1、一、独立增量过程一、独立增量过程二、泊松过程的数学模型二、泊松过程的数学模型三、维纳过程的数学模型三、维纳过程的数学模型四、小结四、小结第三节泊松过程及维纳过程第三节泊松过程及维纳过程,0),(ttX给定二阶矩过程给定二阶矩过程和任意选定的和任意选定的正整数正整数如果对任意选定的如果对任意选定的n在互不重叠的区间上在互不重叠的区间上,状态的增量是相状态的增量是相 一、独立增量过程一、独立增量过程上的上的为随机过程在区间为随机过程在区间,(0,)()(tstssXtX .增量增量,0210ntttt )()(,),()(),()(11201 nntXtXtXtXtXtX,相互独立相互独立互独立的
2、互独立的.为为则称则称0),(ttX称随机变量称随机变量个增量个增量n特征特征:.独立增量过程独立增量过程.的分布确定的分布确定则称则称增量具有平稳性增量具有平稳性.,0)0(的条件下的条件下在在 X独立增量过程的有限独立增量过程的有限)0()()(tssXtX 量量维分布函数族可以由增维分布函数族可以由增,0hthsh 和和如果对任意的实数如果对任意的实数,)()()()(具有相同的分布具有相同的分布和和sXtXhsXhtX 如果增量具有平稳性如果增量具有平稳性,那么增量那么增量 X(t)-X(s)的分的分布函数只依赖于时间差布函数只依赖于时间差 t-s,而不依赖于而不依赖于 t 和和 s
3、本身本身.当增量具有平稳性时当增量具有平稳性时,是是齐次的齐次的或或时齐的时齐的.称相应的独立增量过称相应的独立增量过程程 ,0)0(X设设.)()()(ttXtYX 记记,)(具有独立增量时具有独立增量时当当tX,0)0(Y有有时时当当因此因此,0,ts )()(),(tYsYEtsCX ).,(Ctsx函数函数独立增量过程的协方差独立增量过程的协方差.)(已知已知方差函数方差函数tDX也也具具有有独独立立增增)(tY)()()()(0()(sYsYtYYsYE ,0)(tYE)()(2tYEtDY ).(tDX;量量)()()()(0()(sYsYtYYsYE )()()()0()(2sY
4、EsYtYEYsYE ).(sDX,因因此此),(tsCX表示为表示为).,(min(tsDX,0,ts对任意对任意数数协协方方差差函函数数可可用用方方差差函函1.问题的提出问题的提出 考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件：考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件：(1)(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2)(2)意外事故或意外差错的发生意外事故或意外差错的发生;(3)(3)要求服务的顾客到达服务站要求服务的顾客到达服务站.二、泊松过程的数学模型二、泊松过程的数学模型2.问题的分析与求解问题的分析与求解 将电子将电子、顾客等看作时间轴上的质点顾客等看作时
5、间轴上的质点,电子到电子到 内时间轴上内时间轴上表示在时间间隔表示在时间间隔用用,0(0),(tttN、时间连、时间连是一个状态取非负整数是一个状态取非负整数0),(ttN达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质 点出现点出现.因此研究的对象可以认为是因此研究的对象可以认为是随时间推移随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机 的质点流的质点流.出现的质点数出现的质点数,续的随机过程续的随机过程称为称为计数过程计数过程.计数过程的一个典型样本函数计数过程的一个典型样本函数 表示在时表示在时记记,0
6、,)()(),(000tttNtNttN 的概率为的概率为随机事件随机事件),(0kttN.,2,1,0,),(),(00 kkttNPttPk的假设的假设对对)(tN(1)(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性在不相重叠的区间上的增量具有独立性.,)2(t 对于充分小的对于充分小的1),(),(1 tttNPtttP.)(0的强度的强度称为过程称为过程常数常数tN .,(0内出现的质点数内出现的质点数间间隔间间隔tt),(tot ,)3(t 对于充分小的对于充分小的 22),(),(jjjjtttNPtttP.0)0()4(N称作称作的计数过程的计数过程满足条件满足条件0),(4)(1)(
7、2)(3)(ttN,21tt点点出出现现的的随随机机时时刻刻相相应应的的质质点点流流或或质质.的泊松过程的泊松过程强度为强度为 称作称作)(to .的泊松流的泊松流强度为强度为 泊松资料泊松资料 210),(),(1),(kktttPtttPtttP 增量的分布律增量的分布律 ,1),(00 kkttP由于由于 概率的计算概率的计算 .),(,000ttPt先计算先计算时时当当 0),(),(000 tttNPtttP 0),(),(0 tttNttNP,0),(,0),(0 tttNttNP.)(1tot 所以根据假设有所以根据假设有0),(,0),(),(000 tttNttNPtttP0
