1、第四讲 机械能动能定理 1，2，3，4，5，6机械能守恒 7，8，9，10天体运动、引力势能 MmEGr 11，12，13，14，15 1。水桶中有深度为H的水，水桶的底部有半径为r的圆孔，把孔塞拔掉后，圆孔处水流初速v是多少？解：研究厚度为x的薄层水，设221vxsxsgHgHv2（同落体）2.rs由动能定理 2。跳水运动员从高于水面H=10 m的跳台落下假如运动员质量为m=60kg其体形可等效为长度L=1.0m，直径d=0.30m的圆柱体，不计空气阻力运动员入水后，水的等效阻力F作用于圆柱体的下端面，F的数值随入水深度y变化的函数图像如图所示，该曲线可近似地看作为椭圆的一部分，该椭圆的长、
2、短轴分别与坐标轴oy和oF重合椭圆与y轴相交于y=h与F轴相交于F=(52)mg处了确保运动员的安全，试计算水的深度至少应为多深?(水的密度=1.0l03kgm3)y解：设运动员起跳时为初状态，入水后到达最深处时为末状态初、末状态动能都是零，整个过程中有三个力做功，重力做功为WG，水的浮力做功为Wf，水的阻力做功为WF，由动能定理可知GfFWWW0（1）GWmg(Hh)（2）222f11d1WL()gLL d g228 （3）运动员从B运动到C时，水的浮力均匀增大，做的功为设水深为h，则BCD10mhLd将（2）、（3）、（4）、(5)式代入（1）式，可解得222mH(1 8)L dh4.9(
3、m)(5 8)m(1 4)Ldm从C到D，浮力做的功为2f21WLd(hL)g4 （4）F1 55Wmghmgh4 28 （5）水的阻力做功为图中曲线下的面积 3。如图，绳长l，将小球拉至绳水平状态后让其自由下落，求小球能获得的最大的竖直速度解1：cos21sin2vvmvmgly22cossin2glvy求极值。用高等数学0sincos2cos,cossin232zz21tan2,)22(tan1也可以用初等数学来求极值，请同学们考虑。解2：当 0yF时yv有极大值.mgTlmvmgTmvmglsin/sin21sin22,vTcosmax vvy 4轴的质量为m、半径为r的轻轮，其轴上系有
4、绳子，在轮子所在的平面内沿水平方向拉绳，轮子沿栅栏无跳动地滚动，栅栏由彼此间距为l的平行的水平细杆构成，（lnkmg。2112Fkmg dmv212vFf dm解：机车启动后经d路程，有：令 f=kmg得：222012011222vvvFf dm22220222vvFf dm车厢被带动可视为完全非弹性碰撞，车厢1被带动的速度记为v20，有：故于是223023022439vvvv222021222221211nvFf dFf dnmnmnFnf dnnm2222222212121212nFdnfdmmnnnnnn以此类推，得：故011213nnFvdnkgnm评析评析：倒车启动的好处不言而喻，大
5、家可以试一试若F=30kmg，那么倒车后可拉动多少车厢？(开动后阻力迅速减小)10玩具列车由许多节车厢组成，它以恒定速度沿水平轨道行驶，进入“死圈”，列车全长为L，圈半径为R，但L2R，问列车应具有多大初速度，才能不让任何一节车厢脱轨。(1)设列车的“线密度”为，则由机械能守恒有(2)不难判断轨道顶部的车厢最容易脱离轨道该车厢受力如图所示，两个T是两边其它车厢对它的拉力将代入，有(3)用虚功原理求T对左半侧或右半侧的列车来说，移动一小段s，T做的功是Ts，效果是使s长的车厢升高2R高度，因而有gRT2Tss 2R g gRv32LRgRv430可解得评析：本题有二个要点：（1）分析顶点，（2）
