1、M.T.第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一、随机变量一、随机变量二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数三、离散型的概率分布律三、离散型的概率分布律四、连续型随机变量及其概率密度四、连续型随机变量及其概率密度五、随机变量的函数的分布五、随机变量的函数的分布M.T.上一章用集合来表示事件和事件的运算，实现了上一章用集合来表示事件和事件的运算，实现了第一步抽象化、符号化的工作。但在这里，集合中的第一步抽象化、符号化的工作。但在这里，集合中的元素对应的还是随机试验中具体出现的结果。本章首元素对应的还是随机试验中具体出现的结果。本章首先要作的就是把这些结果先要作的就是把这些结
2、果和实数对应和实数对应，相应的变量即，相应的变量即为为随机变量随机变量，则事件对应着相应的数集，进一步的，则事件对应着相应的数集，进一步的，我们可以我们可以把已有的数学工具应用到概率分布问题的研把已有的数学工具应用到概率分布问题的研究究，从而实现研究方法的，从而实现研究方法的函数化函数化，这有利于更好、更，这有利于更好、更深入地揭示随机现象的规律性。看下面简单的例子深入地揭示随机现象的规律性。看下面简单的例子例例:抛掷一枚硬币的两个结果：正面，反面，也可抛掷一枚硬币的两个结果：正面，反面，也可以用数字表示：以用数字表示：1，0,这时对应的关系可以反映为一个这时对应的关系可以反映为一个变量变量1
3、,()0,X正面反面M.T.一、随机变量的概念一、随机变量的概念1 1 随机变量及其分布随机变量及其分布定义定义 设设E是一随机试验，是一随机试验，是它的样是它的样本空间，若对本空间，若对 中的每一个中的每一个 ,都有唯一的都有唯一的实数实数 与之对应，则称为与之对应，则称为(随机试验随机试验E E的的)随机变量随机变量。()X()X随机变量一般用随机变量一般用 X X,Y Y,Z Z,或小写希腊字母或小写希腊字母,表示。表示。()X 实数即（即（映射映射）问：定义域和值域分别是什么？问：定义域和值域分别是什么？M.T.离散型离散型连续型连续型取值为有限个和至多可列个取值为有限个和至多可列个的
4、随机变量的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量可以取区间内一切值的随机变量.例例1 (1)(1)随机地掷一颗骰子，随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点表示所有的样本点,X X():1 2():1 2 3 4 5 63 4 5 6(2)(2)某人买彩票直至买中为止，某人买彩票直至买中为止，表示买入次数，则表示买入次数，则 ：买：买1 1次买次买2 2次次 .买买n n次次 .X()X()：1 2 .n .1 2 .n .(3)(3)记录下午两点到晚上记录下午两点到晚上1212点电话呼入时间点电话呼入时间,则则:呼入时间呼入时间X():0,10X():0,10 ：M.T.引入随机变量后，用随机变量
5、的等式或不等式表引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件。达随机事件。(3)X()(3)X()表示记录下午两点到晚上表示记录下午两点到晚上1212点电话呼入点电话呼入时间对应的随机变量，讨论时间对应的随机变量，讨论()()XaXa（如或等）例例1 (1)(1)X X()()表示随机地掷一颗骰子掷出的点数表示随机地掷一颗骰子掷出的点数则则 表示事件，表示事件，进一步地讨论它们的概率。进一步地讨论它们的概率。1X 1X3X 0X 7X(2)X()(2)X()某人买彩票直至买中为止的次数，讨论某人买彩票直至买中为止的次数，讨论1X 1X3X 0X()0,10X10,5XX15X15X28
6、XM.T.定义了一个定义了一个x的实值函数，称为随机变量的实值函数，称为随机变量X 的的分分布函数布函数，记为，记为F(x),即即定义定义 设设X为随机变量为随机变量,对每个实数对每个实数x,随机事件随机事件)(xX 的概率的概率)(xXPxxXPxF),()(注注:1.1.分布函数对应的集合可以表示随机变量其它分布函数对应的集合可以表示随机变量其它等式或不等式表示的集合；等式或不等式表示的集合；2.2.分布函数给出了研究统计规律性统一的基本概念。分布函数给出了研究统计规律性统一的基本概念。它完整地描述了随机变量的统计规律性（它完整地描述了随机变量的统计规律性（见下页见下页）.二、随机变量的分
7、布函数二、随机变量的分布函数M.T.)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP（a ab b （若把若把 X 看作数轴上的坐标，则表示看作数轴上的坐标，则表示 X 落在区落在区间间 上的概率上的概率，则，则利用分布函数可以计算利用分布函数可以计算()F x(,x)(1)(1)(aFaXPaXP而而M.T.2.2.1)(0 xF且且0)(lim,1)(limxFxFxx分布函数的性质分布函数的性质1.1.单调不减，即单调不减，即)()(,2121xFxFxx()F x3.3.右连续，即右连续，即(0)lim()()txF xF tF x()F x注：后两条性质做直观理解即可！注：后两条性质