8、),(0),(0 tttNPttNP),(1),(00totttP ),(),(),(),(000000totttPttPtttP ,)(),(),(),(000000ttottPtttPtttP 取极限得微分方程取极限得微分方程令令,0t).,(d),(d0000ttPtttP ,0),(00 ttN因为因为利用初值条件求解微分方程可得利用初值条件求解微分方程可得.,e),(0)(000ttttPtt .1),(0 kttPk再计算再计算),(),(),(00ktttNttNPktttNP kjjkttNPjtttNP00),(),(.1),(000 ttP所以所以 kjjkjttPtttP
9、00),(),(),(),(),(),(220totttPttPtttPjjkjjkj ,2时时因为当因为当 k kjjkjkttPtttPtttP000),(),(),(所以所以),()(10ttPtotk 将此式进行整理后可得将此式进行整理后可得 ).1(),(),()(01 ktottPtotk ),(),(00ttPtttPkk,t 两边除以两边除以.),(),(d),(d00100ttttPttPtttPkkk ,0),(00 ttN因为因为,1 k令令.,e)(),(0)(0010ttttttPtt ),(1),(),(010tottPttPkk tttPtttPkk ),(),(
10、010 ,0 t令令差分方程差分方程取极限得微分取极限得微分 .1 ,0),(00 kttPk所以所以的的表表达达式式可可得得利利用用初初值值条条件件和和),(00ttP可得可得利用初始条件和利用初始条件和令令),(),(,20100ttPttPk .,e2)(),(0)(20020ttttttPtt 如此重复如此重复,一般地可得到一般地可得到 ),(),(00kttNPttPk 结论结论 的概率分布是参数的概率分布是参数增量增量)()(),(00tNtNttN ,)(0的泊松分布的泊松分布为为tt .,1,0,e!)(0)(00 kttkttttk ;0有关有关且只与时间差且只与时间差tt
11、.立增量过程立增量过程的泊松过程是齐次的独的泊松过程是齐次的独强度为强度为 泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征.0 ),()()(000 tttttNtN).()()(Var)()(000tttNtNtNtNE ,00 t令令,)(ttNE ,)(Var)(ttNtDN 均值函数均值函数 方差函数方差函数 .)(ttNE 泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的的 质点数目的期望值质点数目的期望值.可得可得根据假设根据假设0)0(N .0,min),(tststsCN 协方差函数协方差函数 .0,min)()(),(2 tstssttNsNEtsRN 相
12、关函数相关函数 ,0),(ttt 的函数的函数是时间是时间若若.程是非齐次的程是非齐次的则称泊松过则称泊松过3.与泊松过程有关的随机变量与泊松过程有关的随机变量 (1)等待时间等待时间 设质点设质点(或事件或事件)依次重复出现的时刻依次重复出现的时刻 ,21nttt,的泊松流的泊松流是强度为是强度为,00 W记记,是随机变量是随机变量则则nW.0),(为相应泊松过程为相应泊松过程 ttN,2,1,ntWnn出现的出现的)(次次或事件第或事件第个质点个质点表示第表示第nn.等待时间等待时间1T2TkTO1W1 kWkW2W)(tWPtFWnWnn 的分布函数的分布函数,)(ntNtWn 因为因为
13、1)(tWPtWPtFnnWn 所以所以)()(1ntNPntNP ,0 ,!)(e tktnkkt .0 ,0)(ttFnW,求导求导对时间对时间 t 的概率密度函数为的概率密度函数为可得可得nW .,0,0 ,e)!1()(d)(d)(1其他其他tntttFtftnWWnn .)(分布分布服从服从的等待时间的等待时间泊松过程泊松过程泊松流泊松流 nW首次出现的等待时间首次出现的等待时间或事件或事件得质点得质点取取)(,1 n .,0,0 ,e)(1其他其他ttftW :1服从指数分布服从指数分布W(2)点间间距点间间距 ,2,1 ,1 iWWTiii记记,量量也也是是一一个个连连续续型型随
14、随机机变变则则iT,11WT 因为因为 .,0,0 ,e)()(11其他其他ttftftWT 个质点的个质点的个质点和第个质点和第第第ii1 服从指数分布服从指数分布所以所以1T称称为为相相继继出出现现的的.点间间距点间间距1T2TkTO1W1 kWkW2W,2时时当当 i)(1111 iiiitTtt tTPt tFii1)(1)()(111 itNtNttNPiii1)()(11 iitNttNP0)()(111 iitNttNP0)(1 tNP.0 ,0)(11 tt tFitTii求导可得条件概率密度函数为求导可得条件概率密度函数为 ,件下件下的条的条个质点出现在时刻个质点出现在时刻第
15、第11 iti的条件分布函数的条件分布函数iT ,0 ,e1 tt .0 ,0,0 ,e)(11ttt tftitTii 的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为随机变量随机变量1,iitT .,0,0,0 ),(e),(1111其他其他iittitttfttfi 的概率密度为的概率密度为得得积分积分对上式关于对上式关于),3,2(,1 iTtii 011011d)(ed)(e)(11iittiittTttfttftfiii .0 ,0)(ttfiT,0 ,e tt .,3,20.,0,0 ,e)(itttftTi 结论结论 .服服从从相相同同的的指指数数分分布布点点间间间间距距序序列列iT.
