1、22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第二十二章 二次函数学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a 0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)与y=ax2(a 0)之间的联系.（难点）导入新课导入新课复习引入1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:(1)y=ax2(2)y=ax2+k(3)y=a(x-h)2yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOO2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？3.把y=-2x
2、2的图像向上平移3个单位y=-2x2+3向左平移2个单位y=-2(x+2)24.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？OXy3-222yx 223yx 2223yx Oy3-2X22yx 222yx 2223yx 讲授新课讲授新课二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质一例1 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.1)1(212xy探究归纳210-1-2-3-4x解:先列表1)1(212xy再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.51 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-
3、3-4-5-10直线x=121(1)12yx 21(1)12yx 开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1)试一试 画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)-22xyO-2468-424二次函数 y=a(x-h)2+k（a 0）的性质 y=a(x-h)2+ka0a0开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标（h,k）（h,k）最值当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k增减性当xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大.当xh时，y随x的增大而减小；xh时
4、，y随x的增大而增大.知识要点22220,000,000hkyaxhkkhyya xhya xhkk aax 顶点式例1.已知二次函数ya(x1)2c的图象如图所示，则一次函数yaxc的大致图象可能是()解析：根据二次函数开口向上则a0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数yaxc的大致图象经过第一、二、三象限故选A.典例精析A例2.已知二次函数ya(x1)24的图象经过点(3，0)(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(mn，y2)(n0)是该函数图象上的两点，当y1y 2时，求m、n之间的数量关系解：(1)将(3，0)代入ya(x1)24，得04a4，解得a1；(2)
5、方法一：根据题意，得y1(m1)24，y2(mn1)24，y1y2，(m1)24(mn1)24，即(m1)2(mn1)2.n0，m1(mn1)，化简，得2mn2；方法二：函数y(x1)24的图象的对称轴是经过点(1，4)，且平行于y轴的直线，mn11m，化简，得 2mn2.方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式例3 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?123123解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中
6、这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是这段抛物线经过点(3,0)，0=a(31)23.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x1)23 (0 x3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.34a=y=(x1)23 (0 x3)34向左平移1个单位二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系二1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-1021(1)12yx 探究归纳怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？1)1(212xy212yx 平移方法1212yx 2112yx 向下平移1个单位1)1(212xy1 2 3 4 5x-1-2-3
7、-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-1021(1)12yx 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？1)1(212xy212yx 平移方法2212yx 向左平移1个单位21(1)2yx 向下平移1个单位1)1(212xy二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k y=a(x-h)2y=a(x-h)2 +k上下平移左右平移上下平移左右平移u平移规律简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.要点归纳1.请回答抛物线y=4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?由抛物线向上平移7个单位再向右平移
8、3个单位得到的.2.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.2312xy21(4)23yx 练一练当堂练习当堂练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,2)向下向下(3,7)(2,6)向上直线x=3直线x=1直线x=3直线x=2(3,5)y=3(x1)22y=4(x3)27y=5(2x)261.完成下列表格:2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是_.23(1)2yx 4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2.3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移
9、1个单位，得到抛物线的解析式为_2323yx 5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.y=a(x-h)2+k课堂小结课堂小结一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的 图 象 和 性 质图象特点当a0,开口向上；当a0时时,向向左左平移平移当当h0)y=ax2(a0)y=a(x-h)2(a0时时,向向右右平移平移h个单位个单位当当h0时时,向向上上平移平移k个单位个单位当当k0向上向上 x=h(h,k)x=h时时,有最小有最小值值y=kxh时时,y随随x的增大而
10、的增大而增大增大.a0向下向下 x=h(h,k)x=h时时,有最大有最大值值y=kxh时时,y随随x的增大而的增大而减小减小.|a|越大开口越小越大开口越小.返回指出下列函数图象的开口方向指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标对称轴和顶点坐标.53212xy 215.02xy 14332xy 52242xy 245.052xy 23436xy开口开口 对称轴对称轴 顶点坐标顶点坐标向上向上直线直线x=3(3,5)向下向下直线直线x=1(1,0)向下向下直线直线x=0(0,1)向上向上直线直线x=2(2,5)向上向上直线直线x=4(4,2)向下向下直线直线x=3(3,0)练习练习1:指出下
11、面函数的开口方向，对称指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。轴，顶点坐标，最值。1)y=2(x+3)2+5 2)y=4(x-3)2+7 3)y=-3(x-1)2-2 4)y=-5(x+2)2-6练习练习2:对称轴是直线对称轴是直线x=-2的抛物线是的抛物线是()A y=-2x2-2 B y=2x2-2 C y=-1/2(x+2)2-2 D y=-5(x-2)2-6C1.抛物线的顶点为抛物线的顶点为(3,5)此抛物此抛物线的解析式可设为线的解析式可设为()Ay=a(x+3)2+5 By=a(x-3)2+5Cy=a(x-3)2-5 Dy=a(x+3)2-52.抛物线抛物线c1的解析式为的
12、解析式为y=2(x-1)2+3抛物线抛物线c2与抛物线与抛物线c1关于关于x轴对称轴对称,请直接写出抛物线请直接写出抛物线c2的的解析式解析式_你答对了吗?1.B 2.y=-2(x-1)2-36.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示的图象如图所示（1）求解析式）求解析式（2）何时）何时 y=3？（3）根据图象回答：）根据图象回答：当当x 时，时，y0。3.二次函数二次函数y=a(x-m)2+2m,无论无论m为何实数为何实数,图象的顶点必在图象的顶点必在()上上A)直线直线y=-2x上上 B)x轴上轴上 C)y轴上轴上 D)直线直线y=2x上上4.对于抛物线对于抛物线y=a
13、(x-3)2+b其中其中a0,b 为常数为常数,点点(,y1)点点(,y2)点点(8,y3)在该抛物线上在该抛物线上,试试比较比较y1,y2,y3的大小的大小35你答对了吗?3.D4.y3 y1 y24.如图所示的抛物线：如图所示的抛物线：当当x=_时，时，y=0；当当x0时，时，y_0；当当x在在 _ 范围内时，范围内时，y0；当当x=_时，时，y有最大值有最大值_.3 0或或-22 x0;解：解：二次函数图象的顶点是二次函数图象的顶点是(1,-1)，设抛物线解析式是设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，其图象过点其图象过点(0,0)，0=a(0-1)2-1，a=1y=(x-1)2-1x20 x0时时 当当a0时时x=h时，时，y有最小值有最小值kx=h时，时，y有最大值有最大值k
