1、数值变量的统计描述数值变量的统计描述频数分布频数分布集中趋势描述集中趋势描述离散趋势描述离散趋势描述2频数分布3频数表频数表n频数表频数表(frequency table)：n相同观察值或观察结果出现的次数称为频数相同观察值或观察结果出现的次数称为频数n观察值及其相应的频数按一定顺序排列的表格即观察值及其相应的频数按一定顺序排列的表格即频数表频数表n可用手工和计算机软件（如可用手工和计算机软件（如SAS、SPSS等）方便等）方便制作频数表。制作频数表。4离散型数值变量的频数分布离散型数值变量的频数分布例3-1 1998年某山区96名孕妇产前检查次数资料如下：0，3，2，0，1，5，6，3，2，
2、4，1，0，6，5，1，3，3，4，7等共96个数值51998年某地96名妇女产前检查次数分布检查次数频数频率(%)累计人数累计频率(%)（1）（2）（3）（4）（5）044.244.2177.31111.521111.52222.931313.53536.542627.16163.552324.08487.551212.596100.0合计961006频数分布图频数分布图(frequency graph)图3-1图 2-1 某 地 96名 妇 女 产 前 检 查 次 率 分 布0510152025300123455产 前 检 查 次 数频率(%)7n例例3-2 从某单位从某单位1999年的职
3、工体检资料年的职工体检资料中获得中获得101名正常成年女子的血清总胆固名正常成年女子的血清总胆固醇（醇（）的测量结果如下，试编制）的测量结果如下，试编制频数分布表。频数分布表。mmol/L连续型定量变量的频数分布连续型定量变量的频数分布82.35 4.21 3.32 5.35 4.17 4.13 2.78 4.26 3.58 4.34 4.84 4.41 4.78 3.95 3.92 3.58 3.66 4.28 3.26 3.50 2.70 4.61 4.75 2.91 3.91 4.59 4.19 2.68 4.52 4.91 3.18 3.68 4.83 3.87 3.95 3.91 4
4、.15 4.55 4.80 3.41 4.12 3.95 5.08 4.53 3.92 3.58 5.35 3.84 3.60 3.51 4.06 3.07 3.55 4.23 3.57 4.83 3.52 3.84 4.50 3.96 4.50 3.27 4.52 3.19 4.59 3.75 3.98 4.13 4.26 3.63 3.87 5.71 3.30 4.73 4.17 5.13 3.78 4.57 3.80 3.93 3.78 3.99 4.48 4.28 4.06 5.26 5.25 3.98 5.03 3.51 3.86 3.02 3.70 4.33 3.29 3.25 4
5、.15 4.36 4.95 3.00 3.26 9频数表编制步骤频数表编制步骤n1.求极差求极差:n极差（极差（range）也称全距，即最大值和最小）也称全距，即最大值和最小值之差，记作值之差，记作R。n本例本例:5.712.353.36(mmol/L)R 10 n2.定组数：定组数：n以原始资料变量值个数组段数来确定组数，当以原始资料变量值个数组段数来确定组数，当n100n 中位数为多少中位数为多少?37计算计算n公式公式:n n为奇数时为奇数时 n nn为偶数时为偶数时 n特点：仅仅利用了中间的特点：仅仅利用了中间的12个数据个数据1()2nMX()(1)2212nnMXX387名病人患某
6、病的潜伏期分别为名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其天，求其中位数中位数。n本例本例n=7,为奇数为奇数 n例例2-7 8名患者食物中毒的潜伏期分别为名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。小时，求其中位数。n本例本例n=8,为偶数为偶数 7 14()25()MXX天8845()(1)22111354()222MXXXX小时39应用应用n1、各种分布各种分布类型的资料类型的资料n2、特别是、特别是偏态分布偏态分布资料和资料和开囗资料开囗资料（一端或两端无（一端或两端无确切数值的资料）。确切数值的资料）。40（二）百分位数（二）百
