1、第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一、二重积分在直角坐一、二重积分在直角坐标系下的计算标系下的计算二、二重积分在极坐标二、二重积分在极坐标系下的计算系下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有,21n.dd),(d),(DDyxyxfyxf由定积分的几何应用：设一立体满足 ，bxa在区间a,b上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体积.d)(bax
2、xSV 设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为.)()(21bxaxyyxy(1)在a,b上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间y1(x),y2(x)上，以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示.d),()()()(21xyxyyyxfxS.dd),(d)(dd),()()(21 baxyxybaDxyyxfxxSyxyxf故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为(2)将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.为了简便常记为.
3、d),(ddd),()()(21xyxybaDyyxfxyxyxf 需要指出，计算 时，应将x视为常量，按定积分的计算方法解之.)()(21d),(xyxyyyxf.)()(21dycyxxyx 同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为(3)，)()(21d),()(yxyxxyxfyS 在c,d上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则.d)(dcyySV所给立体体积.d),(d dd),(d)(dd),()()()()(2121 yxyxdcdcyxyxdcDxyxfyyxyxfyySyxyx
4、f因此(4)即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.先对x积分时，中的y应视为常量，按定积分的计算方法解之.)()(21d),(yxyxxyxf 在上述讨论中，我们假定f(x,y)0，但是实际上，上述结论并不受此限制.如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及重积分的可加性可求区域D上的二重积分.为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：(1)画出积分区域D的图形.(2)若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，
5、那么确定关于y积分限的方法是：作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限.而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上投影区间a,b，a是下限，b是上限，即.d),(ddd),()()(21xyxybaDyyxfxyxyxf 如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个
6、坐标平面所围成的四面体的体积.解 即求以z=62x3y为顶，以ABC围成区域D为底的柱体体积.也就是计算二重积分.d)326(Dyx解法1 积分域D的图形如图9.5(b)所示，先对y积分.)31(2030d)326(dd)326(xDyyxxyx作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分下限.出口曲线为 ，作为积分上限.312xy30)31(202d23)26(xyyxx3022d3163112xxx.6d316302xx解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积 分下限，出口曲线为 ，作为积分上 限.积分区域D在y轴上投影
7、区间为0,2，213yx)21(3020d)326(dd)326(yDxyxyyxyyxxxyd36)21(3 0 202，6d)41(920yyy这个结果与我们熟知的四面体的体积是一致的.6632213131高底V例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：Dyxxydd2.10,21yx解 像这样的正方形区域可以不必画，即得102212ddddyxyxyxxyD.41d21212xx211022d21xyx例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和 所围成的三角形区域.Dyxyxddcossin2x解法1 先对y积分.作平行于y轴的直线与积分 区域D相交，沿着y的正方 向看，入口曲线为y=0，
8、出口曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为 .2,0 xDyyxxyxyx020dcossindddcossin.4dsindsinsin202200 xxyyxx解法2 先对x积分.作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴的正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为 .D在y轴上的投影区间为 .故2,02xxDxyxyyxyx020dcossindddcossin.4dcosdcoscos202202yyyxyy 例4 计算积分 ，其中D由 y0确定.Dyxydd,122 yx解法1 先对y积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线y=0；出口曲线为 ，因此21xy.10
9、2xy21011ddddxDyyxyxy.32d)1(21112xx11102d212xyx 解法2 先对x积分.作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为 ，因此21yx21yx2211yxyyyxxyyyxyyyyyDddddd222211101110.32)1(32d1210232102yyyy 比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.例5 计算积分 ，其中D是由不等式：所确定的长方形区域.Dyxxyxydd)cos(220,20yx解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先对x积分，需用分部积分法.
10、如先对y积分则不必，计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即202202d)cos(ddd)cos(yxyxyxyxxyxyD20202d)sin(21xxy.0d4sin2120 xx例6 计算 ，其中D由不等式及 所确定.xyxy1 ，2xDyxyxdd22解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为y=x，因此xy1.1xyxx轴上的积分区间为1,2.21,2yx得xxDyyxxyxyx1221222d1ddd.49241d12124212xxxxxx,1,xyxy由.1,1yx得,2,1xxy由2112d1xyx
11、xx解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分.作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子区域.,2,xxy由.2,2yx得在y轴上的积分区间为2,21 当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时，沿x轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为x=2.121 yyx1 当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时,沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.21 y22221212212122ddddddyyDxyxyxyxyyxyx21212152d831d1831yyyyyy.496512172831841312121214yyyy 显然解法1较简便.因此选
