1、 上节介绍了随机变量的上节介绍了随机变量的数学期望，数学期望，它反映了随机变量取它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.复习复习()()().E XYE XE YXY若 与 相互独立，1,kkkEXx pX离散型(),x f x dxXEX连续型1(),()()(),kkkg xpXEYE g Xg x f x dxX离散型连续型五条性质五条性质:()()().E XYE X E Y2022-11-2612 方差方差 上节的例上节的例1 甲班有甲班有30名学生，名学生，他们的数学考试成绩他们的数学考试成绩(按五级按五级记分记分
2、)如右表所示如右表所示,成绩成绩 1 2 3 4 5人数人数 2 5 10 8 5成绩成绩 1 2 3 4 5人数人数 0 0 14 6 0 乙班乙班则该班的平均成绩也是则该班的平均成绩也是 3.3W你认为两个班的成绩一样吗你认为两个班的成绩一样吗?为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要介绍的这个数字特征就是我们要介绍的 数学期望体现的是随机变量取值的平均水平数学期望体现的是随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个是随机变量的一个 重要数字特征重要数字特征.则该班的平
3、均成绩则该班的平均成绩 3.3W2022-11-2622.2.方差方差 (Variance 或或 Dispersion).XEXEXD2)()()(XD(),X 定义定义.设X是一随机变量，则称EX-E(X)2称为X的方差方差记作D(X)即方差的算术平方根称为 X 的标准差标准差，记作即).()()()(2XXDXDX或若EXE(X)2存在，2()X或2022-11-263注注:(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.(3)如果D(X)值越大(小小)，表示X取值越分散(集中集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好好）.0;(1)由定义知
4、，D(X)=EX-E(X)22()()D XE XE X方方差差2022-11-2643.3.方差的计算方差的计算 iiipXExXD2)()(,2,1,)(ipxXPXii的分布列为其中dxxfXExXD)()()(2(1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随机变量的方差连续随机变量的方差).(的概率密度为其中xfX2022-11-265PX -1 0 1 2 0.1 0.1 0.5 0.3解：解：求).(XD0.1)(XE1.0)1(1.005.013.02例例1.设随机变量X的分布列为)(XD2)(XEXE20.1XE1.041.015.003.01=0.82022-11-266(2)利
5、用方差公式.22)()()(XEXEXD)(XD)(2XEXE且E(X2)也存在,则证明:)()(222XEXXEXE22)()()(2)(XEXEXEXE.)()(22XEXE定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，2022-11-267PX -1 0 1 2 0.1 0.1 0.5 0.3求).(XD例例1(续续).设随机变量X的分布列为PX2 1 0 1 4 0.1 0.1 0.5 0.3PX2 1 0 4 0.6 0.1 0.32()D XEX2E X1 0.6 4 0.32E X1.00.82022-11-268解解:np,XE)(.qnpnp)(npq.例例2.2.若XB(n,p
6、),求方差D(X).)(2XEn0kknkkn2qpCkn1kknkkn2qpCkn1kkn1k1k1nqpkCnp1n0m1mnmm1n1kmqp1)C(mnp1n0m1mnmm1n1n0m1mnmm1nqpCqpmCnpp1nnp)()D(X22E(X)XE)(2npqnpnp)()(已求得=E(X),其中XB(n-1,p)111knnCknkC1()1npq2022-11-269),(PX解:,)(XE)1(.例例3 3.若)(2XE02!kkekk12!kkekk求D(X).11)!1(kkkke01!)1(mmkmmme!00mmmmmeemm)(XD22)()(XEXE2)1(已求