7、分位数n百分位数（百分位数（percentile）是一种位置指标，）是一种位置指标，用用 来表示。来表示。n把一组观察值从小到大排列，分为把一组观察值从小到大排列，分为100等等份，与份，与x%x%位次所对应的数值即为第百分位次所对应的数值即为第百分之之x x位数。位数。n一个百分位数一个百分位数 将全部变量值分为两部将全部变量值分为两部分，在不包含分，在不包含 的全部变量值中有的全部变量值中有 的变量值比它小，的变量值比它小，变量值比变量值比它大。它大。XPXP%X(100)%XXP411、直接计算法 n 设有x个原始数据从小到大排列，第x百分位数的计算公式为：nPxx%(n+1)422、频
8、数表法、频数表法值间的频数所在组段下限值至上限至该下限值的累计频数组距所在组段下限值)%(xnPx下限值下限值L上限值上限值Ui;fx百分位数百分位数Px)%(Lfxn43n公式：公式：(%)XXXLXiPLnXff式中XL、Xi和Xf分别为第X百分位数所在组段 的下限、组距和频数，Lf为小于XL各组段的累计频数，n 为总例数。44 n当当X%=50%时，即为中位数的计算公式时，即为中位数的计算公式50505050()2LinMPLff45某地某地118名链球菌咽喉炎患者的潜伏期频数表见名链球菌咽喉炎患者的潜伏期频数表见表第表第(1)、(2)栏，试分别求中位数及第栏，试分别求中位数及第25、第
9、、第75百分位数。百分位数。46 5012 11848(53)51()242MP天251236(118 25%21)39.2()32P 天751260(118 75%77)67.7()18P 天47四四.众数（众数（mode）n出现次数（或频数）最多的观察值；在出现次数（或频数）最多的观察值；在频数分布图中对应于高峰所在位置的观频数分布图中对应于高峰所在位置的观察值，众数可以不只一个。适用于大样察值，众数可以不只一个。适用于大样本，较粗糙。本，较粗糙。48频数分布图频数分布图(frequency graph)图3-1图 2-1 某 地 96名 妇 女 产 前 检 查 次 率 分 布051015
10、2025300123455产 前 检 查 次 数频率(%)49均数、中位数、众数三者关系均数、中位数、众数三者关系n正态分布时：均数中位数众数均数中位数众数n正偏态分布时：均数均数中位数中位数众数众数n负偏态分布时：均数均数中位数中位数众数众数5051第二节第二节 离散趋势的描述离散趋势的描述n反映数据的离散度（反映数据的离散度（Dispersion）。即个）。即个体观察值的变异程度。常用的指标有：体观察值的变异程度。常用的指标有：n 极差极差(Range）(全距全距)n四分位数间距四分位数间距 Quartile range QRn方差方差 Variancen标准差标准差Standard De
11、viationn变异系数变异系数 Coefficient of Variation52三组同龄男孩的身高值三组同龄男孩的身高值(cm)甲组：90 95 100 105 110 100cmX甲 乙组：96 98 100 102 104 100cmX乙 丙组：96 99 100 101 104 100cmX丙 53一、极差一、极差极差，用极差，用R表示：即一组变量值最大值与表示：即一组变量值最大值与最小值之差。最小值之差。1109020cmR甲104968cmR 乙104968cmR丙甲组：90 95 100 105 110 100cmX甲 乙组：96 98 100 102 104 100cmX乙
