1、第四章等比数列的前n项和公式第1课时等比数列前n项和公式第一页，编辑于星期五：十九点 十七分。学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.第二页，编辑于星期五：十九点 十七分。内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练第三页，编辑于星期五：十九点 十七分。1知识梳理PART ONE第四页，编辑于星期五：十九点 十七分。已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式知识点一等比数列的前n项和公式第五页，编辑于星期五：十九点 十七分。知识点二等比数列前n项和的性质1.数列an为公比不为1的等比数列(
2、或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，仍构成等比数列.2.若an是公比为q的等比数列，则SnmSn(n，mN*).S3nS2nqnSm第六页，编辑于星期五：十九点 十七分。4.若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0，q0且q1，nN*)，则此数列一定是等比数列.()1.等比数列前n项和Sn不可能为0.()2.若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.()思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU第七页，编辑于星期五：十九点 十七分。2题型探究PART TWO第八页，编辑于星期五：十九点 十七分。一、等比数列前n项和
3、公式的基本运算例1在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；第九页，编辑于星期五：十九点 十七分。第十页，编辑于星期五：十九点 十七分。又a1a3a1(1q2)10，所以a18，第十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求公比q.解因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两个根.第十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。反思感悟等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.(2)
4、对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体.第十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.第十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。跟踪训练1在等比数列an中.q2，n5.第十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。(2)已知S41，S817，求an.解若q1，则S82S4，不符合题意，q1，q2或q2，第十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。二、利用错位相减法求数列的前n项和第十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。第十八页，
5、编辑于星期五：十九点 十七分。反思感悟错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和.(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式.利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.第十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。(1)求数列an的通项公式；第二十页，编辑于星期五：十九点 十七分。第二十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。(2)设bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Sn.第二十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。解根据题意得两式相减得第
6、二十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。第二十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。三、等比数列前n项和的性质例3(1)在等比数列an中，若S27，S691，则S4_.28解析数列an是等比数列，且易知公比q1，S2，S4S2，S6S4也构成等比数列，即7，S47,91S4构成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)0，S428.第二十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。(2)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.2解析由题意知S奇
7、S偶240，S奇S偶80，第二十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。(3)若数列an是等比数列，且其前n项和为Sn3n12k，则实数k_.解析Sn3n12k33n2k，且an为等比数列，第二十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。延伸探究第二十八页，编辑于星期五：十九点 十七分。反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.第二十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。跟踪训练3(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，S41，S83，则
8、a9a10a11a12等于A.8B.6C.4D.2解析S4，S8S4，S12S8成等比数列.即1,2，a9a10a11a12成等比数列.a9a10a11a124.第三十页，编辑于星期五：十九点 十七分。(2)一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.解设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶.第三十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。3随堂演练PART THREE第三十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。1.在数列an中，已知an12an，且a11，则数列an的前
9、5项的和等于A.25B.25C.31D.3112345解析因为an12an，且a11，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，第三十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。解析当x1时，Snn；123452.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于第三十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5等于A.34B.23C.12D.1312345解析在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，得S15S534，故选A.第三十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345第三十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。123
10、45第三十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345所以a1a23，第三十八页，编辑于星期五：十九点 十七分。1234580解析令Xa1a3a9960，Ya2a4a100，则S100XY，所以Y20，即S100XY80.第三十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。1.知识清单：(1)等比数列前n项和公式.(2)利用错位相减法求数列的前n项和.(3)等比数列前n项和的性质.2.方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论.3.常见误区：(1)忽略q1的情况而致错.(2)错位相减法中粗心出错.(3)忽略对参数的讨论.课堂小结KETANGXIAOJIE第四十页，编辑于星期五：十九点 十七分。4课
11、时对点练PART FOUR第四十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。1.在等比数列an中，a12，a21，则S100等于A.42100B.42100C.4298D.42100基础巩固12345678910111213141516第四十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。解析易知q1，因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，2.设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于12345678910 111213141516第四十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。解析等比数列an的前n项和Sn2n
12、1a，n2时，anSnSn12n1a(2n2a)，化简得an2n2.则a3a522316.3.若等比数列an的前n项和Sn2n1a，则a3a5等于A.4B.8C.16D.3212345678910111213141516第四十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。4.设Sn为等比数列an的前n项和，若27a4a70，则等于A.10B.9C.8D.5解析设数列an的公比为q，由27a4a70，得a4(27q3)0，因为a40，所以27q30，则q3，12345678910111213141516第四十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516第四十六页，编辑
13、于星期五：十九点 十七分。解析设数列an的公比为q，显然q1，12345678910111213141516第四十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。6.若等比数列an的前n项和Sn23nr，则r_.123456789101112131415162解析Sn23nr，由等比数列前n项和的性质得r2.第四十八页，编辑于星期五：十九点 十七分。7.已知Sn为等比数列an的前n项和，Sn93，an48，公比q2，则项数n_，a1_.解析由Sn93，an48，公比q2，5312345678910111213141516第四十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。8.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn
14、，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_.解析由题意知2SnSn1Sn2，若q1，则Snna1，式子显然不成立，123456789101112131415162故2qnqn1qn2，即q2q20，q2.第五十页，编辑于星期五：十九点 十七分。1234567891011121314 15 169.等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.(1)求数列an的公比q；解依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0.第五十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516(2)若a1a33，求Sn.第五十二页，
15、编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516(1)求an与bn；第五十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910 111213141516解由a12，an12an，得an2n(nN*).由题意知：当n1时，b1b21，故b22.第五十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*).第五十五页，编辑于星期五：十
16、九点 十七分。11.在等比数列an中，a14，q5，则使Sn107的最小正整数n的值是A.11B.10C.12D.9综合运用解析由题意可知在等比数列an中，a14，q5，12345678910111213141516Sn107，5n1107，n10.01，n为正整数，n11，故n的最小值为11.第五十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。123456789101112131415 16第五十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。解析设数列an共有(2m1)项，由题意得1234567891011121314151623222,nn-故当n1或2时，Tn取最大值，为2.第五十八页，编辑于星期五：十九点
17、 十七分。12345678910111213141516第五十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。123456789101112131415 16解析因为数列a1，a2，a5的“理想数”为2014，即S1S2S3S4S552014，所以数列2，a1，a2，a5的“理想数”为第六十页，编辑于星期五：十九点 十七分。14.已知数列an的前n项和为Sn，a11,2Snan11，则Sn_.解析当n1时，则有2S1a21，a22S112a113；当n2时，由2Snan11得出2Sn1an1，上述两式相减得2anan1an，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，1234567891011121314
18、1516第六十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。拓广探究123456789101112 13 141516123,na 第六十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516当n2时，anSnSn11223,3nnnab第六十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516可知bn为公比为9的等比数列，b13219，第六十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。1234567891011121314151616.已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；解设等差数列an的公差为d，故数列an的通项公式为an2n，nN*.第六十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516第六十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。所以，得1234567891011 1213141516第六十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516第六十八页，编辑于星期五：十九点 十七分。本课结束更多精彩内容请登录：第六十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。
