1、第第4章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望4.2 方差方差4.3 协方差及相关系数、矩协方差及相关系数、矩第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 随机变量的概率分布能够完整地描述随机变随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性质量的概率性质.但是这还不足以给人留下直观的总体印象但是这还不足以给人留下直观的总体印象.有时不需要去全面考察随机变量的整体变化有时不需要去全面考察随机变量的整体变化情况，只需知道随机变量的某些情况，只需知道随机变量的某些统计特征统计特征就可以就可以了了 例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注例如，在检查
2、一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度偏离程度 再如，在评定一批灯泡的质量时，主要看这再如，在评定一批灯泡的质量时，主要看这批灯泡的批灯泡的平均寿命平均寿命和和灯泡寿命相对于平均寿命灯泡寿命相对于平均寿命的偏差的偏差 从这两个例子可以看到，某些与随机变量有从这两个例子可以看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但却可以概括描述它在某些方面的特征这些却可以概括描述它在某些方面的特征这些能能代表随机变量主要特征的数字，称为随机变量代表随机变量主要特征的数字，称
3、为随机变量的数字特征的数字特征 本章介绍随机变量的几个常用数字特征：本章介绍随机变量的几个常用数字特征：数数学期望、方差、协方差和相关系数学期望、方差、协方差和相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 【分赌本问题分赌本问题】1654年法国有个职业赌徒年法国有个职业赌徒De Mr向数学家向数学家Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注人各出赌注50法郎进行赌博，约定谁先赢法郎进行赌博，约定谁先赢3局，就局，就赢得全部的赢得全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局如果当甲赢了两局，乙
4、赢了一局时，因无平局如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分故要中止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？法郎的赌注才算公平？第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念1.1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望【引例引例】某年级有某年级有100名学生，名学生，17岁的有岁的有20人，人，18岁的有岁的有30人，人，19岁的有岁的有50人，则该年级学生的平人，则该年级学生的平均年龄为均年龄为事实上事实上,平均年龄是以频率为权重的加权平均值平均年龄是以频率为权重
5、的加权平均值100501930182017 3.18100501910030181002017 4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念【例例4.1】（掷骰子游戏）规定掷出（掷骰子游戏）规定掷出1点得点得1分；掷分；掷出出2点或点或3点得点得2分；掷出分；掷出4点、或点、或5点、或点、或6点得点得4分分,共掷共掷n次次.投掷一次所得的分数投掷一次所得的分数X是一个随机变量是一个随机变量.则则X的分布律为的分布律为试问：预期平均投掷一次能得多少分？试问：预期平均投掷一次能得多少分？解：解：若在若在n次投掷中，得次投掷中，得1分的共分的共n1次，得次，得2分的分的共共n2次，得次，得4
6、分的共分的共n3次次,则平均投掷一次得分为：则平均投掷一次得分为：nxnxnxn332211 31iiinnx 31iiipxX124pi1/62/63/6617634622611 随机变量随机变量X的的以概率为权重以概率为权重的加权平均值的加权平均值4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念对于一般的离散型随机变量，有如下定义：对于一般的离散型随机变量，有如下定义：定义定义4.1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 PX=xi=pi，i=1，2，若级数若级数 绝对收敛，则其称为随机变量绝对收敛，则其称为随机变量X的的数学期望数学期望或或均值均值记为记为E(X)或
7、或EX，即，即若级数若级数 发散，则称随机变量发散，则称随机变量X的数学期的数学期望不存在望不存在 1iiipx 1)(iiipxXE 1)(iiipxXE4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念说明：说明：(1)随机变量随机变量X的数学期望的数学期望E(X)是一个常量，是一个常量，它是从概率的角度来计算随机变量它是从概率的角度来计算随机变量X所有可能取值所有可能取值的平均值，具有重要的统计意义的平均值，具有重要的统计意义 (2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变数各项次序的改变而改变4.1.1 4.1.1 数学期望的概念
