1、电子科技大学通信学院1随机信号分析第3章 平稳性与功率谱密度.电子科技大学通信学院2第3章 平稳性与功率谱密度 有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随机信号被称为平稳随机信号。本章讨论：1）严格与广义平稳性；循环平稳性；2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义；3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度；4）白噪声及其实例热噪声.电子科技大学通信学院3第3章 平稳性与功率谱密度3.1 平稳性与联合平稳性 3.2 循环平稳性3.3 平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度3.5 白噪声与热噪声3.6 应用举例.电子科技大学通信学院43.1 平
2、稳性与联合平稳性 平稳性（平稳性（Stationarity）:随机信号的平稳性:n随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t保持不变的特性。n包括严格平稳性与广义平稳性。1,f(x,y,z,t)(,)f x y z txxxf x y z tx 若（）当自变量如的特性不变，就称对变量 是平稳的。.电子科技大学通信学院53.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院63.1 平稳性与联合平稳性1-t11111(1)SSS.R.S n1:f(x,t)f(x,t)f(x)若严格平稳信号的特性：、一阶平稳一阶平稳SSS.R.S ,由同分布随机变量组成.（一维的分布函数 概率密度函数相同）.电子科技大
3、学通信学院73.1 平稳性与联合平稳性1111111(,)Ex(t)()kkkx f x t dxconstx p X txconst均值平稳可见一阶平稳一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。如：均值均为0，均值平稳，但各时刻的R.V.的分布不同。.电子科技大学通信学院83.1 平稳性与联合平稳性12121212122.f(x,x;t,t)f(x,x;t,t)t,tR.V.SSS R S（）、二阶平稳时刻的紧密程度，相互关系.电子科技大学通信学院93.1 平稳性与联合平稳性112*1,212*12121212*121212 f(x,x;)R()()()(,;,)-(,;)R()-XXtt t
4、X tXtx x f x xt t dx dxx x f x xdx dx 若相关平稳可见二阶平稳必相关平稳。.电子科技大学通信学院103.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院113.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院123.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院133.1 平稳性与联合平稳性n平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；n应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；n严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中；n经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件 不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳
5、的。n非平稳信号非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施1030ms的分帧，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。.电子科技大学通信学院143.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院153.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院163.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院173.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院183.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院193.1 平稳性与联合平稳性212122 (),0,1,2,()(1)X(n)(2)(n)N(0,)()(n)(n)0 R(,
6、)()()XX n nX nXXXn nX nX n 例：热噪声的取样观察值为是一随机序列，它具有以下性质：相互独立；是分布，即每一时刻取值连续、高斯判断的平稳性 解：.电子科技大学通信学院203.1 平稳性与联合平稳性 121222112212()()0 nn ()n(0)(,)()R.S.X(n)WSS.R.SS SS.R.S XXE X nE X nE XnnRRn nX nGuass 又是是.电子科技大学通信学院213.1 平稳性与联合平稳性12121212x GuassR.S.()()A.f(x,t)B.a.t-t1.5T b.t-t0.5 a.bf(x,x;t,t)A.f(x,t)
7、Guass,m,()XXXX tRTRSSS例4：若的如下图所示：求：两时刻之 解：为只需求从知为22.()1 f(x,t)exp22XXXR Sxm-TT4()XR.电子科技大学通信学院223.1 平稳性与联合平稳性22228 ()0 R(0)4 21 f(x,t)2 2.a R(1.5)()(1.5)0XXXXXXxXRmmeBTX tX tT 正交.电子科技大学通信学院233.1 平稳性与联合平稳性22121212112222212812 Guass Guass f(x,x;t,t)f(x,t)f(x,t)1 ()exp()882 21 8(),()xxxxex tx t正交 零均值独立
8、正交 不相关、独立对信号等价同分布但不是同一个随机变量.电子科技大学通信学院243.1 平稳性与联合平稳性1211221212122xx2122x21222x.t0.5 R(0.5)2 1f(x,x;t,t)exp21(x-m)1 2(1)2(xm)(xm)(xm)C(0.5T)(0.5)(0.5T)4XxxbtTTRT 时：020.544.电子科技大学通信学院253.1 平稳性与联合平稳性121222122212222211221f(x,x;t,t)exp2 2 2 1 0.5(x-0)1-2(1-0.5)22 0.5(x-0)(x-0)(x-0)2 221exp64 3xx xx21212
9、mf(x,x;t,t),将、和 的值代入式 得.电子科技大学通信学院263.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院273.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院283.1 平稳性与联合平稳性.电子科技大学通信学院293.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院303.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院313.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院323.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院333.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院343.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院353.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院363.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院373.2 循环平稳性.
