1、二项式定理习题课二项式定理习题课1二项式定理(ab)n C0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN*)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的，其中的系数 Crn(r0,1,2，n)叫做式中的叫做二项展开式的，用 Tr1表示，即展开式的第_项；Tr1.二项展开式二项展开式 二项式系数二项式系数 通项通项 2二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即 a 与 b 的指数的和为.(3)字母 a 按排列，从第一项开始，次数由n逐项减 1 直到零；字母b 按排列，从第一项起，次数由零逐项增1 直到 n.(4)二项式的系数从，C1
2、n，一直到 Cn1n，.n降幂降幂 升幂升幂 3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“”的两个二项式系数相等，即 CmnCnmn.(2)增减性与最大值：二项式系数 Crn，当 r时，二项式系数是递减的当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值当 n 是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值等距离等距离 C2nnC21nnC21nn(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即_.题型一题型一:求展开式中的特定项或特定项的系求展开式中的特定项或特定项的系数数 rrrrrrxCxxC43484288
3、2)21(小结小结:33)21(rrrnrnxxC.)21(32rnrrnxC 例例2.已知已知 的展开式中，第的展开式中，第4项的二项式系数是项的二项式系数是倒数第倒数第2项的二项式系数的项的二项式系数的7倍，求展开式中二项式系数倍，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项最大的项和系数最大的项.nx)21(解：解：依题意依题意13C7C nnn整理得整理得 nnnn7!3)2)(1(8 n04032 nn 展开式中二项式系数最大的项为：展开式中二项式系数最大的项为：128T448)2(xC 41120 x 5T题型二题型二:求展开式中系数最大求展开式中系数最大(小小)的项的项设展开式中第
4、设展开式中第r+1项的系数最大，则项的系数最大，则 1rTrrxC)2(8rrrxC 28118822 rrrrCC118822 rrrrCC解得解得.65 r.65 rr或或,80Nrr 且且展开式中系数最大的项为：展开式中系数最大的项为：，561792xT .179267xT 211rrrrTTTT由此确定由此确定r r的取值的取值小结小结:解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是项是系数最大的项，则有系数最大的项，则有1r展开式的系数最大项。求72x1）（55576672)2(xxCT 11r7r71-1r7r72C 2C2C 2C 1rrrrr项系数最大，则有解：设第
5、 112!17!1!72!7!72!17!1!72!7!7rrrrrrrrrrrr）（）（）（）（）（）（1271812rrrr 313316rr解得5 70 rr又55576672)2(xxCT 系数最大项为例 3在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为 C010C110C1010210.7531)1(aaaa求求6420)2(aaaa7210)3(aaa
6、a7)13()(:xxf设解7210)1(aaaaf73210)1(aaaaaf77753142)1()1()(2ffaaaa8128221367531aaaa8256)()1(716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)776016712(31)xa xa xa xa例已知练习练习3是负数因为7531,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(7210aaaa7)4()1(f（3）74题型四:二项式定理的逆用011222112122nnnn nnnnnCCCC原 式(1 2)3nn 例例4 4 计算并求值计算并求值12(1)1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)1
7、0(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):将原式变形将原式变形解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1)11x51x题型五题型五:求乘积二项式展开式中特定的项求乘积二项式展开式中特定的项(特特 定项的系数定项的系数)例例5 5:求求 的展开式中的展开式中 项的系数项的系数.65(1)(21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通项是的通项是:55555(2)(1)(1)2sssssssCxCx5(21)x的通项是的通项是:1622556(1)2rssrssC Cx
8、65(1)(21)xx的通项是的通项是:65(1)(21)xx由题意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252)1(CC所以所以 的系数为的系数为:6x426152)1(CC5046052)1(CC640小结小结:对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算例例6（1）求证：）求证：1110 1 能被能被100整除整除.证明：证明：（1）1)110(1111010 1)110C10C10C10(9108210911010 282109110101010C10C10 )110C
9、10C10(100621071108 1110 1 能被能被100整除整除.77777（2）求）求 被被19除所得的余数除所得的余数.题型六题型六:整除问题整除问题解解（2）119477 7777)176(77 7)176(7777777 71C76C76C76C777776777617777077 6)C76C76C(7676777517776077 6191919)C76C76C(476777517776077 被被19除所得的余数是除所得的余数是 196=13.77777 例例6.（1）求证：）求证：1110 1 能被能被100整除；整除；77777（2）求）求 被被19除所得的余数除所
10、得的余数.变式变式.求求 1090 除以除以 7 的余数的余数.（C层）层）解：解：901090)37(9033027 30)174(909090891899028829089190900903C37C37C37C7C 展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，其末项为其末项为：展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，故故 1090 除以除以 7 的余数为的余数为 1.其末项为其末项为1，30)128(解解2：3090100010 30)17143(展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，故故 1090 除以除以 7 的余数
11、为的余数为 1.其末项为其末项为1，小结小结：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关的和式把底数拆成与除数的倍数有关的和式变式变式练习练习:题型七题型七:证明恒等式证明恒等式析析:本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,01231:023(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC 解 设nnnnnnnnCCCnCnnCS0)2()1(1210两式相加两式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212
12、nnnS123119232nnnnnnCCCnCn例求证例7例 8.求证：3n(n2)2n1(nN*，n2)题型八题型八:证明不等式证明不等式证明证明:例例2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中的展开式中,的系数等于的系数等于_2x解解:仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是2x02C13(1)C 224(1)C 335(1)C 20 解法解法2 2 运用等比数列求和公式得5(1)1(1)1(1)xxx原式6(1)(1)xxx在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为6(1)x3x3620C 所以所以 的系数为的系数
13、为-202x练习练习一选择题一选择题a8)(xax 1(041(04福建福建)已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120,其中实数其中实数 是常数是常数,则展开式中各项系数的和则展开式中各项系数的和 是是()()82 A83 B83 1 或C83 2 或DCnxx)12(2 2 若若 展开式中含展开式中含 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于()()21x41xA 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B82A83B831或C821或D 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系数为（）A0 B1 C2 D39923331 A632)(1)(1)(1)(1)05(1xxxx湖南展开式中展开式中 的系数是的系数是_2x2 2 被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。20002001135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 26)1()1(axx3xa16或或二填空题二填空题4.4.设设 二项式展开式的各项系数的和为二项式展开式的各项系数的和为P P；二项式系数的和为二项式系数的和为S S，且且P+S=272P+S=272，则展开式则展开式 的常数项为的常数项为_nxx)13(3108