8、做直观理解即可！M.T.:X解 的分布函数为011124()11234213xxF xxx 即011124()323413xxF xxx 求求 的分布函数，并求的分布函数，并求 例例1:1:设随机变量的有分布为设随机变量的有分布为X),21(XP)32(),2523(XPXPkp-123414121XM.T.3553311()()()2222442PXFF111()()224P XF则(23)(3)(2)(2)PXFFP X=3131424-1 0 1 2 31-1 0 1 2 31xy图像：图像：M.T.解：由分布函数的性质，我们有解：由分布函数的性质，我们有得得1202BABA，121BA
9、解得解得试求常数试求常数A,B.例例2 2 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为 FxABarctgxx 0limlim2xxFxABarctgxAB 1limlim2xxFxABarctgxAB M.T.描述离散型随机变量的概率特性常用它的描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率概率分布分布或称或称分布律分布律，即，即,2,1,)(kpxXPkk概率分布的性质概率分布的性质v ,2,1,0kpk非负性非负性v 11kkp规范性规范性2 2 离散型随机变量离散型随机变量 定义定义 若随机变量若随机变量X的可能取值是有限多个或的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称无穷可列多个，
10、则称X为为离散型随机变量离散型随机变量.一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律12,x x M.T.(1)0 1 分布分布 二、常见的离散型随机变量的分布二、常见的离散型随机变量的分布应用场合应用场合 凡是试验的目的只考虑两个可能的结果，凡是试验的目的只考虑两个可能的结果，常用常用0 1分布描述，如考试是否及格、产品是否格、分布描述，如考试是否及格、产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等荷等等.简单且普便简单且普便或写成或写成1,0,)1()(1kppkXPkkX=k 1 0 1 0 P p 1 p 0 0 p
11、1 1 分布律：分布律：M.T.(2)(2)二项分布二项分布),(pnB回顾回顾：n 重重 Bernoulli 试验中，每次试验感兴试验中，每次试验感兴趣的事件趣的事件 A 在在 n 次试验中发生的次试验中发生的k次的概率？次的概率？称称 X 服从服从参数为参数为n,p 的二项分布的二项分布，记作，记作),(pnBX0 1 分布是分布是 n=1 的二项分布的二项分布若若P(A)=p,则则()(1),0,1,kkn kknpP XkC ppkn给出随机变量给出随机变量 X，X为为事件事件 A 在在 n 次试次试验中发生的次数。验中发生的次数。M.T.例例2 2 一大批产品的次品率为一大批产品的次
12、品率为0.10.1，现从中取出，现从中取出1515件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率：B=取出的取出的1515件产品中恰有件产品中恰有2 2件次品件次品 C=取出的取出的1515件产品中至少有件产品中至少有2 2件次品件次品 ,0.1.AP A取出一件产品为次品则解：由于从一大批产品中取解：由于从一大批产品中取1515件产品，故可近件产品，故可近似看作是似看作是1515重重Bernoulli试验试验 2213150015114151520.10.9110110.10.90.1 0.9P BP XCP CP CP XP XCC 所以所以，X 表示表示“抽取的产品中次品的个数抽取的产品中次
13、品的个数”，则则(15,01)XBM.T.例例3:3:一个完全不懂英语的人去参加英语考试一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此假设此考试有考试有5 5个选择题，每题有个选择题，每题有4重选择，其中只有一个答重选择，其中只有一个答案正确案正确.试求：他居然能答对试求：他居然能答对3 3题以上而及格的概率题以上而及格的概率.解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的互独立的.这样，他答题的过程就是一个这样，他答题的过程就是一个Bernoull