8、数学期望的概念【例例4.2】某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票10万张，每张万张，每张2元设头等奖元设头等奖1个，奖金个，奖金1万元，二等奖万元，二等奖2个，奖金个，奖金各各5千元；三等奖千元；三等奖10个，奖金各个，奖金各1千元；四等奖千元；四等奖100个，奖金各个，奖金各100元；五等奖元；五等奖1000个，奖金各个，奖金各10元每张彩票的成本费为元每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行元，请计算彩票发行单位的创收利润单位的创收利润 解：解：设每张彩票中奖的数额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X，则有，则有其中其中 p0=1 (1/105+2/105+10/105+100
9、/105+1000/105)0.98887X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p04.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念每张彩票平均能得到的奖金为每张彩票平均能得到的奖金为:每张彩票平均可赚：每张彩票平均可赚：2 0.5 0.3=1.2(元元)，彩票发行单位发行彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为:100000 1.2=120000(元元)(5.00102500010110000)(055元元 pXE4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念【例例4.3】设随机变量设随机变量X
10、服从二项分布服从二项分布B(n，p)，求，求它的数学期望它的数学期望 解：解：由于由于 ,k=0,1,2,n因而因而knkknppCkXP )1(nkknkknppCnp1)1()1(111)1(nkknkknnkppkCkXkPXE00)1()(10)1(1)1(nkknkknppCnpnpppnpn 1)1(11 knknCknC由由于于)(XE所所以以4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念【例例4.4】设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为（0）的泊）的泊松分布，求它的数学期望松分布，求它的数学期望 解：解：由于由于 ，k=0，1，2，因而因而 ekkXPk!0)(kk
11、XkPXE 1)!1(kkek 11)!1(kkke 0!kkke ee 0!kkekk 4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念2.2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义4.2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，若积分若积分 绝对收敛，则称其为绝对收敛，则称其为X的数学期望的数学期望或均值记为或均值记为E(X)或或EX，即，即若积分若积分 不收敛不收敛,则称则称X的数学期望不存在的数学期望不存在.dxxxf )(dxxxfXE )()(dxxxf )(4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念 著名的柯西分布是数学
12、期望不存在的经典例子：著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子：设随机变量设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为服从柯西分布，其概率密度为由于积分由于积分 发散，发散，因而因而E(X)不存在不存在)1(1)(2xxf 022)1(2)1(|)(xxdxxdxxdxxxf 4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念【例例4.5】某种化合物的某种化合物的pH值值X是一个随机变量，是一个随机变量，它的概率密度是它的概率密度是求求pH值值X的数学期望的数学期望E(X).解：解：.02.44)2.4(2548.3)8.3(25)(其它其它，xxxxxfdxxxfXE )()(2.4448.3)
13、2.4)(25()8.3(25dxxxdxxx4 4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念 几个常用连续型随机变量的数学期望都是存在几个常用连续型随机变量的数学期望都是存在的，下面来计算它们的数学期望的，下面来计算它们的数学期望【例例4.6】设随机变量设随机变量X服从服从(a，b)上的均匀分布，上的均匀分布，求求E(X)解：解：由于均匀分布的概率密度为由于均匀分布的概率密度为 dxxxfXE )()(其其它它 ,0 ,1)(bxaabxf badxabx2)(222baabab 4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念【例例4.7】设随机变量设随机变量X服从参数为服从参
14、数为（0）的指）的指数分布，求数分布，求E(X)解：解：由于指数分布的概率密度为由于指数分布的概率密度为因而因而 其它其它,00,1)(/xexfx dxxxfXE )()(0/1dxexx 0/xxde 0/0/dxeexxx 0/xe 4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 在实际中在实际中,我们常需求随机变量函数的数学期望我们常需求随机变量函数的数学期望.如果我们知道如果我们知道X的概率分布，如何计算的概率分布，如何计算X的某个的某个函数函数Y=g(X)的数学期望？的数学期望？当然当然,可以通过可以通过X的概率分布求出的概率分布求出Y=g(X)的概率的概率分
