1、1.2 行列式的基本性质与计算行列式的基本性质与计算1.行列式的基本性质行列式的基本性质2.行列式按任一行行列式按任一行(列列)展开展开一、行列式的基本性质一、行列式的基本性质nnnnnnTaaaaaaaaaDD212221212111 定义定义 设设,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 称为称为D的转的转置行列式置行列式对对D行列互换而不改变各行、各列的顺序行列互换而不改变各行、各列的顺序,得得,(1,2,.:)DDiiin是是把把第第 行行换换到到第第 列列注注意意nnnnaaaaaa00022212111性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相
2、等,即即D=D D=a11a22.annnnnnnnaaaaaaaaaD221121222111000 例如例如,性质性质2 互换两行互换两行(列列),行列式改变符号行列式改变符号.注注:由性质由性质1可知可知,行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等地位地位,行列式的性质凡是对行成立的行列式的性质凡是对行成立的,对列对列也成立也成立,反之亦然反之亦然.即即nnnjnjininaaaaaaaa111111jirr nnninijnjnaaaaaaaa111111 又如又如:321321321cccbbbaaa32rr 321321321bbbcccaaa 12rr.321321321bbb
3、aaaccc 推论推论1.1.若行列式若行列式 中某一行中某一行(列列)的所有元素均的所有元素均为零为零,则则 D0.D 证明证明:当第一行元素全为当第一行元素全为0 0时时,即即,00002122221nnnnnaaaaaaD 由行列式定义知由行列式定义知 D=0;若第若第 i 行行(i1)的元素全为的元素全为0,即即nnnnnaaaaaaD2111211000(第第 i 行行)irr 1nnnnnaaaaaa2111211000=0.证毕证毕.推论推论2.若行列式若行列式D 中有两行中有两行(列列)完全相同完全相同,则则D=0.=0.证明证明:将相同的两行互换将相同的两行互换,有有 性质性
4、质3.若行列式中某行若行列式中某行(列列)的所有元素是两个数的所有元素是两个数的和的和,则则D可表示成两个新行列式之和可表示成两个新行列式之和.即即,DD 0.D nnnnininiiiinnaaacbcbcbaaaaaaD2122112222111211 nnnniniinnaaabbbaaaaaa21212222111211nnnniniinnaaacccaaaaaa21212222111211证明证明:当当 i=1时，由行列式的定义知时，由行列式的定义知nnnnnnnaaaaaacbcbcb21222211112121111 jjjnjjMcb11111)()1(jjnjjMb1111)
5、1(jjnjjMc1111)1(nnnnnnaaaaaabbb212222111211 nnnnnnaaaaaaccc212222111211 当当i1时，把第时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第列式的第i行与第一行互换即可行与第一行互换即可i性质性质3 如果行列式如果行列式D中某行中某行(列列)的所有元素的所有元素是两个数的和是两个数的和,那么那么D可表示成两个新行列可表示成两个新行列式之和式之和,即即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiin
6、aaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211 性质性质3可推广到某一行可推广到某一行(列列)为多个数的和的为多个数的和的情形情形.1111111111nnnininnnnininaaaaaakaakakaaa 性质性质4.行列式中某一行行列式中某一行(列列)所有元素的公因子可所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面.即即证证:当当i=1时，由行列式的定义知时，由行列式的定义知 njjjjnnnnnnMkaaaaaaakakaka1111212222111211)()1(njjjjMak1111)1(
7、nnnnnnaaaaaaaaak212222111211 当当i1时，把第时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第行和第i行，即得该命题行，即得该命题nnniniininaakakaaaaa111111(第第 j 行行)nnniniininaaaaaaaak111111 推论推论20.(第第 i 行行)也就是也就是 推论推论3.若行列式若行列式 D 中有某两行中有某两行(列列)对应元素成对应元素成比例比例,则则 D=0.性质性质5 把行列式的某一行把行列式的某一行
8、(列列)各元素的各元素的k倍倍加到另一行加到另一行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,行列式的行列式的值不变值不变,即即nnnninjnijijiniinijnnnnjnjjiniinaaakaakaakaaaaaaaakrraaaaaaaaaaaa212211211121121212111211 13333222111krrzyxzyxzyx 注意注意:例如例如,13333222111krrzyxzyxzyx 131313222111kzzkyykxxzyxzyx 333222131313zyxzyxkzzkyykxx 例例1 计算行列式计算行列式107825513713913152 解解
9、:原式原式107825513315271391 21rr 24332602634260172513071391 131232rrrr r4 3r110170081600172513071391 232rr r4+2r124332602634260172513071391 131232rrrr r4 3r12300081600172513071391 2316)13(1 =312341617rr 10170081600172513071391 232rr r4+2r1例例2.计算计算.2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd 解解:从第四行
10、开始从第四行开始,后行减去前行后行减去前行,得得0022320363abcdaababcaaabcaababcD3221rrrr 43rr 4332rrrr 0002003abcdaababcaabaab 0002000abcdaababcaaba 43rr 4.a 2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)求 证aaaabbbbccccdddd 2222222222222222214469214469214469214469左aaaaaaabbbbbbb=cccccccdddddddccccccccccaaaaaabbbbbbc
