1、第十三章第十三章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 131 概述概述132 梁的挠曲线近似微分方程及其积分法梁的挠曲线近似微分方程及其积分法133 叠加法叠加法136 结构的刚度校核结构的刚度校核134 图乘法图乘法135 互等定理互等定理 工程中的弯曲变形工程中的弯曲变形xyxyPy=y(x)梁在平面弯曲时，其轴梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁线弯成一平面曲线，称为梁的的。梁横截面形心的竖向位移称为截面的梁横截面形心的竖向位移称为截面的，用，用y 来表示。来表示。挠度以向下为正，向上为负。挠度以向下为正，向上为负。梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的梁横截面绕中性轴转过的角度
2、称为截面的，用，用 来来表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的称为梁的和和。xyxyPy=y(x)()(xxyy 梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：直，由高等数学可知：tgdxdy 小变形下，小变形下，很小，很小，tg ，于是得，于是得dxdyy 这就是梁的变形，挠度与转角的关系。这就是梁的变形，挠度与转角的关系。一、简单梁简单荷载下的变形一、简单梁简单荷载下的变形ABEI
3、lABEIlABEIlm,EImlBEImlyB22P,22EIPlBEIPlyB33q,63EIqlBEIqlyB84ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC,3EImlAEImlB6EImlyC162EIPlBA162EIPlyC483EIqlBA243EIqlyC38454二、叠加法计算梁的变形二、叠加法计算梁的变形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl,332EIPlEImlAmEIPlEImlyCm161632,162EIPlAPEIPlyCP483EIPlAPAmA48192EIPlyyyCPCmC
4、123=+三、几种基本变化三、几种基本变化 悬臂梁悬臂梁荷载在內侧，求端部位移荷载在內侧，求端部位移abABPCEICBCCybCyBEIPaCB22EIbPaEIPabyyCCB2323荷载在外侧，求内侧位移荷载在外侧，求内侧位移abABPCEICBCCyyBEIPaEIPabEIPaEIMaC2222EIPaEIbPaEIPaEIMayC32323232ABPCCabPM=PbFs=P 外伸梁外伸梁PBABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBBCBCCBayc1PEIPalEIMlB33EIPaC221EIPayC331EIPaEIPalCBC2321EIPaEIlPaya
5、yCBC33321C例例6 求图示梁求图示梁B，C 截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。AB C EI l/2l/2q解：解：AB C EI qAB C EI q+EIqlB631EIqlyB841EIqlEIlqCB486)2/(332EIqllEIqlEIlqlyyCCB38472488)2/()2/(4342AB C EI l/2l/2qAB C EI qAB C EI q+EIqlB631EIqlyB841EIqlB4832EIqlyB384742;487321EIqlBBBEIqlyyyBBB38441421AB C EI l/2l/2qAB C EI C qFs=ql/2Fs=ql
6、/2M=ql2/8l/2EIqlEIlqlEIlqlEIlFEIlMsC8242282)2()2(3222EIqlEIlqlEIlqlEIlFEIlMysC19273822483)2(2)2(4322322、计算结构位移的一般公式、计算结构位移的一般公式1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。单位载荷法单位载荷法RiNQKiFF CM dFduFdv，则式中1F经进一步推导，可得经进一步推导，可得NQ QPNPPKRiikF FF FMMdsdsdsF CEIEAGA 式中：式中：E -弹性模量；弹性模量；G-剪切模量；剪切模
7、量；A-横截面积；横截面积；I-截面惯性矩；截面惯性矩；K-截面形状系数。截面形状系数。3.荷载作用下的位移公式荷载作用下的位移公式 如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移Ci 0，位移公式则为，位移公式则为 dsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNPKP4.各类杆件结构在荷载作用下的位移公式各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架）梁和刚架 弯矩影响为主弯矩影响为主，位移计算公式，位移计算公式 dsEIMMPKP（2）桁架）桁架 杆受轴力。公式简化为杆受轴力。公式简化为EAlFFNPNKP（3）组合结构）组合结构 梁和杆
8、，公式为前两项梁和杆，公式为前两项EAlFFdsEIMMNPNPKP（4）拱）拱计轴力、弯矩影响，忽略剪切变形计轴力、弯矩影响，忽略剪切变形EAlFFdsEIMMNPNPKP5、静定桁架的位移计算步骤、静定桁架的位移计算步骤（1）设虚拟状态；）设虚拟状态；（2）计算）计算NPFF,（3）用桁架的位移计算公式计算位移。）用桁架的位移计算公式计算位移。解解（1）设虚拟状态（如上图）设虚拟状态（如上图b所示）所示）（2）计算）计算NPFF和12222211222 242 2NNVCPPPPF F lEAFaEAFaFaF aEA （3）代公式求）代公式求C点的竖向位移点的竖向位移例例13-1 图示桁
9、架各杆的图示桁架各杆的EA相等，求相等，求C 结点的竖向位移结点的竖向位移一、图乘法原理一、图乘法原理1、图乘法的适用条件：、图乘法的适用条件：（1）杆段的轴线为直线）杆段的轴线为直线（2）杆段的弯曲刚度）杆段的弯曲刚度EI为常数为常数 直梁和刚架的位直梁和刚架的位移公式则为移公式则为dxMMEIdsEIMMpllp001（3）图和图和 图中至少有一个直线图形图中至少有一个直线图形 PMM134 图乘法图乘法2图乘法原理图乘法原理 sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1xxMEIPdtancBDcBDyAEIxAEI1tan图乘法求位移的一般表达式为CAyEI1注意：1 应取自直