15、布分布,然后再用数学期望的定义计算然后再用数学期望的定义计算E(Y)即即g(X).是否可以不通过求是否可以不通过求Y=g(X)的概率分布，而根据的概率分布，而根据X的概率分布直接求得的概率分布直接求得Y=g(X)的数学期望呢？的数学期望呢？答案是肯定的，我们不加证明地给出以下定理：答案是肯定的，我们不加证明地给出以下定理：4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理4.1 设设Y为随机变量为随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连是连续函数续函数).(1)设设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为 若级数若级数 绝对收敛绝对收敛,则则(2
16、)设设X是连续型随机变量是连续型随机变量,其概率密度为其概率密度为f(x)，若积分若积分 绝对收敛，则绝对收敛，则 可见，求可见，求g(X)时，不必知道时，不必知道Y=g(X)的概率分布，的概率分布，只需知道只需知道X的概率分布就可以了的概率分布就可以了,2,1,kpxXPkk 1)(kkkpxg )()(XgEYE 1)(kkkpxgdxxfxg )()()()(XgEYEdxxfxg )()(4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例4.8】设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求E(2X 1)，E(X 2)解解：E(2X 1)=2(1)1 0.1+2
17、 0 1 0.2+2 1 1 0.4+2 2 1 0.3 =0.8 E(X2)=(1)2 0.1+02 0.2+12 0.4+22 0.3 =1.7X1012pi0.10.20.40.34.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例4.9】某矿物的一个样品中含有杂质的比例为某矿物的一个样品中含有杂质的比例为X，其概率密度为其概率密度为一个样品的价值（以元计）为一个样品的价值（以元计）为Y=50.5X，求，求E(Y).解：解：其它其它,010,23)(2xxxxf 102)23)(5.05(dxxxx)5.05()(XEYE dxxfx)()5.05()(65.4元元
18、 4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望将定理将定理4.1推广到二维随机变量的情形推广到二维随机变量的情形定理定理4.2 设设Z是随机变量是随机变量X，Y的函数的函数Z=g(X，Y)，g是连续函数是连续函数 (1)若若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律是二维离散型随机变量，其分布律为为 则有则有 （设该级数绝对收敛）设该级数绝对收敛）(2)若若(X，Y)是二维连续型随机变量，其概率密是二维连续型随机变量，其概率密度为度为 ，则有，则有 （设该积分绝对收敛）（设该积分绝对收敛）,2,1,jipyYxXPijji 11),(jijjiipyxg ),()(YXg
19、EZE),(yxfdxdyyxfyxg ),(),(),()(YXgEZE4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例4.10】一餐馆有三种不同价格的快餐出售，价格分别一餐馆有三种不同价格的快餐出售，价格分别为为7元，元，9元，元，10元随机选取一对前来进餐的夫妇，以元随机选取一对前来进餐的夫妇，以X表示丈夫所选的快餐的价格，以表示丈夫所选的快餐的价格，以Y表示妻子所选的快餐的表示妻子所选的快餐的价格，又已知价格，又已知X和和Y的联合分布律为的联合分布律为 (1)求求min(X,Y)的数学期望；的数学期望；(2)求求X+Y的数学期望的数学期望 Y X791070.
20、050.050.1090.050.100.351000.200.104.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望解解：(1)Emin(X,Y)(2)E(X+Y)3131),min(jiijjipyx10.02035.01910.01720.01910.01805.01601705.01605.014 10.01035.0910.0720.0910.0905.070705.0705.07 元元）(6.8 元）元）(25.18 Y X791070.050.050.1090.050.100.351000.200.104.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的
21、数学期望【例例4.11】设设(X，Y)的概率密度为的概率密度为求求E(X)，E(Y)，E(X+Y)，E(X2+Y2)解解：由于由于f(x，y)的非零区域为的非零区域为D:0 x 2,0 y 1 其它其它,010,20,3/)(),(yxyxyxf DdxdyyxxfXE),()(20103dydxyxx,911 20)12(61dxxx DdxdyyxyfYE),()(,9163)(),()()(2010 DdxdyyxyxdxdyyxfyxYXE6133)(),()()(2010222222 dxdyyxyxdxdyyxfyxYXED,95)23(18120 dxx 20103dydxyxy
