1、一、等可能概型一、等可能概型二、典型例题二、典型例题三、几何概率三、几何概率四、小结四、小结第四节第四节 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型).)2(;)1(古典概型古典概型验称为等可能概型或验称为等可能概型或具有以上两个特点的试具有以上两个特点的试生的可能性相同生的可能性相同试验中每个基本事件发试验中每个基本事件发有限个元素有限个元素试验的样本空间只包含试验的样本空间只包含1.定义定义一、等可能概型一、等可能概型(古典概型古典概型)设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成，A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事则
2、事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.)(样本点总数样本点总数所包含样本点的个数所包含样本点的个数AnmAP 称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.3.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型(1)无放回地摸球无放回地摸球问题问题1 设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球,现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率.解解,2只球都是白球只球都是白球摸得摸得设设 A基本事件总数为基本事件总数为,26 A 所包含所包含基本事件的个数为基本
3、事件的个数为,24 2624)(AP故故.52(2)有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解3,2次摸到红球次摸到红球第第次摸到黑球次摸到黑球前前设设 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球基本事件总数为基本事件总数为,101010103 A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的
4、个数为,466 310466)(AP故故.144.0 课堂练习课堂练习1 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的概率概率.)63:(3 p答案答案4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球.33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法,333334种种 个个2种种 24个个2种种 22因此第因此
5、第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为432224 p.272(2)每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球,求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率.解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为41044pp p789101234 .2101 2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10个学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是1
6、2月月31日的概率日的概率.)92:(答案答案)36510101020:(20 p答案答案课堂练习课堂练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 则则.,1 TTHTHTHTTA 而而.83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)(2 AP因此因此).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求求次次出出现现正正面面”“至至少少有有一一为为设设事事件件求求”次次
7、出出现现正正面面为为“恰恰有有一一设设事事件件将将一一枚枚硬硬币币抛抛掷掷三三次次.,)1(为出现反面为出现反面为出现正面为出现正面设设TH二、典型例题二、典型例题1例例例例2一只口袋装有一只口袋装有6只球只球,其中其中4只白球只白球、2只只红球红球.从袋中取球两次从袋中取球两次,(a)第一次取一只球第一次取一只球,放回袋中放回袋中,抽样抽样.(b)第一次取一球不放回袋中第一次取一球不放回袋中,余的球中再取一球余的球中再取一球,(1)取到的两只球都是白球的概率取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率取到的两只球颜色相同的概率;种取球方式种取球方式:试分别就上面两种情况求试分
8、别就上面两种情况求考虑两考虑两观察其颜色后观察其颜色后第二次从剩第二次从剩这种取球方式叫做不放回抽样这种取球方式叫做不放回抽样.每次随机地取一只每次随机地取一只,这种取球方式叫做放回这种取球方式叫做放回搅匀后再取一球搅匀后再取一球.(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率取到的两只球中至少有一只是白球的概率.(a)放回抽样的情况放回抽样的情况.解解分分别别表表示示以以CBA,事件事件“取到的两只球都是白取到的两只球都是白球球”,“取到的两只球都取到的两只球都都是红都是红球球”,“取到的两只球中至少有一只是白球取到的两只球中至少有一只是白球”.,”“BA这这一一事事件件为为球球取取到到两两只只