10、电子科技大学通信学院383.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院393.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院403.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院413.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院423.2 循环平稳性SSSWSSSSCSWSCS除Guass二阶矩过程二阶矩过程.电子科技大学通信学院433.2 循环平稳性n例例1:取值+1，-1的二元（二进制）传输信号 W(t),如下图所示,第n时隙上，其中T为传输时隙长度,而且不同时隙上的信号取值彼此统计独立并具有同样的概率特性。证明W(t)是严格周期平稳随机信号。1W()(1)11PptnTtnTPqp ，概率，当时，概率.电子科技大学通信
11、学院443.2 循环平稳性Fig1.Binary Signal.电子科技大学通信学院453.2 循环平稳性n证明：证明：对于任意n维概率分布函数，若取观察时刻组 有 由于不同时隙上的信号取值彼此统计独立并具有同样的概率特性，该联合事件的概率主要取决于观察时刻之间的相互关系：哪些落在同一个传输时隙内；哪些落在不同的传输时隙上。但是，如果时刻都移动一个时隙长度T，得到新的观察时刻组:12,.,(,),nt tt 12121122(,.,;,.,)(),(),.,()nnnnF x xx t ttPW tx W txW tx12,.,(,)ntT tTtT .电子科技大学通信学院463.2 循环平稳
12、性在新的时刻组里，各时刻之间的上述关系与原时刻组里各时刻之间的相应关系保持不变。于是，事件概率不变，即因此，W(t)是严格周期平稳随机信号1212112211221212(,.,;,.,)(),(),.,()(),(),.,()(,.,;,.,)nnnnnnnnF x xx t ttP W tx W txW txP W tTx W tTxW tTxF x xx tT tTtT.电子科技大学通信学院473.2 循环平稳性n例例3:正弦随机电压信号 ，其中n A与T是确定量。经过随机时间滑动，n 在0,T上均匀分布，滑动后的随机电n 压为 。n 试问，(1)V(t)是否是严格平稳的？(2)计算V(
13、t)的均值与相关函数。()sin(2/)()V tAT t()sin(2/)U tAT t解解:1）因正弦信号U（t）是周期为T的确定信号。U（t）可以作为是严格周期平稳的。U（t）经过随机滑动后,得到的随机信 号V（t）是严格平稳的。.电子科技大学通信学院483.2 循环平稳性2()sin(2/)sin(2/)(,)sin(2/)()sin(2/)sin(2/)()sin(2/)uutE AT tAT tR ttE AT tAT tAT tT t00200211()sin(2/)0122()(,)coscos(2)21cos(2/)2TTvuTTvut dtAT tdtTTARR tt dt
14、tdtTTTTAT2）对于U（t）有，U（t）也一定是广义周期平稳的，于是，有.电子科技大学通信学院493.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院503.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院513.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院523.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院533.2 循环平稳性.电子科技大学通信学院543.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院553.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院563.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院573.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院583.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院593.3 平稳信号
15、的相关函数.电子科技大学通信学院603.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院613.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院623.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院633.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院643.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院653.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院663.3 平稳信号的相关函数.电子科技大学通信学院673.4 功率谱密度与互功率谱密度信号有两种类型：1）能量型信号的能量有限，功率为0；2）功率型信号的功率有限，能量为无穷。希望考察信号的能量或功率沿轴的密度状况，即，考虑给定频率处，单位带宽上所具有的