22、 4.1.3 4.1.3 数学期望的性质数学期望的性质 (1)设设c是常数，则有是常数，则有E(c)=c (2)设设X是随机变量，是随机变量，c是常数，则有是常数，则有 E(cX)=cE(X)，E(X+c)=E(X)+c (3)设设X，Y是随机变量，则有是随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)（该性质可推广到有限个随机变量之和的情形）（该性质可推广到有限个随机变量之和的情形）(4)设设X，Y是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y)（该性质可推广到有限个随机变量之积的情形）（该性质可推广到有限个随机变量之积的情形）4.1.3 4.1.3 数学期
23、望的性质数学期望的性质 下面仅就下面仅就X为连续型随机变量的情形给出为连续型随机变量的情形给出(2)(3)(4)的证明，离散型情形类似可证的证明，离散型情形类似可证(2)设设X是随机变量，是随机变量，c是常数，则有是常数，则有 dxxcxfcXE)()(dxxfcxcXE)()()()(XcE dxxxfc)(dxxfcXE)()(cXE )(dxxcfdxxxf)()(4.1.3 4.1.3 数学期望的性质数学期望的性质(3)(4)若若X和和Y相互独立相互独立,则则f(x，y)=fX(x)fY(y),故有故有 dxdyyxfyx ),()()(YXEdxdyyxfy ),()(XYEdxdy
24、yxxyf ),(dxdyyxfx ),()()(YEXE )(dxxfxX )(dxyfyY )()(YEXE 4.1.3 4.1.3 数学期望的性质数学期望的性质【例例4.12】设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布 ,求求E(X).解：解：由于由于 则由定理则由定理2.3有有,其概率密度为其概率密度为 因而因而所以所以E(X)=E(Z+)=E(Z)+=可见，若随机变量可见，若随机变量X服从正态分布，参数服从正态分布，参数 的意义是的意义是X的数学期望（均值）的数学期望（均值）),(2 N),(2 NX,21)(22zez dzzzZE)()(dzezz222 0 2221ze)1
25、,0(NXZ 4.2 方 差 前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度那么，怎样去度量这个偏离程度呢？用EX E(X)来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用E|X E(X)|来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；通常用EX E(X)2来描述随机变量与均值的偏离程度第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.2.1 方差的概念与计算定义定义4.3 设设X是随机变量，若是随机变量，若EX E(X)2存在，存在，则称其为则称其为X的的方差方差，记为，记为D(X)(或或Var(X)，即，即称称 为为X的的标准差标准差 特别地，如果特
26、别地，如果X是离散型随机变量，分布律为是离散型随机变量，分布律为 则则如果如果X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则，则)(XD)(XVar)(2XEXE )(XD,2,1,ipxXPii 12)()(iiipXExXD dxxfXExXD)()()(2 将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得 即即 今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量X的方的方差差D(X).)()(222XEXXEXE 22)()()(XEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()
27、(XEXE )()(2XEXEXD4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.13】求例求例4-2中随机变量中随机变量X的方差的方差D(X).解：解：由于由于 1161 所以所以5.00102500010110000)(055 pXE 02525220102500010110000)(pXE)(XD75.16105.016112 22)()(XEXE 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.14】设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为（0）的）的泊松分布，求泊松分布，求D(X)解：解：由
28、于由于X的分布律为的分布律为 ，k=0，1，2，在例在例4-4中已经求出中已经求出 ，下面计算，下面计算E(X 2)：故故 ekkXPk!)(XE)()1(XEXXE 0!)1(kkekkk)1()(2XXXEXE ee2 222)!2(kkke 2)(XD 2222)()(XEXE 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.15】设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为（0）的）的指数分布，求指数分布，求D(X)解：解：由于指数分布的概率密度为由于指数分布的概率密度为在例在例4-7中已求出中已求出 ，故有故有 其它其它,00,1)(/xexfx )(XE 012xx