12、 丙组：96 99 100 101 104 100cmX丙 54n优点：简便优点：简便n缺点：缺点：n只利用了两个极端值，极差不能反映所有数只利用了两个极端值，极差不能反映所有数据的变异大小。据的变异大小。n受样本含量的影响较大，受样本含量的影响较大，n大，大，R也会大。也会大。n极差的抽样误差较大，其稳定性较差。极差的抽样误差较大，其稳定性较差。n适用适用n常应用资料的粗略分析和小样本数据。常应用资料的粗略分析和小样本数据。55二、四分位数间距二、四分位数间距 n四分位数间距，用四分位数间距，用Q表示：表示：nQ=n下四分位数：下四分位数：n上四分位数：上四分位数：2575PP 25LQP7
13、5UQP56n四分位数间距包括了全部观察值中居于四分位数间距包括了全部观察值中居于中间水平的一半，所以可看成中间一半中间水平的一半，所以可看成中间一半观察值的极差，比极差稳定。观察值的极差，比极差稳定。Q越大，越大，说明变异度越大。说明变异度越大。n它一般和中位数一起描述偏态分布资料它一般和中位数一起描述偏态分布资料的平均水平和变异程度。的平均水平和变异程度。n应用计算医学参考值范围。应用计算医学参考值范围。57 n已知已知P25=39.2，P75=67.7，计算，计算118名链球名链球菌咽喉炎患者潜伏期的四分位数间距。菌咽喉炎患者潜伏期的四分位数间距。nQ67.7-39.228.5（天）（天
14、）58三、方差与标准差三、方差与标准差n 1、方差（方差（variance）也称均方差（）也称均方差（mean square deviation），反映一组数据的平均离散），反映一组数据的平均离散水平。水平。NXXlSSXxx222)-()-()square of sum(0)-(总体方差离均差平方和离均差和11)(2222nnXXnXXS样本方差59n2、n公式：公式：n在实际工作中很难得到总体均数和总例数在实际工作中很难得到总体均数和总例数n样本标准差用样本标准差用 表示表示 n公式：公式：总体标准差用表示 2()XNS2()1XXSn60 n标准差的公式还可以写成标准差的公式还可以写成：
15、n利用频数表计算标准差的公式为利用频数表计算标准差的公式为22()1XXnSn22()1fXfXfSf61样本方差为什么要除以（样本方差为什么要除以（n1）n与自由度（与自由度（degrees of freedom,dfdegrees of freedom,df）有关。）有关。n自由度是数学名词，在统计学中，自由度是数学名词，在统计学中，n n个数据如不受个数据如不受任何条件的限制，则任何条件的限制，则n n个数据可取任意值，称为有个数据可取任意值，称为有n n个自由度。计算标准差时，个自由度。计算标准差时，n n个变量值本身有个变量值本身有n n个自由度。在样本均数的一定的情况下，只有（个自
16、由度。在样本均数的一定的情况下，只有（n n1 1）个观察单位可以任意取值，因此只有（）个观察单位可以任意取值，因此只有（n n1 1）个自由度。个自由度。11)(2222nnXXnXXS样本方差62计算三组资料的标准差。计算三组资料的标准差。n甲组：甲组：5,9095 100 105 110500nX222222909510010511050250X2(500)5025057.91(cm)5 1S同理得：乙组：3.16(cm)S，丙组：2.92(cm)S。63 例 2-13 计算表2 1中101名正常成年女子的血清总胆固醇(mmol/L)的标准差。组组 段段(1)频数频数(f)(2)组中值组
17、中值(X)(3)fx(4)fx2(5)2.3012.452.45 6.00 2.6032.758.25 22.69 2.9063.0518.30 55.82 3.2083.3526.80 89.78 3.50173.6562.05 226.48 3.80203.9579.00 312.05 4.10174.2572.25 307.06 4.40124.5554.60 248.43 4.7094.8543.65 211.70 5.0055.1525.75 132.61 5.3025.4510.90 59.41 5.605.90 15.755.75 33.06 合 计101409.75 1705.