11、cccccdddddd43324321322222222221232521222123252122021232521222123252122 例例证明：证明：例例3 计算行列式计算行列式4001030100211111 D解解:分析分析:对于爪型行列式对于爪型行列式,方法方法:将将3爪的一个爪的一个边爪变成边爪变成0,将其转化为上将其转化为上(下下)三角行列式三角行列式400103010020111211 2121cc D4000030000201114131211 40010300002011131211 3131cc 4141cc 432)4131211(=2型型:nnnacacacbbb
12、a0000002211210(ai 0)nnnnnaaabbbbacbacbaca00000000021212221110 )(1021 niiiinacbaaaa例例3 计算计算n阶行列式阶行列式abbbbabbbbabbbbaD 解解:baabbaabbaabbbbaD 000000babababbbbna 000000000)1(=a+(n 1)b(a b)n 1解法解法2:abbbnababbnabbabnabbbbna)1()1()1()1(Dnccc 21 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D12cc 13cc 1ncc 21rr 31rr 1nrr 100
13、0000000anbbbbababab 1(1)().nanb ab 回例回例3.计算计算n 阶行列式阶行列式 .abbbbabbDbbabbbba 解法三解法三(镶边法镶边法)当当a,b相等时，行列式为相等时，行列式为0,当当a,b不等时不等时abbbbbabbbbbabbbbbabD00001 babbabbabbab 00000000000011111（爪型）（爪型）1111110000100()00100001nababababbbabbbnbabababababanb)(1000001000001000001011111 1)()1()(1(nnbabnababanb04444333
14、322221111 cbaccbaccbaccbac 4444333322221111cbabcbabcbabcbab 4444333322221111cbaacbaacbaacbaa 证证 左边左边=例例4 证明证明0444444333333222222111111 cbacbacbacbacbacbacbacba 例例4题目虽为证明题，但其实质仍为行列式的计算。题目虽为证明题，但其实质仍为行列式的计算。二、行列式按任一行二、行列式按任一行(列列)展开展开 引理引理 一个一个n阶行列式阶行列式,如果其中第如果其中第i行行(或第或第j列列)所有元素除所有元素除aij外都为零外都为零,那么此行列
15、式等那么此行列式等于于aij与它的代数余子式的乘积与它的代数余子式的乘积,即即D=aijAij 根据行列式的定义和性质根据行列式的定义和性质1,我们知道我们知道行列式等于它的第一行行列式等于它的第一行(列列)的各元素与它的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和们对应的代数余子式的乘积之和.事实上可以证明更一般的结论事实上可以证明更一般的结论.为此为此先证明以下引理先证明以下引理.也就是也就是:若若nnnjnnijnjnjaaaaaaaaaaaaaD21222221111211000 即即D=aijAij由定义由定义,按第一行展开得按第一行展开得(1)先证当先证当aij位于第一行第一列的情形位于
16、第一行第一列的情形,即即(2)再证一般情形再证一般情形(第第i行除行除aij外外,其它元素全其它元素全为零为零),此时此时证证nnnnnaaaaaaaD21222211100 D=a11(1)1+1M11=a11A11nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 将将D的第的第i行依次与第行依次与第i 1,i 2,1行交换行交换,得得nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,1100)1(再将再将D的第的第j列依次与第列依次与第j 1,j 2,1列交换列交换,得得nnnnjnjijjiaaaaaaaD111111100)1()1(=(1)i+j 2D1=(1)i+jD1 其中
17、其中nnnnjnjijaaaaaaaD11111100 D1中第一行第一列的元素中第一行第一列的元素aij的余子式就是的余子式就是nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 中第中第i行第行第j列的元素列的元素aij的余子式的余子式Mij由由(1)的证明得的证明得 D1=aijMij D=(1)i+jD1=(1)i+jaijMij=aij(1)i+jMij=aijAij 证毕证毕定理一定理一 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和素与它们对应的代数余子式乘积之和,即即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n)或
18、或 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1,2,n)行列式按行行列式按行(列列)展开法展开法:把行列式把行列式D的第的第i行的每个元素按下面行的每个元素按下面的方式拆成的方式拆成n个数的和个数的和:证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21112112121121121111211000000 =ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n)证毕证毕.同理同理,若按列证明若按列证明,可得可得D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1,2,
19、n)推论推论 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的代数余子式乘积之和等的对应元素的代数余子式乘积之和等于零于零,即即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0 (i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0 (i j)设设ij,把行列式把行列式D中第中第j行的元素换成第行的元素换成第i行的元素行的元素,得得第第i行行第第j行行证证nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaaD212121112111=0将将D1按第按第j行展开行展开,得得D1=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0 (