9、颜颜色色相相同同的的易易知知.BC 而而在袋中依次取两只球，在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本每一种取法为一个基本事件事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素显然此时样本空间中仅包含有限个元素,且且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,因而因而可利用可利用(4.1)式来计算事件的概率式来计算事件的概率.第一次从袋中取球有第一次从袋中取球有6只球可供抽取只球可供抽取,第二次第二次也有也有6只球可供抽取只球可供抽取.由组合法的乘法原理由组合法的乘法原理,一共有一共有.66种取法种取法.66 为为即即样样本本空空间间中中元元素素总总数数对于对于,而言而言
10、事件事件A由于第一次共有由于第一次共有4只白球可供抽取只白球可供抽取,第第二次也有二次也有4只白球可供抽取只白球可供抽取,则由乘法原理总共有则由乘法原理总共有,44种取法种取法.44个元素个元素中包含中包含即即 A同理同理,中包中包B.22个元素个元素含含 于是于是)(AP 6644 .94)(BP 6622 .91,AB由于由于得得)(BAP)()(BPAP .95)(CP(b)不放回抽样不放回抽样.由读者自己完成由读者自己完成.)(BP)(1BP .98例例3 3,)(个个盒盒子子里里去去只只球球随随机机地地放放入入将将nNNn 试求每个盒子至多有一只球的概率试求每个盒子至多有一只球的概率
11、(盒子容量不限盒子容量不限).解解,个个盒盒子子中中去去只只球球放放入入将将Nn因每一只因每一只,个个盒盒子子中中的的任任一一盒盒子子球球都都可可以以放放入入 N故共有故共有,种种不不同同的的放放法法nNNNN 而每个盒子而每个盒子种种中中至至多多放放一一只只球球共共有有)1()1(nNNN不同放法不同放法.因而所求的概率为因而所求的概率为p nNnNNN)1()1(nnNNA说明说明：许多问题和本例有相同数学模型：许多问题和本例有相同数学模型.生日问题生日问题假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年365天中任一天是等可天中任一天是等可能的能的,即都等于即都等于1/365,)365(个个人人
12、那那么么随随机机选选取取 n他他们的生日各不相同的概率为们的生日各不相同的概率为nn365)1365(364365 因而因而,相相同同的的概概率率为为个个人人中中至至少少有有两两人人生生日日n生日问题生日问题p nn365)1365(3643651 我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果计算可得下述结果:人数人数至少有两人生日相同的至少有两人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.970
13、37357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900 64 个人的班级里，生日
14、各不相同的概率为个人的班级里，生日各不相同的概率为.365)164365(364365641 p至少有至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为64365)164365(3643651 p.997.0 在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,种种 knDNkD于是所求的概率为于是所求的概率为.nNknDNkDp解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,种种 nN?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少问其中恰有问其中恰有件件今从中任取今从中任取件次品件次品其中有其中有件产品件产品设有设有DkknD
15、N 4例例例例5,只只白白球球袋袋中中有有a,只只红红球球b个个人人依依次次在在k袋中取一只球袋中取一只球,(1)作放回抽样作放回抽样;(2)作不放回抽样作不放回抽样,的的概概率率记记为为事事件件人人取取到到白白球球求求第第)(),2,1(Bkii).(bak 解解(1)放回抽样的情况放回抽样的情况,显然有显然有)(BP(2)不放回抽样的情况不放回抽样的情况.各人取一只球各人取一只球,每种取法是每种取法是一个基本事件一个基本事件.)1()1)(kbababa共有共有,个基本事件个基本事件kbaA 且由于对称性知每个基本事件且由于对称性知每个基本事件.baa 发生的可能性相同发生的可能性相同.,
16、发生时发生时当事件当事件B人人取取的的应应第第i是白球是白球,只只白白球球中中的的任任一一只只它它可可以以是是 a.种取法种取法有有a只只球球中中只只球球可可以以是是其其余余其其余余被被取取的的11 bak,1只只中中的的任任意意 k共有共有1)1(1)2)(1(kbababa 11 kbaA种取法种取法,11个个基基本本事事件件中中包包含含于于是是 kbaAaB故根据故根据(4.1)式得到式得到)(BP kbakbaAAa 11 baa,)(无无关关与与值值得得注注意意的的是是iBP,个个人人取取球球即即k尽管尽管取球的先后次序不同取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一样各人取到白球的概
17、率是一样的的,大家机会相同大家机会相同(例如在购买福利彩票时例如在购买福利彩票时,各人得各人得奖的机会是一样的奖的机会是一样的).另外值得注意的是放回抽样与另外值得注意的是放回抽样与.)(是是一一样样的的不不放放回回抽抽样样的的情情况况下下BP例例6 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少?设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为).(BAP)()(BAPBAP)(1BA