18、09 64 2101,409.75,1705.09ffXfX 2(409.75)1705.091010.654(mmol/L)101 1S65标准差的应用标准差的应用n标准差是反映数据变异程度的指标，其大小受标准差是反映数据变异程度的指标，其大小受每一个观察值的影响，变异程度大，标准差也每一个观察值的影响，变异程度大，标准差也大。各观察值同加（或减）一个不为零的常数，大。各观察值同加（或减）一个不为零的常数，标准差仍保持不变；但每一个观察值同乘（或标准差仍保持不变；但每一个观察值同乘（或除）一个不为零的常数，其标准差等于原标准除）一个不为零的常数，其标准差等于原标准差乘（或除）以该常数的绝对值
19、。差乘（或除）以该常数的绝对值。n常用于描述对称分布，尤其是正态分布资料的常用于描述对称分布，尤其是正态分布资料的离散程度。离散程度。n可以反映样本均数的代表性。可以反映样本均数的代表性。n可用于标准误、变异系数等统计指标的计算。可用于标准误、变异系数等统计指标的计算。66四、变异系数四、变异系数 CVSX100%n变异系数变异系数(coefficient of variation)n适用条件适用条件：n观察指标单位不同，如身高、体重观察指标单位不同，如身高、体重n同单位资料，但均数相差悬殊同单位资料，但均数相差悬殊67 某地某地7岁男孩身高的均数为岁男孩身高的均数为123.10cm，标准差，
20、标准差为为4.71；体重均数为；体重均数为22.59kg，标准差为，标准差为2.26kg,比较其变异度？比较其变异度？体重 2.26100%10.14%22.29CV 身高 4.71100%3.83%123.10CV （观察指标单位不同）68均数相差较大时：均数相差较大时：某地区不同年龄男子身高（cm）的变异程度 年年龄龄组组 人人数数 均均数数 标标准准差差 C CV V(%)3 3-3 3.5 5 岁岁 1 10 00 0 9 96 61 1 3 3.1 1 3 3.2 2 3 30 0-3 35 5 岁岁 1 10 00 0 1 17 70 02 2 5 50 0 0 03 3 69n变
21、异系数变异系数CV还是衡量精密度和稳定性的还是衡量精密度和稳定性的常用指标，变异系数小，各次测定结果常用指标，变异系数小，各次测定结果距离均值愈近，说明测定方法的精密度距离均值愈近，说明测定方法的精密度高，稳定性好。高，稳定性好。70准确度与可靠度准确度与可靠度n准确度准确度(accuracy)或真实性（或真实性（validity）：观察值与观察值与真值真值的接近程度，受的接近程度，受系统误差系统误差的影的影响响(常用指标：如灵敏度、特异度常用指标：如灵敏度、特异度)。n可靠度（可靠度（reliabiliy）也称精密度也称精密度(precision)或重复性（或重复性（repeatabilit
22、y）：重复观察时重复观察时观察值观察值与其均值与其均值的接近程度，受的接近程度，受随机误差随机误差的影响（常用指标：一致百分率、的影响（常用指标：一致百分率、Kappa值）。值）。71 准确度和准确度和可靠可靠度都好度都好 准确度差、准确度差、可靠可靠度好度好 准确度？、准确度？、可靠可靠度差度差 准确度和准确度和可靠可靠度都差度都差 72小结小结1.为了解定量变量的分布规律，可编制频数表并绘制频为了解定量变量的分布规律，可编制频数表并绘制频数分布（或频率分布）图，用于描述资料的分布特征数分布（或频率分布）图，用于描述资料的分布特征（集中趋势与离散趋势），以及分布类型（对称或偏（集中趋势与离散
23、趋势），以及分布类型（对称或偏峰）。峰）。2.描述性统计量可以用来定量地刻画统计分布的特征。描述性统计量可以用来定量地刻画统计分布的特征。常用的描述性统计量有两类：描述集中趋势的算术均常用的描述性统计量有两类：描述集中趋势的算术均数、几何均数、中位数；描述离散趋势的极差、四分数、几何均数、中位数；描述离散趋势的极差、四分位数间距、方差、标准差和变异系数。位数间距、方差、标准差和变异系数。3.百分位数是一种位置参数，既可用来描述集中趋势百分位数是一种位置参数，既可用来描述集中趋势（P50），又可用来描述离散趋势（），又可用来描述离散趋势（P75-P25）。可用于）。可用于各种连续型分布。各种连续