7、得=E(X),其中XP(lambda)2022-11-2610已求得,2)(baXE.322baba.12)(2ab例例4.4.若XU(a,b),求D(X).)(2XEdxabxba12)(XD解:22)()(XEXE222)2(3bababa2022-11-2611),(eX解解:,1)(XE22.21例例5.5.若)(2XEdxexx02dtettxt0221求D(X).已求得tdet0221)2(10022dte tettt)(XD22)()(XEXE2212=E(X),其中Xe(1)2022-11-2612.0,0;0,)(xxexfx dxexEXx0 tdettxt01 )2(；1
8、dxexXEx022)(tdettxt0221 2)3(,22 22)1(2 DX指数分布指数分布.12 0(1)()0rxx edxrrr 为为整数整数 n 时，时，(n)=(n 1)!2022-11-2613U(a,b)e(e()其其它它,0;,1)(bxaabxfP()2a b2()12b a!)(kekXPk 121B(n,p)(01)p pq np npqkkqpkXP1)(knknkqpCkXP)(1,10,1,0qppk1,10,1,0qppnk,1,0,0k,0;()0,0.xexf xx 常用随机变量的期望与方差常用随机变量的期望与方差分布分布分布列或密度函数分布列或密度函数
9、期望期望方差方差2022-11-2614；为常量CCD,0)()1(；为常量则存在,若CXDCCXDXD),()()()2(2二、方差的性质二、方差的性质)(CD)(2XECE2CCE证证:.0证证:)(CXD)(2CXECXE)(2XCECXE)(22XEXCE)(22XEXEC).(2XDC2022-11-2615则存在与且相互独立与若，)()()3(YDXDYX.)()()(YDXDYXD证证:22)()()(YXEYXEYXD222)()(2YEXEYXYXE)()(2)()()()()(2)(2222YEXEYEXEYEYEXEXE)()()()(2222YEYEXEXE).()(Y
10、DXD2022-11-2616例例.已知随机变量X的数学期望E(X)与设随机变量)()(2XXD,0)(X.XXEXX*)()(试证.XDXE*1)(0,)(*证：证：.1(标准化的随机变量标准化的随机变量)(*XE)()(XXEXE)()(XXEXE都存在,且)()()(XXEXE)(*XD)()(XXEXD)()(2XXEXD)()(XDXD.02022-11-2617),3(),6,0(21PXUX且,221XXY设求).(YD解解：)(2XD.15例例.设 X1,X2 相互独立，)(1XD12)06(2,3.3)(YD)2(21XXD)(4)(21XDXD由X1,X2 相互独立，有20
11、22-11-2618则为常量,相互独立,若n2C,C,121,)3(CXXXn.)()(121niiiniiiXDCXCD2022-11-2619基本内容：一、原点矩与中心矩 一、协方差与相关系数第三节第三节 原点矩与中心矩原点矩与中心矩第四节第四节 协协方差与相关系数方差与相关系数2022-11-2620一、原点矩与中心矩一、原点矩与中心矩1.k 阶原点矩：阶原点矩：)(kXE)(kXEXE2.k 阶中心矩：阶中心矩：特别地，k=1,E(X)为数学期望.k=2,EX-E(X)2为方差.k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式.22)()()(XEXDXE特别地，k=1,EX-E(X)=0.
12、2022-11-26211.1.协方差协方差定义定义.随机变量随机变量X与与Y的函数的函数 X-E(X)Y-E(Y).()()(YEYXEXEX,Ycov的数学期望存在，的数学期望存在，则称其为则称其为X与与Y的协方差的协方差,cov(X,Y),即即记作记作二、协方差和相关系数二、协方差和相关系数 反映两个变量反映两个变量X和和Y相关性的数字特征相关性的数字特征2022-11-2622协方差的简便计算方法：协方差的简便计算方法：)()(YEYXEXE.YEXEXYE)()()()(X,Ycov)()()()(YEXEXYEYXEXYE2022-11-2623若若X与与Y相互独立，则相互独立，则
13、X与与Y一定不相关一定不相关;分析分析:由于由于X与与Y相互相互独立独立,则协方差则协方差cov(X,Y)=0,=0,.0)()()()()()()(),cov(YEXEYEXEYEXEXYEYX证明：由证明：由X与与Y相互独立，有相互独立，有两个随机变量独立与不相关的关系：两个随机变量独立与不相关的关系：不一定成立不一定成立.所以所以X与与Y不相关不相关.反之反之,X与与Y不相关不相关 cov(X,Y)=0.2022-11-2624定义定义.设随机变量设随机变量X与与Y的数学期望和方差都存在，的数学期望和方差都存在，)(X,YR)()(),cov(YDXDYX为为X与与Y的的，)()()(Y