18、P ).()()(1ABPBPAP 解解,33462000333 因因为为,2000333)(AP所所以以,8424200083 由于由于.200083)(ABP得得于是所求概率为于是所求概率为)(BAP 200083200025020003331)()()(1ABPBPAP .43.2000250)(BP故得故得,25082000 由于由于例例7 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1)每一个班每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优名优秀
19、生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少?解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数:55510515.!5!5!5!15(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.)!4!4!4()!12!3(种种 因此所求概率为因此所求概率为!5!5!5!15!4!4!4!12!31 p.9125(2)将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.!5!5!2!12种种因此因此3名优秀生分配在同一个
20、班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有,)!5!5!2()!123(种种 因此所求概率为因此所求概率为!5!5!5!15!5!5!2!1232 p.916 例例8 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周
21、日.712种种12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有.212种种121272 p.3000000.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域，并且并且任意一点
22、落在度量任意一点落在度量(长度长度、面积面积、体积体积)相同的相同的子区域是等可能的子区域是等可能的，则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为.)(SSAPA 说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型就归结为几何概型.三、几何概型三、几何概型.),(几何概型几何概型定的概率称为定的概率称为量来合理规量来合理规这样借助于几何上的度这样借助于几何上的度区域的度量区域的度量的子的子是构成事件是构成事件是样本空间的度量是样本空间的度量其中其中ASSA 那么那么.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为,tyx 例例7 甲
23、、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在预在预定地点会面定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t(t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针的针,试求试求针与某一平行直线相交的概率针与某一平行直线相交的概率.解解,直线的距离直线的距离到最近的一条平行到最近的一条平行针的中点针的中点表示针投到平面上时表示针投到平面上时以以Mxax M.夹角夹角表示针与该平行直线的表示针与该平行直线的.),(完全确定完全确定置可由置可由那么针落在平面上的位那么针落在平面上的位 x蒲丰资料蒲丰
24、资料ax M矩形区域矩形区域果与果与投针试验的所有可能结投针试验的所有可能结0,20),(axxS.中的所有点一一对应中的所有点一一对应由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.中的点满足中的点满足发生的充分必要条件为发生的充分必要条件为针与某一平行直线相交针与某一平行直线相交所关心的事件所关心的事件SA.0,sin20 bxo的面积的面积的面积的面积SGSGAP )()()(2dsin20 ab .22abab o蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义2)(abAP 那么那么的近似值代入上式的近似值代入上式作为作为即可即可则频率值则频率值的次数
25、的次数测出针与平行直线相交测出针与平行直线相交很大时很大时当投针试验次数当投针试验次数根据频率的稳定性根据频率的稳定性,)(,APnmmn2abnm.2ambn.的近似值的近似值利用上式可计算圆周率利用上式可计算圆周率历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果(直线距离直线距离a=1)3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.15962532
26、50000.81850Wolf相交次数相交次数投掷次数投掷次数针长针长时间时间试验者试验者的近似值的近似值利用利用蒙特卡罗蒙特卡罗(Monte Carlo)法法进行计算机模拟进行计算机模拟.85.0,1 ba取取单击图形播放单击图形播放/暂停暂停 ESCESC键退出键退出最简单的随机现象最简单的随机现象古典概型古典概型 古典概率古典概率样本点总数样本点总数所包含样本点的个数所包含样本点的个数AnmAP )(几何概型几何概型试验结果试验结果连续无穷连续无穷四、小结四、小结蒲丰资料蒲丰资料Born:7 Sept.1707 in Montbard,Cte dOr,FranceDied:16 Apr.1788 in Paris,FranceGeorges Louis Leclerc Comte de Buffon 选择选择=结果结果汇报结束汇报结束 谢谢观看谢谢观看！欢迎提出您的宝贵意见！欢迎提出您的宝贵意见！
