1、第七节离散型随机变量及其分布列第七节离散型随机变量及其分布列考点梳理1离散型随机变量的分布列(1)随机变量随机变量如果随机试验的结果可以用一个如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变量叫做来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母随机变量，随机变量常用字母X，Y，等表示等表示(2)离散型随机变量离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定对于随机变量可能取的值，可以按一定 一一列出，这样的随一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量机变量叫做离散型随机变量(3)分布列分布列设离散型随机变量设离散型随机变量X可能取得值为可能取得值为x1，x2，xi，xn，X取每一个取每一
2、个值值xi(i1,2，n)的概率为的概率为P(Xxi)，则称表，则称表为随机变量为随机变量X的概率分布列，简称的概率分布列，简称X的分布列的分布列(4)分布列的两个性质分布列的两个性质pi ，i1,2，n；p1p2pn .次序次序pi01Xx1x2 xixnPp1p2 pipn变量变量考点梳理2两点分布两点分布如果随机变量如果随机变量X的分布列为的分布列为其中其中0p1，q1p，则称离散型随机变量，则称离散型随机变量 X 服从服从参数为参数为 p 的的 两点分布两点分布X10Ppq考点梳理超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类
3、个体的个数超几何分布的特征是：类个体的个数超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；已知各类对象的个数；(3)从中取出若干个；从中取出若干个；(4)研究取出某类对象研究取出某类对象的个数的概率分布的个数的概率分布4、二项分布：、二项分布：一般地，在一般地，在n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A发生的发生的次数为次数为X，在每次试验中事件在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么那么在在n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为()(1),0,1,2,.,.kkn knP XkC ppk
4、n 此时称随机变量此时称随机变量X服从服从二项分布二项分布，记作，记作XB(n,p),并称并称p为成功概率。为成功概率。X X01knp00nnC p q111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p q与二项式与二项式定理有联定理有联系吗系吗?是二项式是二项式(1p)pn的展开式中的第的展开式中的第k1项项特点：特点：（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；生；（2）任何一次试验中，）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。相互独立，互不影响试验的结果。随机变量随机变量X服从
5、二项分布服从二项分布5助学微博 离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数格第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率利用离散型随机变量的分布列，很容易据代表事件的概率利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值求出其期望和方差等特征值一类表格一类表格 (1)第二行数据中的数都在第二行数据中的数都在(0,1)内；内；(2)第二行所有数的和等于第二行所有数的和等于1.两条性质两条性质 助学微博四种方法四种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；由统计
6、数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列量分布列(4)由三种分布（两点分布、超几何分布、二项分布）由三种分布（两点分布、超几何分布、二项分布）求出离散型随机变量分布列。求出离散型随机变量分布列。1离散型随机变量离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？质代表的是什么？【提示提示】代表的是随机试验的结果代表的是随机试验的结果2如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？如何判断所求离散型
7、随机变量的分布列是否正确？C离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为 X01234P0.2 0.1 0.1 0.3m求随机变量求随机变量|X1|的分布列的分布列【思路点拨思路点拨】先根据概率的性质求先根据概率的性质求m的值，再根据的值，再根据X的值，的值，确定确定|X1|的值及相应的概率，最后写出分布列的值及相应的概率，最后写出分布列设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为 X01234P0.2 0.1 0.1 0.3m求随机变量求随机变量|X1|的分布列的分布列1利用分布列中各概率之和为利用分布列中各概率之和为
8、1可求参数的值，可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数2若若X是随机变量，则是随机变量，则|X1|等仍然是随机变等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列据对应的概率写出分布列设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为 X01234P0.2 0.1 0.1 0.3m若若P(Xx)0.4，求实数，求实数x的取值范围的取值范围【解解】P(Xx)0.4，P(Xx)P(X0)P(X1)P(X2)，因此因此2x3.1(2012佛山质检佛山质检)设设
9、S是不等式是不等式x2x60的解集，整的解集，整数数m，nS.(1)记记“使得使得mn0成立的有序数组成立的有序数组(m，n)”为事件为事件A，试列举试列举A包含的基本事件；包含的基本事件；(2)设设m2，求，求的分布列及其数学期望的分布列及其数学期望E.【解解】(1)由由x2x60，得，得2x3，Sx|2x3，由于由于m，nS，且，且m，nZ，mn0，则则A包含的基本事件为包含的基本事件为(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)由统计数据求离散型随机变量的分布列由统计数据求离散型随机变量的分布列由古典概型求离散型随机变量的分布列由古典概型求离散型随机变量的分布列 求随机变量
10、分布列的关键是概率的计求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列求出了这个随机变量的分布列审题视点 由独立事件同时发生的概率由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列求随机变量的分布列 1、(1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式
11、列出相应的根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值分布列，进而求出期望值2、解决随机变量分布列问题时，首先应先根、解决随机变量分布列问题时，首先应先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个取值对应的概率，同时要做到计算准确无误取值对应的概率，同时要做到计算准确无误例例5、(2011江西高考江西高考)某饮料公司招聘了一名员工，现对某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同