24、型分布。73第四节第四节 正态分布（正态分布（normal distribution）图2-4 频数分布逐渐接近正态分布示意74正态分布正态分布:又称为又称为Gauss分布（分布（Gaussian distribution）。高斯）。高斯德国数学家德国数学家 n设想当原始数据的频数分布图的观察人设想当原始数据的频数分布图的观察人数逐渐增加且组段不断分细时，图中的数逐渐增加且组段不断分细时，图中的直条就不断变窄，其顶端则逐渐接近于直条就不断变窄，其顶端则逐渐接近于一条光滑的曲线。一条光滑的曲线。这条曲线形态呈钟形，这条曲线形态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，近似于数两头低、中间高，左右对称，近
25、似于数学上的正态分布学上的正态分布。在处理资料时，我们。在处理资料时，我们就把它看成是就把它看成是正态分布正态分布。75一、正态分布的概念和特征一、正态分布的概念和特征n1正态分布曲线的数学函数表达式正态分布曲线的数学函数表达式 n如果随机变量如果随机变量 的分布服从概率密度函数的分布服从概率密度函数X则称X服从正态分布，记作2(,)XN，为X的总体均数，2为总体方差。762正态分布的特征正态分布的特征（2）在X处，()f X取最大值，其值为()12f；X越远离，()f X值越小。（1）在直角坐标上方呈钟型曲线，两端与X轴永不相交，且以X为对称轴，左右完全对称。（3）正态分布有两个参数，即位置
26、参数和形态参数。若固定，改变值，曲线沿着X轴平行移动，其形状不变（见图2-5）。若固定，越小，曲线越陡峭；反之，越大，曲线越平坦（见图2-6）。7700.10.20.30.40.5-4-3-2-101234 图 2-5 正态分布位置变换示意图 7800.10.20.30.40.50.60.70.80.9-6-5-4-3-2-10123456=0.5=1=2 图 2-6 正态分布形态变换示意图 79（4）正态曲线下的面积分布有一定的规律。）正态曲线下的面积分布有一定的规律。n对公式积分对公式积分:22()21()2XXF XedX80正态曲线下面积的计算正态曲线下面积的计算图图1中阴影部分反映了
27、中阴影部分反映了(-，x)的面积，计算方法如下：的面积，计算方法如下：图图2中阴影部分（代表任意区中阴影部分（代表任意区间）的面积，理论上可以如间）的面积，理论上可以如下计算：下计算：xab xxdxexF222)(21)(baxdxeaFbF22221 )()()(正态分布的正态分布的分布函数分布函数81X轴与正态曲线所夹面积恒等于1或100%；区间的面积为68.27%区间96.1的面积为95.00%，区间58.2的面积为99.00%。见图27。82图 2-7 正态曲线面积分布示意图 83一般正态分布曲线下的面积一般正态分布曲线下的面积n对于一般的正态分布 N(,2)，其曲线下（-,x）区间
28、的面积除与x有关外，还与 和 有关。即不同的正态曲线，由于其位置和形状不同，同一区间内的面积是不同的。84二、标准正态分布二、标准正态分布n=0、1的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布(standard normal distribution)，亦称，亦称u或或Z分布，记作分布，记作uN(0,1)，其概率密度函，其概率密度函数为数为:2221)(ueu85正态分布是一个分布族，对应于不同的参数和会产生不同位置、不同形状的正态分布。为了应用方便，令:Xu 221()2uue，u 标准正态变换86x N(,2)u N(0,1)标准正态变换标准正态变换标准正态分布与一般正态分布的关系
29、标准正态分布与一般正态分布的关系:)8.0,1(2 N)2.1,1(2N)1,0(2N87标准正态分布示意图88标准正态曲线下的面积计算标准正态曲线下的面积计算n对于标准正态分布，其分布函数记为 即标准正态曲线下（-,u）的面积，其大小随u的变化而变化。n为了应用方便，统计学家按 编制了标准正态分布曲线下的面积分布表(简称 u 值表)，可以根据u值查表得到区间（-,u）的面积。dueuuu2221 )(u890.00.10.20.30.40.5-4-3-2-101234Xf(X)u-9091n曲线下横轴上方的总面积为100 或1；n附表仅列出了标准正态曲线下-到u的面积；n标准正态曲线下对称于