14、iBernoulli试试验。验。:,4,1此人及格的概率是此人及格的概率是时时于是当于是当其中其中 nnp324555513131(3)0.1034544444P (5,1/)Bn表示：他答对题数，()(1),01,2,3,4,5kn knPkppkk 另问：全部答错的概率？0.237M.T.(3)(3)Poisson Poisson 分布分布)(或或)(P回顾回顾：的幂级数展开式？的幂级数展开式？xe或或若变量若变量X 满足满足,2,1,0,!)(kkekXPk其中其中0是常数，则称是常数，则称 X 服从服从参数为的参数为的Poisson Poisson 分布分布，记作，记作)()(P例例
15、4 4 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为的的 Poisson 分分布，且已知布，且已知12P XP X4P X 试求试求M.T.解：随机变量解：随机变量 X X 的分布律为的分布律为 ，210!kekkXPk 得得12P XP X由已知由已知2那么那么42244!P XeM.T.3 3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度l 引例引例l 考虑某车床加工的零件长度与规定的长度考虑某车床加工的零件长度与规定的长度的偏差，通常知道偏差的范围，设其偏差的绝的偏差，通常知道偏差的范围，设其偏差的绝对值最大是对值最大是a,那么那么l V -a,aM.T.定义定义 设设X 是一
16、随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负可积函数可积函数 f(x),使得使得xttfxFxd)()(其中其中F(x)是它的是它的分布函数分布函数.则称则称 X 是是连续型随机变量连续型随机变量，f(x)是它的是它的概率密概率密度函数度函数，简称为，简称为密度函数密度函数或或概率密度概率密度.一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念M.T.-10-550.020.040.060.08xf(x)xF F(x)分布函数分布函数 F(x)与密度函数与密度函数 f(x)的的几何意义几何意义:建立坐标系建立坐标系,给出给出f(x)的图像。的图像。)(xfy M.T.f(x)的性质：的性
17、质：1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf我们常利用此性质检验一个函数能否作为连续我们常利用此性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。3 3、在在 f(x)的连续点处，的连续点处，)()(xFxff(x)描述了描述了X 在在 x 点分布函数值的变化率。点分布函数值的变化率。4 4、对任意的对任意的a 0 0 为常数为常数M.T.一般地，若一般地，若X X 的密度函数为的密度函数为xexfx222)(21)(则称则称 X X 服从服从参数为参数为 ,2 2 的正态分布的正态分布,为常数，为常数，02(,)XN 记作记
18、作(3)(3)正态分布正态分布 221,2xxex 首先看首先看标准正态分布标准正态分布M.T.21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3N（-3,0.3）M.T.f(x)的性质的性质：图形关于直线图形关于直线 x=对称对称：f(+x)=f(-x)在在 x=时时,f(x)取得取得最大值最大值21在在 x=时时,曲线曲线 y=f(x)在对应的点处有在对应的点处有拐点拐点曲线曲线 y=f(x)以以x轴为轴为渐近线渐近线曲线曲线 y=f(x)的图形呈的图形呈单峰状单峰状M.T.yf xXyf xX并且可知，当越小时，图形越陡，因而落在附近的概
19、率越大；反之，当 越大时，的图形越平坦，这表明 的取值越分散xf(x)01若1 0 时时，)(11)(byafayfXYM.T.当a 0 时，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故)(1|1)(byafayfXYM.T.例如，设 X N(,2),Y=a X+b,则)(1|1)(byafayfXY2222)(|21 aabyeayY N(a+b,a22)特别地，若 X N(,2),)1,0(NXY则M.T.例例 4 4 设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度概率密度,),(xxfX求求 Y=X 2 的概率密度的概率密度.(非单调非单调)解：解：(1)先求先求 Y=X 2 的分布函数的分布函数 FY(y).0)(0,0120yFyXYY时故当由于yyXYdxxfyXyPyXPyYPyFy.)()(,0220时当(2)可可得得M.T.0,0,0),()(21)(yyyfyfyyfXXY例如例如,设设 XN(0,1),则则 Y=X 2 的概率密度为：的概率密度为：.0,0,0,21)(221yyeyyfyY21Y自由度此时称服的从为分布。M.T.谢谢观看！2020