14、DXDX,Ycov注：注：相关系数相关系数R(X,Y)仅表示仅表示X与与Y之间的线性关系之间的线性关系.则称则称记作记作2.2.相关系数相关系数1.2022-11-2625基本内容：一、切比雪夫不等式 二、大数定律第五节第五节 切比雪夫不等式与大数定律切比雪夫不等式与大数定律2022-11-2626对于任意的正数设X的数学期望 E(X)与方差D(X)存在,，有()P|X-E X|2().D X()P|X-E X|.2()1-D X或切比雪夫不等式切比雪夫不等式2022-11-2627证：证：()()x E XP XE Xf x dx 22()()x E XxE Xf x dx 221()xE
15、Xf x dx仅选择连续随机变量的情形来证明.设随机变量X的密度函数为f(x),则有2)(XD()P|X-E X|2()D X2022-11-2628(|-()|)PX E X注注(1)切比雪夫不等式的用途：(|-()|)P X E X它给出了在X的分布未知的情况下，估计概率的方法；(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度.2()1,D X 由可知:D(X)越小(即X偏离E(X)程度越小),(|-()|)PX E X越大，(表明X取值越集中在E(X)的附近)；(3)它是大数定律的理论基础.()P|X-E X|12()D X 2022-11-2629例例.22()7300,()70
16、0E XD X(52009400)PX(52007300()94007300)PXE X已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在7300,标准差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在52009400之间的概率.(P94.19题)解：设随机变量设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得2022-11-2630(2100()2100)PXE X()2100)P XE X2()12100D X 2181().39 2270012100 8(52009400).9PX即（由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式）2022-11-2631则对于任意的正数1.1.切比雪夫定理切比雪夫定理，定理：定
17、理：设独立随机变量序列X1,X2,X n,的数学期望 E(X1),E(X2),E(X n),D(X1),D(X2),D(X n),都存在，与方差并且方差是一致有上界的,即存在常数C,使得D(Xi)C,i=1,2,n,有11()1nniini=1i=1lim P|X-E X|=nn2022-11-2632方差都存在，切比雪夫定理解释：切比雪夫定理解释：11lim()1nniini=1i=1P|X-E X|=nn1nii=1XXn若独立序列X1,X2,X n,的数学期望和并且方差是一致有上界的,则n充分大时,算术平均紧密地集中在其数学期望11()=()E XEniiXn的附近.2022-11-26
18、332.2.伯努利定理伯努利定理定理：定理：在独立试验序列中，设事件的概率P(A)=p,则对于任意的正数，有lim()1nnP|fA-p|=伯努利定理解释：伯努利定理解释：当试验独立重复进行多次时，随机事件A的频率f n(A)将稳定在事件A的概率的附近.2022-11-26341.理解方差的定义：.)()(2XEXEXD2.熟悉方差的性质:；为常量CCD,0)()1(；为常量则存在,若CXDCCXDXD),()()()2(2则存在与且相互独立与若，)()()3(YDXDYX.)()()(YDXDYXD内容小结内容小结2022-11-2635则为常量,相互独立,若n2C,C,121,)3(CXX
19、Xn.)()(121niiiniiiXDCXCD(|-()|)PX E X(5)若E(X)与 D(X)存在，对于任意的正数2().D X，(4)对于任意实数CR，有 E(X-C)2D(X)当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).有(|-()|)PX E X或2()1.D X 2022-11-26363.熟悉一些常见分布的方差 若XB(n,p),D(X)=npq;)(),(XDPX 若 若XU(a,b),;12)()(2abXD;1)(),(2XDeX 若2022-11-26374.方差的计算方法;)()()(22XEXEXD.)()(2XEXEXD 利用方差的定义:利用方差的简化公式：利用方差的性质；利用常见分布的方差.连续型离散型,)()(),()()(22dxxfXExxpXExXDiii2022-11-2638习题三习题三(P92):5、6、9、10、11、13 作业作业2022-11-2639