6、虚功 求力。11从地球表面以第一宇宙速度朝着与竖直方向成角的方向发射一抛射体，忽略空气阻力和地球转动的影响，试问抛射体能上升多高？设地球半径为。解：第一宇宙速度 0GMvR，其机械能：201022MmMmEmvGGRR 所以以 0v向任何方向都不可能飞离地球，只 能以地心为焦点作椭圆运动，由开普勒第二定律：0maxsinBv Rv r得：0maxmaxsinsinBv RGMRvrr0maxmaxsinsinBv RGMRvrr2max1:22BMmMmCOEmvGGrR 代入 maxr上升高度(1 cos)(1 cos)RR舍上升高度 maxcosrRR 12质量为m1和m2的两质点相距为l
7、，从静止开始，由于万有引力作用而相向运动，试求从开始运动直到相遇所需的时间。解：在宇宙空间参照系中研究m1，在m1参照系中研究m2由此可见，m2相对m1的运动等同于一个质量为m1+m2的力心不动时的情况，可认为m2运动的直线轨迹是一个退化的椭圆(a=c，b=0)，有2a=l由开普勒第三定律有203023TrTa因为，所以即 评析：本题巧妙地利用了退化的思路，迂回解决了问题。13以第一宇宙速度发射(垂直向上发射)的导弹经一段时间后在离发射点不远处返回地面，计算导弹在空中飞行的时间，地球半径 R=6400km。解：第一宇宙速度即环绕速度机械能守恒：由上两式可解得：因为是竖直向上抛射，所以b很小，椭
8、圆退化为一根直线，即a=R(焦点在地心O点)。在物体抛射到返回地面的整个过程中，物体与地心O的连线扫过的面积为而面积速度(即单位时间里扫过的面积)因此22CABeC A 14某国发射一颗周期T0=1天的不用动力飞行的卫星，其轨道平面为赤道平面，容易理解，如图，若卫星取一椭圆轨道，那么它相对地心的角速度便不是定值，与地面上的参考点之间会发生相对运动，假设该国仅拥有经度范围为2的赤道领空，那么发射者就必须将卫星轨道的偏心率e限制在一个很小的范围内，以保证卫星不离开本国领空，设椭圆的半长轴为A，半短轴为B，则有 ，试确定e的最大可能值。解：如图所示，卫星的角速度有时比地球快有时比地球慢，设卫星在C和
9、C点时和地球角速度相同，都为c，那么在C和C点右边的轨道上卫星的角速度都小于c(1)在1位置有将C=eA代人，并用(1一e)n=1ne的近似公式，可得，如果卫星在C点时OC和地球上的OB重合，那么此后OA将追逐OC，直到卫星到C时OA和OC重合只要AOB=2o，便符合题意C是地球的角速度2(2)由解析几何的知识可知：从焦点到椭圆上横坐标为x的点的距离r=A+ex。再用开普勒第三定律因为 故 ABCC 可看作矩形，图中阴影部分面积1e卫星从C经过2到 C的时间，由上式可得地球从OB和OC重合转到OA和OC/重合的时间故而可以解得3e8.7 104此值即e的最大值。15从北极发射一导弹，落在赤道上
10、(经历纬度90o)。求能量最省的发射速度。引力常数6.6710-11 m3/(kgs2)，地球半径Re=64106m，地球质量Me=601024kg。忽略空气阻力。分析与解分析与解 如图所示，图中A点是北极发射点，B点为导弹落地点，在赤道上。导弹在地球外部空间的轨道是椭圆轨道的一部分。根据对称性，椭圆长轴MN是直角的角平分线。导弹在地球引力场中按椭圆轨道运动，机械能为 amMGEe2 为使能量取最小值，应取最小的半长轴值。设椭圆轨道的两焦点在F1和F2处，其中F1必在地球中心。因北极发射点A在椭圆轨道上，依椭圆的性质，有关系aAFAF221其中 ，所以只有当 取最小值时，才是最小值。在MN上的F2满足 时，AF2即为最小值。由图中可知，RAF 12AF212FFAF 2221222cCcRRRa2241cRa22422212ceeccARmMGamMGRmMGmv解得 1222eeARGMv所以能量最省的发射速度为 秒米3min1020.7122eeRGMv利用A点处机械能的表达式