29、de 010122dxxeexxx 012xdex 0121dxexx dxxfxXE )()(22010122dxeexxx201222 xe)(XD2222 22)()(XEXE 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.16】设随机变量设随机变量X服从服从(a，b)上的均匀分布，上的均匀分布，求求D(X)解：解：由于均匀分布的概率密度为由于均匀分布的概率密度为所以所以 其其它它 ,0 ,1)(bxaabxf2)(baXE badxabxXE22)()(333abab 322aabb 222)2(3)(baaabbXD 12)(2ab 4.2.1 4.2.1 方差的
30、概念与计算方差的概念与计算【例例4.17】设设(X，Y)的概率密度为的概率密度为求求D(X)及及D(Y)解：解：记记D：|y|x，0 x 1，如图，则，如图，则 ,其它其它,0|,10,1),(xyxyxf 10 xxxdydx Ddxdyyxxf),(1022dxx32 )(XE0),()(10 DxxydydxdxdyyxyfYE212),()(10310222 dxxdydxxdxdyyxfxXEDxx6132),()(10310222 dxxdydxydxdyyxfyYEDxx.61061)(YD22)()()(XEXEXD ,10132212 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算
31、方差的概念与计算【例例4.18】已知随机变量已知随机变量X的概率密度为的概率密度为又又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求，求a，b，c 解：解：由于由于从上面三个方程中可以解得从上面三个方程中可以解得a=12,b=12,c=3 其它其它,010,)(2xcbxaxxf dxxf)(dxxxfXE)()(345)()()(102222cbadxcbxaxxdxxfxXE 1025.0234)(cbadxcbxaxx4.0)5.0(15.0)()(22 XEXD 102123)(cbadxcbxax4.2.2 方差的性质 (1)设设c是常数，则是常数，则D(c)=0；(2)设设c是常数，是常
32、数，X是随机变量，则是随机变量，则 D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)设设X，Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX E(X)Y E(Y)；特别，当特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有是相互独立的随机变量时，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(4)D(X)=0的充要条件是的充要条件是X以概率以概率1取常数取常数c，即，即PX=c=14.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质(1)设设c是常数，则是常数，则D(c)=0；证明：证明：(2)设设c是常数，是常数，X是随机变量，则是随机变量，则 D(cX)=c2D(X)，D(
33、X+c)=D(X)；证明：证明：22)()()(cEcEcD 022 cc)()(2cXEcXEcXD )(22XEXcE )()(222XDcXEXEc )(cXD)()(2cXEcXE ).(XD)(2XEXE 4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质(3)设设X，Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX E(X)Y E(Y)；特别，当特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有是相互独立的随机变量时，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)；证明：证明：当当X，Y是相互独立的随机变量时，是相互独立的随机变量时，)()()(2YXEYXEYXD )(
34、)(2YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE )()(2)()(YEYXEXEYDXD )()(2YEYXEXE )()()()()()()(2YEXEXEYEYEXEXYE )()()(2YEXEXYE )()()(YDXDYXD 4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质 性质性质(4)证明从略证明从略.由性质由性质(2)和和(3)容易推广得到，若容易推广得到，若X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，为常数，则为常数，则 前面例前面例4-3中已经用定义求出了二项分布的数中已经用定义求出了二项分布的数学期望，现在再用数学期望和方差的性质来
35、求它学期望，现在再用数学期望和方差的性质来求它的期望和方差。的期望和方差。nccc,21 niiiniiiXDcXcD121)()(4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质【例例4.19】设随机变量设随机变量X服从二项分布服从二项分布B(n，p)，求，求E(X)和和D(X)解：解：X可视为可视为n重伯努利试验中某个事件重伯努利试验中某个事件A发生的发生的次数，次数，p为每次试验中为每次试验中A发生的概率发生的概率引入随机变量引入随机变量Xi（i=1，2，n）：）：则则又又 不不发发生生次次试试验验中中第第发发生生次次试试验验中中第第AiAiXi,0,1nipXPpXPii,.,2,1,10