12、的饮料共不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为杯为A饮料，另外饮料，另外4杯为杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，饮料，公司要求此员工一一品尝后，从从8杯饮料中选出杯饮料中选出4杯杯A饮料若饮料若4杯都选对，则月工资定杯都选对，则月工资定为为3 500元；若元；若4杯选对杯选对3杯，则月工资定为杯，则月工资定为2 800元；否元；否则月工资定为则月工资定为2 100元令元令X表示此人选对表示此人选对A饮料的杯饮料的杯数假设此人对数假设此人对A和和B两种饮料没有鉴别能力两种饮料没有鉴别能力(1)求求X的分布列；的分布列；(2)求此员工月工资的数学期望求此员
13、工月工资的数学期望考向五 超几何分布超几何分布 例例5、(2011江西高考江西高考)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，杯，其颜色完全相同，并且其中其颜色完全相同，并且其中4杯为杯为A饮料，另外饮料，另外4杯为杯为B饮料，公司饮料，公司要求此员工一一品尝后，从要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出杯饮料中选出4杯杯A饮料若饮料若4杯都选对，杯都选对，则月工资定为则月工资定为3 500元；若元；若4杯选对杯选对3杯，则月工资定为杯，则月工资定为2 80
14、0元；否元；否则月工资定为则月工资定为2 100元令元令X表示此人选对表示此人选对A饮料的杯数假设此人饮料的杯数假设此人对对A和和B两种饮料没有鉴别能力两种饮料没有鉴别能力(1)求求X的分布列；的分布列；(2)求此员工月工资的数学期望求此员工月工资的数学期望【思路点拨思路点拨】(1)选对选对A饮料的杯数饮料的杯数X服从超几何分布，运用超几何分服从超几何分布，运用超几何分布的概率公式求解；布的概率公式求解；(2)寻找寻找Y与与X取值之间的对应关系，从而求出取值之间的对应关系，从而求出Y的分布列和数学期望的分布列和数学期望因此因此X的分布列是的分布列是超几何分布超几何分布一般地，在含有一般地，在含
15、有M件次品的件次品的N件产品中，任件产品中，任取取n件，其中恰有件，其中恰有X件次品，则事件件次品，则事件Xk发生的概率为发生的概率为P(Xk)_，k0,1,2，m，其中，其中mminM，n，且，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列，称分布列1求解本题的关键在于：求解本题的关键在于：(1)明确明确X服从超几何分布，服从超几何分布，(2)确定随机变量确定随机变量Y与与X取值对应概率间的关系取值对应概率间的关系2超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：到的某类个体的个数超几何分布的特征是：(1)考察对象分考
16、察对象分两类；两类；(2)已知各类对象的个数；已知各类对象的个数；(3)从中取出若干个；从中取出若干个；(4)研究研究取出某类对象的个数的概率分布取出某类对象的个数的概率分布3要善于看出某些实际问题实质是超几何分布，或将实要善于看出某些实际问题实质是超几何分布，或将实际问题转化为超几何分布，一种方式就是将一类对象视为合格际问题转化为超几何分布，一种方式就是将一类对象视为合格品，另一类对象视为不合格品，再对其进行解释品，另一类对象视为不合格品，再对其进行解释规律方法规律方法 51、在、在10件产品中有件产品中有3件一等品，件一等品，4件二等品，件二等品，3件三等件三等品从这品从这10件产品中任取
17、件产品中任取3件，求：件，求：(1)取出的取出的3件产品中一等品件数件产品中一等品件数X的分布列；的分布列；(2)取出的取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率件产品中一等品件数多于二等品件数的概率1、在、在10件产品中有件产品中有3件一等品，件一等品，4件二等品，件二等品，3件三等件三等品从这品从这10件产品中任取件产品中任取3件，求：件，求：(1)取出的取出的3件产品中一等品件数件产品中一等品件数X的分布列；的分布列；(2)取出的取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率件产品中一等品件数多于二等品件数的概率)31,6(BX.6,2,1,0,)32()31()(66kCkXPkk
18、k.5,2,1,0,)31()32()(kkYPk6)32()6(YP考向六 二项分布二项分布 6131;2XXYY例6、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（）设 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 的分布列（）设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 的分布列。二项分布：二项分布：一般地，在一般地，在n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A发生的发生的次数为次数为X，在每次试验中事件在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么那么在在n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A恰好发生恰好
19、发生k次的概率为次的概率为()(1),0,1,2,.,.kkn knP XkC ppkn 此时称随机变量此时称随机变量X服从服从二项分布二项分布，记作，记作XB(n,p),并称并称p为成功概率。为成功概率。X X01knp00nnC p q111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p q是二项式是二项式(1p)pn的展开式中的第的展开式中的第k1项项)0()1(XP,5253641515162)2(XP)0()2(XP9464649426462)1(XP916262)2(XP24428(1)656515P X(1)1(0)(2)P XP XP X（1）是超几何分布）是超几何分布
20、（2）是二项分布）是二项分布241(2)1、一个口袋中装有大小相同的 个白球和 个黑球，从中摸出两个小球。（）采取不放回抽样方式，求摸出白球个数的分布列若采取放回抽样方式，求摸出白球个数的分布列。22022020.0132;233.xUyxyxyVyUVUVXX 2、设不等式组确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为（）定义坐标为整数的点为“整点”。在区域 内任取 个整点，求这些整点中恰好有 个整点在区域 的概率（）在区域 内任取 个点，记此 个点在区域 的个数为，求 的概率分布列个整点，内共有个整点，区域内共有）由题意，区域解（9151VU的概率个整点在区域个整点中恰好有所取V234552
21、16)(3151629CCCVP（服从超几何分布）22022020.0132;xUyxyxyVyUV 2、设不等式组确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为（）定义坐标为整数的点为“整点”。在区域 内任取 个整点，求这些整点中恰好有 个整点在区域 的概率，面积为，区域面积为）区域（482VU2184内的概率为域内任取一点，该点在区在区域VU3,2,1,0可取X,83)21()21()2(223CXP81)21()21()3(0333CXP,81)21()21()0(3003CXP,83)21()21()1(2113CXP22022020.0233.xUyxyxyVyUVXX 2、设不等式组确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为（）在区域 内任取 个点，记此 个点在区域 的个数为，求 的概率分布列1(3,)2XB