10、线图中2 若A与 在杆件的同侧,取正值，反之,取负值3 如图形较复杂，可分解为简单图形cycyAcy3.图乘法的步骤1 设虚拟状态；2 画 图；图；3 图乘求位移。PMM4.图形的分解当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。梯-梯同侧组合：)3132(21)3231(211112211delbdelaEIyAyAEIAyEICCC梯梯-梯同侧组合：梯同侧组合：1122111111()(-b)(d(-d)223CCCAyA yA yEIEIlbdel aeEI梯梯-梯异侧组合梯异侧组合)3132(21)3132(211112211delbedl
11、aEIyAyAEIAyEICCC二、二、图乘法计算直梁和刚架的位移图乘法计算直梁和刚架的位移 例13.4 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移,梁的EI=常数 解:MP、M 分别如图 BC 段的MP图是标准二次抛物线；AB段的MP图较复杂，但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。由图乘法得由图乘法得 24381231)(1121332211lyqllAyAyAyAEIcv228121qllA2322ly238132qllA2213ly41231683481333lqllqllqlEICV EIql1284例例13.5 试求图试求图a所示伸臂梁所示伸臂梁C点的竖向位移点的竖向位移25105
12、.1mKNEI设：解:荷载弯矩图和单位弯矩图如图。在AB段,MP和M图均是三角形；在BC段，MP图 可看作是由B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图即图b中虚线与曲线之间包含的面积叠加而成。图乘再叠加图乘再叠加3645321463002121EIEICV cmmEI44.40444.0105.1666066605136 梁的刚度条件梁的刚度条件一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即
13、满足。土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即或等于容许值，即lylymax 机械类工程，传动轴是装在轴机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于容许值，即于或等于容许值，即 max二、提高梁的抗弯能力的主要措施二、提高梁的抗弯能力的主要措施 增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI 因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提
14、高梁的抗弯刚度改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。如采用工字形、槽形、箱形等。减小梁的跨度减小梁的跨度 因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq9/2l9/2lEIqly38454maxEIqly38411.04max116 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法 计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。静定梁的全部支座反
15、力均可用平衡方程求之，但超静定梁的静定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。方可求解。ABCEIPl/2l/2FAFBMA;0yF0PFFBA;0Am02lPlFMBAACEIPl/2l/2FAMAFBB022)2/(3)2/(3233lEIlPEIlPEIlFyBB165PFB;0PFFBA;02lPlFMBA1611PFA163PlmA 多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相同。果相同。去掉多余约束支座去掉多余
16、约束支座B，将支座，将支座B 的反力视为荷载，静定的反力视为荷载，静定梁梁AB在荷载在荷载P、FB作用下，作用下，B 端挠度为零。端挠度为零。;0yF;0AmBCEIPl/2l/2YAFBMAA03162EIlmEIPlAA163PlmA;0PFYBA;02lPlFMBA1611PFA165PRBP3Pl/16Pl/4M 图图;0yF;0Am 上述解超静定梁的方法称为上述解超静定梁的方法称为。具体解题步骤。具体解题步骤如下：如下：去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力；去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力；根据多余约束处的变形关系建立补充方程；根据多余约束处的变形关系建立补充方程；解补充方程
17、求出多余约束反力；解补充方程求出多余约束反力；将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定梁，然后按静定梁求解其它问题。梁，然后按静定梁求解其它问题。例例10 解图示超静定梁，并画弯矩图。解图示超静定梁，并画弯矩图。AB2aCaaEIPABCEIPFC解：解：去掉可动支座去掉可动支座C，代之以，代之以反力反力FC。ABPBCFCFCFC2aFC02CBCyay03)2(216)2(32232EIaFaEIaPEIaaFCCPFC323ABCEIPFC=3P/32M图图3Pa/16Pa/2例例11 求图示各梁的固端弯矩。求图示各梁的固端弯矩。ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1BCF2F2解：解：将各梁从将各梁从C 处拆开，代处拆开，代以相应的约束反力。以相应的约束反力。EIaFFEIaFP3)2)(3)(32131EIaFEIaFF33)2)(32321PFF218909821 FFABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1BCF2F2PFF218909821 FFPF1791PF1782PaMMBA178PaMD172