16、,21是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量理理论论上上iTTT定理一定理一 的的点点间间间间距距是是相相泊泊松松过过程程的的泊泊松松流流强强度度为为)(.,3,20.,0,0 ,e)(itttftTi ,互互独独立立的的随随机机变变量量 且且服服从从同同一一个个指指数数分分布布定理二定理二 .的泊松过程的泊松过程为为则质点流构成了一强度则质点流构成了一强度 是是的的两两个个质质点点的的点点间间间间距距如如果果任任意意相相继继出出现现,3,20.,0,0 ,e)(itttftTi 定理的意义定理的意义 定理刻画出了泊松过程的特征定理刻画出了泊松过程的特征.要要 ,相相互互独独立立的的确定一个
17、计数过程是不是泊松过程确定一个计数过程是不是泊松过程,并且服从同一个指数并且服从同一个指数 且且服服从从同同一一个个指指数数分分布布只要用统计只要用统计方方 方法检验点间间距是否独立方法检验点间间距是否独立,分布分布.1.布朗运动简介布朗运动简介 英国植物学家布朗英国植物学家布朗(Brown)(Brown)在显微镜下在显微镜下,爱因斯坦爱因斯坦(Enisten)1905(Enisten)1905年提出一种理论年提出一种理论,三、维纳过程的数学模型三、维纳过程的数学模型漂浮在平静的液面上的微小粒子漂浮在平静的液面上的微小粒子,进行着杂乱无章的运动进行着杂乱无章的运动,为微粒的这种运动是由于受到大
18、量随机的、相互为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互 独立的分子碰撞的结果独立的分子碰撞的结果.观察观察 发现它们不断地发现它们不断地 这种现象称为布朗运动这种现象称为布朗运动.认认 布朗资料布朗资料布朗运动计算机模拟结果布朗运动计算机模拟结果 n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=50000.0)0(,00)(WtttW且且的位移的横坐标的位移的横坐标刻刻到时到时刻刻表示运动中一微粒从时表示运动中一微粒从时以以多微多微上的位移可以看成是许上的位移可以看成是许粒子在时段粒子在时段,(ts假设假设根据中心极限定理根据中心极限定理,.)()(服从正态分布服从正态分布位移
19、位移sWtW.小位移的代数和小位移的代数和具有独立的增量具有独立的增量位移位移)(tW由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则 碰撞而引起的碰撞而引起的,因此因此,在不相重叠的时间间隔内在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的.具有平稳的增量具有平稳的增量位移位移)(tW液面处于平衡状态液面处于平衡状态,这时粒子在一时段上位移这时粒子在一时段上位移 的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度,而与而与 观察的起始时刻无关观察的起始时刻无关.2.维纳过程的数学模型
20、维纳过程的数学模型 ,0),(ttW给定二阶矩过程给定二阶矩过程;)1(具有独立增量具有独立增量,0)2(st对任意的对任意的.0)0()3(W则称此过程为则称此过程为维纳过程维纳过程.),(,0()()(2stNsWtW 如果它满足如果它满足增量增量;0 且且维纳资料维纳资料3.维纳过程的特征维纳过程的特征 维纳过程增量的分布只与时间差有关维纳过程增量的分布只与时间差有关,0)(tWE,)(2ttDW ),(),(tsRtsCWW 维纳过程是齐次的独立增量过程维纳过程是齐次的独立增量过程,其分布完全由均值函数和自协方差函数其分布完全由均值函数和自协方差函数(或者自或者自 相关函数相关函数)所
21、确定所确定.所以所以 也是正态过程也是正态过程.0,min2 tsts 四、小结四、小结特征特征:1.1.独立增量过程独立增量过程2.2.泊松过程泊松过程数学模型数学模型3.3.维纳过程维纳过程布朗运动布朗运动在互不重叠的区间上在互不重叠的区间上,状态的增量是相互状态的增量是相互独立独立.增量的概率分布增量的概率分布数字特征数字特征有关的随机变量有关的随机变量数学模型数学模型 数字特征数字特征 泊松资料泊松资料Born:21 Jun.1781 in Pithiviers,FranceDied:25 Apr.1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson返回返回Ernest William Brown Born:29 Nov.1866 in Hull,Yorkshire,EnglandDied:23 Jul.1938 in New Haven,Connecticut,USA布朗资料布朗资料返回返回Born:26 Nov.1894 in Columbia,Missouri,USADied:18 Mar.1964 in Stockholm,SwedenNorbert Wiener维纳资料维纳资料返回返回
