！时，乘幂法收敛会很慢！q 幂法的加速：幂法的加速：原点平移法原点平移法令令 B=A pI，则，则 B 的特征值为：的特征值为：i-p选择适当的选择适当的 p 满足：满足：(1)(j=2,.,n)1|jpp2211maxjj npp (2)用幂法计算矩阵用幂法计算矩阵 B 的主特征值：的主特征值：1-p保持主特征值保持主特征值加快收敛速度加快收敛速度带位移的幂法带位移的幂法16举例举例例：例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取量，取 p=0
8、.75 1.01.00.51.01.00.250.50.252.0A 17反幂法反幂法l 计算矩阵的计算矩阵的按模最小按模最小的特征值的特征值及其特征向量及其特征向量假设：假设：(1)|1|2|n-1|n|0q 反幂法反幂法(2)对应的对应的 n 个个线性无关线性无关特征向量为：特征向量为：x1,x2,.,xn A-1 的特征值为：的特征值为：1211111nn 对应的特征向量仍然为对应的特征向量仍然为 x1,x2,.,xnl 反幂法反幂法：对矩阵：对矩阵 A-1 使用幂法使用幂法18反幂法反幂法定理：定理：设设 A 有有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足个线性无关的特征向量，其特征值满
9、足则由反幂法生成的向量满足则由反幂法生成的向量满足1lim,limnkkkknnxuvx 1210nn(1)任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足(x1,v0)0(2)对对 k=1,2,.，直到收敛，计算直到收敛，计算 q 反幂法反幂法11,kkkkkvuvuvA 19反幂法的加速反幂法的加速反幂法的收敛速度取决于反幂法的收敛速度取决于 的大小的大小1nnr 当当 r 接近于接近于 1 时，反乘幂法收敛会很慢！时，反乘幂法收敛会很慢！可以使用原点平移法对反幂法进行加速可以使用原点平移法对反幂法进行加速问题：问题：如何选择参数如何选择参数 p？离离 n 越近越好越近越好（但不
10、能相等）（但不能相等）20幂法的幂法的Rayleigh商商加速加速定理定理 设设 A 是是 n 阶实对称矩阵，其特征值为阶实对称矩阵，其特征值为12n对应的特征向量对应的特征向量 x1,x2,.,xn 满足：满足：，(,)ijijx x 使用改进的乘幂法计算使用改进的乘幂法计算 A 的按模最大特征值的按模最大特征值 1 时，时，uk 的的Rayleigh商给出了商给出了 1 的较好的近似，即的较好的近似，即2211(,)(,)kkkkkAu uOu u 00,max()kkkA uuA u1010max()kkkAuvA u证：2212100211220011(,)(,)(,)(,)nkkkk
11、iikkinkkkkkiiiAu uAu A uOu uA u A u 21Rayleigh 商加速商加速q Rayleigh 商加速商加速(1)任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足(x1,v0)0(2)对对 k=1,2,.，直到收敛，计算直到收敛，计算 11(,),(,)kkkkkkkkkkkvuAuAp Iupvu uvu limnkknxux (,)(,)lim(,)(,)kknnnkkknnuAuxAxu uxx 22几点注记几点注记l 带位移的反幂法中需要计算带位移的反幂法中需要计算 11kkkApvuI 1kkkuI vAp l 带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值 k将参数将参数 p 取为取为 k 附近附近l 若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法令令 p 足够靠近足够靠近 k