36、,1 nXXXX 21),(pnB4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质因为因为X1，X2，Xn相互独立，且相互独立，且由数学期望和方差的性质可得由数学期望和方差的性质可得)1()1(01)()()(22222pppppXEXEXDiii niinpXEXE1)()().1()()(1pnpXDXDnii pppXEi )1(01)(4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质【例例4.20】一机场班车载有一机场班车载有20名乘客自机场开出，名乘客自机场开出，途中有途中有10个车站可以下车，如果到达一个车站没个车站可以下车，如果到达一个车站没人下车则不停车，用人下车则不停车，用X表示班车
37、的停车次数，求表示班车的停车次数，求X的数学期望的数学期望E(X)及标准差（设每位乘客在各个及标准差（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互车站下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立）独立）解：解：依题意，每位乘客在第依题意，每位乘客在第i个车站下车的概率个车站下车的概率均为均为1/10，不下车的概率均为，不下车的概率均为9/10,则班车在第则班车在第i个个车站不停车的概率为车站不停车的概率为 所以所以.)109(20)10,2,1(i)109(1,10(20 BX4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质从而，从而，),(784.8)109(1(10)(20次次 X
38、E2020)109)()109(1(10)(XD次次）(0512.1)109)()109(1(10)(2020 XD4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质【例例4.21】设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布 求求D(X)解：解：设设 ，由于，由于 所以所以ZN(0，1)，从而，从而又又E(Z)=0，所以，所以故故),(2 N XZ)(2ZE dzzz)(2 dzezz2222 dzezezz 22222121 110 ),(2 NX101)()()(22 ZEZEZD22)()()(ZDZDXD【实验实验4-1】用用Excel计算例计算例4-2中随机变量中随机变量的数的数学期望
39、与方差学期望与方差实验准备：实验准备：函数函数SUMPRODUCT的使用格式：的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,.)功能功能：返回多个区域返回多个区域array1,array2,array3,.对对应数值乘积之和应数值乘积之和X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p0 实验步骤：(1)整理数据如图4-2左所示 图图4-2 计算数学期望计算数学期望 (2)计算E(X)，在单元格B8中输入公式：=SUMPRODUCT(A2:A7,B2:B7)得到期望E(X)如图4-2右所示 (3)为了计算
40、方差，首先计算xi E(X)2，在单元格C2中输入公式：=(A2-B$8)2并将公式复制到单元格区域C3:C7中，如图4-3左所示 图图4-3 计算方差计算方差 (4)计算方差，在单元格B9中输入公式：=SUMPRODUCT(C2:C7,B2:B7)即得计算结果如图4-3右所示).,(?,)(,.,.,均均为为已已知知设设应应生生产产多多少少件件产产品品最最大大要要获获得得利利润润的的数数学学期期望望问问若若的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为件件预预测测销销售售量量他他们们再再者者元元的的损损失失而而积积压压一一件件产产品品导导致致元元可可获获利利他他们们估估计计出出售售一一件件产产品品
41、定定该该产产品品的的产产量量并并试试图图确确产产品品市市场场某某公公司司计计划划开开发发一一种种新新nmYnm 【建模实例建模实例】解解:的函数的函数是销售量是销售量件时获利件时获利生产生产YQx .,),()(xYmxxYYxnmYYQQ若若若若(1)建立概率模型建立概率模型yyfyQQEYd)()()(ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx 因为因为的概率密度为的概率密度为,0.0,0,0,e1)(yyyfyYyeyQxd1)(0 .,),()(xYmxxYYxnmYYQQ若若若若所以所以).ln(nmnx 得得,0e)()(dd22 xnmQEx又又.)
42、(,)ln(,取得最大值取得最大值时时当当因此因此QEnmnx ,0e)()(dd nnmQExx令令(2)模型求解模型求解,e)()()(的函数的函数是是xnxnmnmQEx .利利润润件件产产品品时时能能够够得得到到最最大大故故生生产产x10 pp)1(pp 10,1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布 B(n,p)泊松分布泊松分布()均匀分布均匀分布 U(a,b)指数分布指数分布 Exp()正态分布正态分布 N(,2)0,2 重要分布的期望和方差重要分布的期望和方差4.3 协方差及相关