16、能量或功率.电子科技大学通信学院68 3.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院693.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院703.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院713.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院723.4 功率谱密度与互功率谱密度随机信号的功率与功率谱密度:n因为几乎总是功率型的，因此，只考虑功率与功率谱密度。.电子科技大学通信学院733.4 功率谱密度与互功率谱密度n对于随机信号可先考虑某个样本函数，再进行统计平均。.电子科技大学通信学院743.4 功率谱密度与互功率谱密度21lim,21lim(,)2TsTTTTTPE
17、 PE XtdtTR t t dtT 21lim,2sTTSE SEXjT.电子科技大学通信学院753.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院763.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院773.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院783.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院793.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院803.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院813.4 功率谱密度与互功率谱密度例 已知零均值平稳过程X(t)的 2426(),().54XXXSRDt求与222242222222221466()54
18、(1)(4)1466624|2,|84313XSABAB 解：.电子科技大学通信学院823.4 功率谱密度与互功率谱密度|2|X222|0|2|0|28(),R()214()(0)=2 0=1 XXXXSeeDtRmee 22|2aaeta.电子科技大学通信学院833.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院843.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院853.4 功率谱密度与互功率谱密度n与确定信号不同的是，随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱，而非信号谱。.电子科技大学通信学院863.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院873.4 功率谱密度与互功率谱
19、密度.电子科技大学通信学院883.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院893.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院903.4 功率谱密度与互功率谱密度XYXYYXYX1(,)lim(,)(,)21(,)lim(,)(,)2S()E S(,s)S()E S(,s)XYTTTYXTTTSsXs YsTSsXs YsTn1.互功率谱密度互功率谱密度.电子科技大学通信学院913.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院923.4 功率谱密度与互功率谱密度n1)两种互功率谱的实部相同，而虚部反号；n2)实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都是偶函数，虚部
20、都是奇函数。.电子科技大学通信学院933.4 功率谱密度与互功率谱密度求:(1)受扰后的信号Y(t)的相关函数;(2)信号X(t)和Y(t)是否联合平稳?若是,求Y(t)的 功率谱与X(t)和Y(t)的互功率谱.()Y tn.电子科技大学通信学院943.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院953.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院963.4 功率谱密度与互功率谱密度.电子科技大学通信学院973.5 白噪声与热噪声.电子科技大学通信学院983.5 白噪声与热噪声n白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”：n1）无限带宽的理想随机信号，n2）功率（即方差）为无穷大，n3）而
21、不同时刻上彼此不相关，.电子科技大学通信学院993.5 白噪声与热噪声n若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称它为高斯白噪声高斯白噪声（WGN,White Gaussian noise）。它也是独立信号，代表着信号“随机性”的一种极限。.电子科技大学通信学院1003.5 白噪声与热噪声.电子科技大学通信学院101 3.6 应用举例.电子科技大学通信学院1023.6 应用举例.电子科技大学通信学院1033.6 应用举例.电子科技大学通信学院1043.6 应用举例.电子科技大学通信学院1053.6 应用举例.电子科技大学通信学院1063.6 应用举例.电子科技大学通信学院1073.6 应用举例.电子科技大学通信学院108 3.6 应用举例.电子科技大学通信学院109 3.6 应用举例.电子科技大学通信学院110 3.6 应用举例.电子科技大学通信学院1113.6 应用举例 121212211212102(,)()()/()1/1 4(/1,)TYXRtD tD dtR t tE X tDE X tDttTE XtDttTpq ttTT 1 4/(),1 4YTpqTRTpq 于是，.电子科技大学通信学院112 3.6 应用举例 241/()(),0YYYpqTTCRmT.电子科技大学通信学院113 3.6 应用举例.电子科技大学通信学院114 3.6 应用举例.