12、择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题.例7 计算积分 ，其中区域D由直线y=x，y=0与x=1围成的区域.Dyxxxddsin 解 由不定积分可知 不能用初等函数表示出来，因此，所给积分不能化为先对x积分后对y积分的积分次序.xxxdsin 欲化为先对y积分后对x积分的二次积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，因此.0 xy 将积分区域D投影到x轴上，投影区间为0,1.故xDyxxxyxxx010dsindddsin.1cos1dsin10 xx100dsinxyxxx例8 计算二次积分.dsind110yxxxy解 由不定积分可知
13、其被积函数 的原函数不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序不能计算出此二重积分.对此类问题常考虑采用交换积分次序的方法来解决.其一般步骤为：xxxdsinxxsin(1)先依给定的二次积分限，定出积分区域D的范围，并依此作出D的图形.(2)再依区域D的图形，依前述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限.由给定的积分限可知积分区域D的范围为).(1),(10内层积分限所确定外层积分限所确定xyy 依上述不等式组可作出区域D的图形，再化为先对y积分后对x积分的二次积分.xyyxxxxxxy010110dsinddsind例8通常又称为交换二重积分次序问题.1cos1例9 交换二次积分
14、的符号分次序.yyyyxfyyyxfyI2021010d),(dd),(d解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用不等式表示：.20,21:,0,10:21yxyDyxyD 如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2x，因此在D中 ，xyx210 x.d),(d210 xxyyxfxIxxyyxfxyyxfxI2021010d),(dd),(d2例10 交换二次积分的积分次序.解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.20,21:,0,10:221
15、xyxDxyxD12xxy而 的解为(1,1),12xxy如果换为先对x积分，后对y积分，作平行于x轴的直线与D相交，沿x轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为x=2y，因此 .在区域D中 ,于是yx 10 yyxy2.d),(d210yyxyxfyI由于 的解为(1,1)，二、二重积分在极坐标下的计算 若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有如下关系：),(r.sin,cosryrx 在极坐标系中，我们用r=常数和 =常数来分割区域D.设 是由半径为r和 的两个圆弧与极角等于 和 的两条射线所围成的小区域.这个小区域近似地看作是边长为 和 的小矩形，所以它的面积rrrr
16、r ，rr因此，在极坐标系中.dddrr于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为,dd)sin,cos(d),(DDrrrrfyxf这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.也可以写成.dd)sin,cos(dd),(DDrrrrfyxyxf(6)公式(6)区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.现在分三种情形讨论：(1)若极点在区域D之外.为了确定的变化范围，过原点作两射线：=和=，使D恰好被夹在 此二射线之间，且.那么，便知取值范围是 ；再确定r的 取值范围.则D可以记为),()(,21rrr从而有.d)sin,cos(ddd)sin,co
17、s()()(21rrDrrrrfrrrrf(2)极点在区域D的边界线上，D的边界曲线为 ,又设射线 刚好夹住区域D，且 ,则D可以表记为)(rr 与).(0 rr，.d)sin,cos(ddd)sin,cos()(0rDrrrrfrrrrf则有(3)若极点在区域D的内部，D的边界曲线为 .则D可以记为)(rr).(0 ,20rr.d)sin,cos(d dd)sin,cos()(020rDrrrrfrrrrf则有 如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下
18、列步骤进行：(1)将 代入被积函数.sin,cosryrx(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.(3)将面积元dxdy换为 .ddrr2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.例11 计算二重积分 区域D为由x2+y2=2y及x=0围成的第一象限内的区域.，Dyxyxdd22解 区域D为第一象限内的圆心为(0,1)，半径为1的右半圆，极点在D的边界线上.D的边界曲线为x2+y2=2y，用 代换，可得极坐标表达式 .此时D可以表示为sin,cosryrxsin2r，sin20 ,20rsin202022ddddrrryxyx
19、D20320sin203dsin38d31r.916coscos3138203202cosd)cos1(38例12 计算二重积分Dyxxyyxdd)(22其中D为.122 yx解 区域D为圆心在原点，半径为1的圆内区域，即极点在区域D内.区域D的边界曲线为 ，将 代换，得极坐标系下的表达式r=1.因此D可以表示为122 yx,cosrx sinry.10 ,20r1022022d)sincos(ddd)(rrrryxxyyxD20201043dsincos4131dsincos4131rr.32sin8131202例13 求 ，D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围成的区域.Dy
20、xyxdd)1(22区域D可以表示为.10 ,40r将区域D的边界曲线x2+y2=1化为极坐标下表达式r=1.解1024022d)1(ddd)1(rrryxyxD201042d4121rr.16d4140例14 计算二重积分 ，其中D是单位圆域：Dyxyxdd)1ln(22.122 yx解 原点在D内部，D表示为：.10 ,20rDyxyxdd)1ln(22102202d)1ln(ddd)1ln(rrrrrrD).12ln2(d211)1ln()1(10221022rrrrrr1022)d(1)1ln(rr例15 计算积分.ddsin2222422yxyxyx解 积分域是圆环，D可以表示为：.
21、2,20r220422dsindddsin2222rrryxyxyx.6dcoscos2222rrrr例16 用极坐标计算例4中的二重积分.积分区域同例4中的D.解 显然D可以表示为：有 故,10,0r而1020d sindddrryxyD.32d sin3100103d sin3 r例17 计算二重积分 ，其中D是由不等式 所确定的区域.Dyxxdd22xxyx解 积分区域D由y=x和x2+y2=2x所围的弓形区域 .半圆的极坐标方程是 ，故 24cos2rcos20 r2 4 cos2 0 2dcosdddrryxxD.dcos382 4 4 2 d22cos1cos2181ttt.833
22、21ddDyxx 2 2d)cos1(81tt2 4 22 4 4d)2cos1(41 dcos 而,8332124381例18 计算积分 ，其中D是由不等式 所确定的区域.Dyd0,0222xyxyx及,422 yx解 积分区域如图所示.极点在区域D的边界曲线上，但是过极点引出的射线与区域D的边界曲线有三个交点.过极点O引射线与积分区域D相交，沿射线方向看，入口曲线为 其方程为 ；出口曲线为 ，方程为r=2.因此,222xyxcos2r422 yx，2cos2 r,20又202cos22dsinddrryD.2 d)cos1(sin38203例19 设f(x)为区间a,b上的连续函数，证明：对任意 ，总有),(bax.d)(d)(dbaxabaxxbxfyyfx解 将二重积分交换积分次序,由于f(y)为抽象函数，因此 不能积出来，需考虑交换积分次序.由于区域D可以表示为xayyfd)(,xyabxa 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=b.因此 区域D上有 .可得知.bxybxybybaxabaxyfyyyfxd)(dd)(dbababyyybyfyxyfd)(d)(故原命题成立.,d)(baxxbxf