43、系数、矩协方差及相关系数、矩 对于二维随机变量对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论，除了讨论X与与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述的数学期望和方差外，还需讨论描述X与与Y之间相互关系的数字特征：协方差和相关之间相互关系的数字特征：协方差和相关系数系数 4.3.1 4.3.1 协方差协方差 由由4.2.2中方差的性质中方差的性质(3)知知,若随机变量若随机变量X与与Y相互独立相互独立,则则D(X+Y)=D(X)+D(Y),也就也就是说是说,当随机变量当随机变量X与与Y相互独立时相互独立时,有有EX E(X)Y E(Y)=0成立成立,这意味着当这意味着当EX E(X)Y E(Y)0时时,X与与Y
44、不相互独立不相互独立,由此由此可见这个量的重要性可见这个量的重要性4.3.1 4.3.1 协方差协方差定义定义4.4 设有二维随机变量设有二维随机变量(X，Y)，如果，如果EX E(X)Y E(Y)存在，则称其为随机变量存在，则称其为随机变量X与与Y的的协方差协方差记为记为Cov(X，Y)，即，即 Cov(X，Y)=EX E(X)Y E(Y)这样，上节中方差的性质这样，上节中方差的性质(3)可改写为可改写为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)由由(4.9)式及式及(4.10)式知协方差的表达式可以表示为式知协方差的表达式可以表示为 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)
45、常利用这个式子来计算协方差常利用这个式子来计算协方差Cov(X，Y).4.3.1 4.3.1 协方差协方差由协方差定义，不难知道协方差还具有以下几条由协方差定义，不难知道协方差还具有以下几条性质：性质：(1)(2)(3)，a，b为常数；为常数；(4)(5)当随机变量当随机变量X与与Y相互独立时，有相互独立时，有 Cov(X，Y)=0);,(),(XYCovYXCov);(),(XDXXCov),(),(YXabCovbYaXCov);,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov 4.3.1 4.3.1 协方差协方差【例例4.22】设随机变量设随机变量(X，Y)具有概率密度具有概率密
46、度其中区域其中区域G由曲线与围成，如图由曲线与围成，如图4-4所示，所示，求求Cov(X，Y)及及D(X+Y)解：解：其其它它,0),(,3),(Gyxyxf)(XE,20/93)(102 xxydydxYE,4/13)(102 xxxydydxXYE,35/93)(10222 xxdydxxXE,35/93)(10222 xxdydxyYE,2800/153)20/9(35/9)()()(222 XEXEXD,20/9 1023xxxdydx4.3.1 4.3.1 协方差协方差,2800/153)()(XDYD,400/19)()()(),(YEXEXYEYXCov.700/143),(2)
47、()()(YXCovYDXDYXD4.3 协方差及相关系数、矩协方差及相关系数、矩 4.3.2 4.3.2 相关系数相关系数定义定义4.5 称称为随机变量为随机变量X与与Y的的相关系数相关系数 相关系数相关系数 XY是一个无量纲的量是一个无量纲的量 XY常简记为常简记为)()(),(YDXDYXCovXY )0)(,0)(YDXD【例例4.23】在例在例4-22中，求相关系数中，求相关系数 XY 解：解：因为因为所以所以87.01531332800/153400/19)()(),(YDXDYXCovXY,400/19)()()(),(YEXEXYEYXCov4.3.2 4.3.2 相关系数相关
48、系数,2800/153)()(XDYD4.3.2 4.3.2 相关系数相关系数下面不加证明地给出相关系数的两条性质：下面不加证明地给出相关系数的两条性质：(1)|XY|1；(2)|XY|=1的充要条件是，存在常数的充要条件是，存在常数a，b，使使PY=aX+b=1 定义定义4.6 若若 XY=0，称，称X与与Y不相关不相关0 XY 1，称，称X与与Y正相关，正相关，1 XY 0，称，称X与与Y负负相关相关 事实上事实上,相关系数相关系数 XY是是X与与Y线性关系强弱线性关系强弱的一个度量的一个度量,X与与Y的线性关系程度随着的线性关系程度随着|XY|的的减小而减弱减小而减弱,当当|XY|=1时
49、时X与与Y的线性关系最强，的线性关系最强，当当 XY=0时，意味时，意味X与与Y的不存在线性关系，的不存在线性关系，即即X与与Y不相关不相关.4.3.2 4.3.2 相关系数相关系数由协方差的性质由协方差的性质(5)当随机变量当随机变量X与与Y相互独立时，有相互独立时，有Cov(X，Y)=0易知易知定理定理4.3 若若X与与Y相互独立，则相互独立，则 XY=0，即，即X与与Y不不相关，反之不真相关，反之不真 这意味着，这意味着，X与与Y不相关仅指不相关仅指X与与Y之间不存在线之间不存在线性关系，并不能说明性关系，并不能说明X与与Y不具有其他关系不具有其他关系4.3.2 4.3.2 相关系数相关
50、系数【例例4.24】设随机变量设随机变量Z服从服从(，)上的均匀分布，上的均匀分布，又又X=sinZ，Y=cosZ，试求相关系数，试求相关系数 XY 解：解：由于由于因而因而Cov(X，Y)=0，XY=0 相关系数相关系数 XY=0，说明随机变量，说明随机变量X与与Y不相关，不相关，但是，由于但是，由于 ，所以，所以X与与Y不独立不独立,0sin21)(zdzXE 0cossin21)(zdzzXYE,0cos21)(zdzYE122 YX 4.3.3 4.3.3 矩矩 矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用定义定义4.7 设设X和和Y是随机变量，若是随机