30、0的区间其面积相等，如 和 的面积相等，即 。(,)u 应用应用u界值表时应注意：界值表时应注意：(,)u)(1)(uu92正态分布的应用正态分布的应用n正态分布除了可估计频数分布外，还是许多统正态分布除了可估计频数分布外，还是许多统计方法的基础，并可应用于质量控制及制定医计方法的基础，并可应用于质量控制及制定医学参考值范围。学参考值范围。n正态分布是统计学原理和统计分析方法的基础。正态分布是统计学原理和统计分析方法的基础。n经变量转换成正态分布，按正态分布处理。经变量转换成正态分布，按正态分布处理。93第五节第五节 医学参考值范围的制定医学参考值范围的制定一、基本概念一、基本概念 医学参考值
31、医学参考值（reference value）是指包）是指包括绝大多数正常人的人体形态、机能和代谢产括绝大多数正常人的人体形态、机能和代谢产物等各种生理及生化指标常数，也称正常值，物等各种生理及生化指标常数，也称正常值，容许区间，预测区间容许区间，预测区间由于存在个体差异，生物医学数据并非常数而是由于存在个体差异，生物医学数据并非常数而是在一定范围内波动，故采用在一定范围内波动，故采用医学参考值范围医学参考值范围（medical reference range）作为判定正常）作为判定正常和异常的参考标准。和异常的参考标准。94 医学参考值范围涉及到采用单侧医学参考值范围涉及到采用单侧界值还是双侧
32、界值的问题，这通常依界值还是双侧界值的问题，这通常依据医学专业知识而定。据医学专业知识而定。n双侧双侧:n血清总胆固醇无论过低或过高均属异常血清总胆固醇无论过低或过高均属异常n白细胞数无论过低或过高均属异常白细胞数无论过低或过高均属异常n单侧单侧:n1、血清转氨酶仅过高异常、血清转氨酶仅过高异常 n2、肺活量仅过低异常、肺活量仅过低异常 95 n 医学参考值范围有医学参考值范围有 、等，最常用的为等，最常用的为 。n计算医学参考值范围的常用方法：计算医学参考值范围的常用方法：n1、正态分布法、正态分布法n2、百分位数法百分位数法90%95%99%95%96二、方法二、方法n1、正态分布法：正态
33、分布法：n 许多生物医学数据服从或近似服从正许多生物医学数据服从或近似服从正态分布，如同年龄同性别儿童的态分布，如同年龄同性别儿童的身高值身高值、体重值体重值，同性别健康成人的，同性别健康成人的红细胞数红细胞数等；等；n 有些医学资料虽然呈偏态分布，但若有些医学资料虽然呈偏态分布，但若能通过适当的能通过适当的变量变换变量变换转换为正态分布，转换为正态分布，也可采用正态分布法制定参考值范围。也可采用正态分布法制定参考值范围。97 n适用：适用：正态分布资料正态分布资料98 n公式：公式：双侧1参考值范围：/2XuS 单侧1参考值范围：Xu SXu S或 式中X为均数，S为标准差，u值可由表 2-
34、6 查出。99表 2-6 u界值表 参考值范围（%）单 侧 双 侧 80 90 95 99 0.84 1.28 1.64 2.33 1.28 1.64 1.96 2.58 100例 2-15 估计例 2-1某单位 101名正常成年女子血清总胆固醇的95%参考值范围。因血清总胆固醇过多或过少均为异常，故按双侧估计正常成年女子血清总胆固醇的95%参考值范围。已知血清总胆固醇均数4.06mmol/LX，0.654mmol/LS，0.05 21.96u，故 下限：24.06 1.96 0.6542.78(mmol/L)XuS；上限：24.06 1.96 0.6545.34(mmol/L)XuS。101
35、2、百分位数法百分位数法n适用：适用：各种分布资料各种分布资料特别是偏态分布资料特别是偏态分布资料 102 n公式：公式：双侧1参考值范围：2/1001002/100PP103单侧1参考值范围：100P或100 100P 104 例例2-17 测得某年某地名正常人的尿汞值如测得某年某地名正常人的尿汞值如下表，试制定正常人尿汞值的参考值范围。下表，试制定正常人尿汞值的参考值范围。n 表 2-7 某年某地282名正常人尿汞值（g/L）测量结果 尿 汞 值 频 数 f 累计频数f 累计频率（%）0 45 45 16.0 8.0 64 109 38.6 16.0 96 205 72.7 24.0 38 243 86.2 32.0 20 263 93.3 40.0 11 274 97.2 48.0 5 279 98.9 56.0 2 281 99.6 64.072.0 1 282 100.0 10595958.0(95%)40.0(28295%263)43.6(g/L)11LiPLnff故该地正常人的尿汞值的95%医学参考值范围为43.6(g/L）。正常人的尿汞值为偏态分布，且过高为异正常人的尿汞值为偏态分布，且过高为异常应计算第常应计算第95百分位数百分位数