20、i j)上述证法按列进行上述证法按列进行,同理可得同理可得证毕证毕.a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0 (i j)小结小结:关于代数余子式的性质有关于代数余子式的性质有:或简写成或简写成:)(,0)(,2211jijiDAaAaAajninjiji )(,0)(,2211jijiDAaAaAanjnijiji )(,0)(,1jijiDAankjkik )(,0)(,1jijiDAankkjki例例1 计算行列式计算行列式 2431101013122101 解解:原式原式1431001023122101 141232211)1(123 24cc 150610211 1561 =31例
21、例2 计算计算n阶行列式阶行列式 xyyxyxyxD000000000000 按第一列展开按第一列展开,有有 解解:=x xn 1+(1)n+1y yn 1=xn+(1)n+1ynxyxyxyxxD0000000000000)1(11 yxyyxyyn00000000000000)1(1 例例3 计算计算.2dcdcbabaDn0000解解:按第一行展开按第一行展开,有有000)1(0021cdcdcbababddcdcbabaan 12 n22 n22 n12 n221)12(22)12()12()1()1(nnnnnDbcDad22)(nDbcad222)(nnDbcadD递推公式递推公式
22、)1(22)(nnDbcadD)2(22)(nDbcad)3(23)(nDbcad)1(21)(nnnDbcad21)(Dbcadn dcbaD 2bcad .)(2nnbcadD故故例例4.证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式1222212111112111().nnnijn i jnnnnxxxxxxDxxxxx 说明说明:).()()()()()(1223113121 nnnnjinjixxxxxxxxxxxxxx234222234111:xxxxxx例例如如).)()(342423xxxxxx 下面我们来证明下面我们来证明范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列
23、式行列式.证明证明:用数学归纳法用数学归纳法.21211Dxx,)(12 jijixx 1nn 现现在在假假设设命命题题对对于于阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式成成立立，要要证证明明对对 阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式也也成成立立.1,nx从从第第 行行开开始始 后后行行减减去去前前行行的的 倍倍,有有因为因为2n 所所以以当当时时命命题题成成立立12xx 2131122133112222213311111100()()().0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 1()(2,)ixxin 按按第第一一列列展展开开，并并把把每每列列的的公公因因子子提提出出
24、来来，就就有有232131122223111()()()nnnnnnnxxxDxxxxxxxxx213111()()(),nnxxxxxx D 231222231111nnnnnnxxxDnxxx 其其中中是是阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式,213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx ).(1jjinixx 按归纳法假设按归纳法假设,有有12(),nijn ijDxx 故故计算计算n阶行列式阶行列式1111331221111321 nnnnnnnD解解nnnnnnnD222333222111)(!1jjinixxn 其中其中jxixji ,!1!2)!2()!1(!)(!1
25、nnnjinDjinn计算计算 nixxxxxxxaaaaaxaDinnnnnn,2,1,000000000000013221123211 )1(:111111xaxxaD 因因解解)1()1(1121221121212112nnnnxaxaxxxDxaxaxxxxaxaD 归归纳纳得得下面用数学归纳法证明上式成立下面用数学归纳法证明上式成立假设假设n=k-1等式成立，即等式成立，即)1(11111211 kkkkxaxaxxxD则当则当n=k时，将行列式按第时，将行列式按第k列展开列展开,得得1211111121)1(kkkkkkxxxaxaxaxxxx)1(1121kkkxaxaxxx )
26、()()1(12111 kkkkkkxxxaDxD综上综上,等式成立等式成立.)1(1121nnnnxaxaxxxD 即即常见的行列式计算法常见的行列式计算法1.用定义用定义2.化为三角行列式化为三角行列式3.每行每行(列列)元素之和为同一常数元素之和为同一常数4.奇数阶的反对称行列式为零奇数阶的反对称行列式为零0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa (n为奇数）为奇数）0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa n)1(0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa D 所以所以
27、镶边法镶边法归纳法归纳法递推法递推法利用范德蒙行列式利用范德蒙行列式思考题思考题)12,1,0(111121211111212222222122111121211111 niabbababaabbababaabbababaaDinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn求：求：设设2605232112431412 D求求423222126324AAAA .621721744354353274274D求求621100744310053271004D62117443153271410017802116013271410017821161100)232178(100.5400解：解：4.设行列式设行列式2235007022220403 D则第四行各元素余子式之和的值则第四行各元素余子式之和的值=().解解:4443424144434241AAAAMMMM 2811122204371111007022220403
