1、第1章 函 数 与 极 限第1章 函 数 与 极 限1.1 函数1.2 常见的经济函数1.3 极限的概念1.4 极限的运算1.5 函数的连续性第1章 函 数 与 极 限 1.1 函函 数数1.1.1 函数的概念函数的概念1.常量与变量常量与变量在日常生活中，经常会遇到不同的量，如收入、成本、产量、身高、路程、某一班级的学生人数等，这些量可以分为两类:一类是在考察的过程中不发生任何变化，只取一个固定的值，我们把这类量称为常量，如圆周率是个永远不变的量，某一阶段某个班级的学生人数也是一个常量；另一类是在考察的过程中不断地发生变化，取不同的数值，我们把这类量称为变量，如汽车行驶过程中的路程、一天中的
2、气温等都是不断变化的，这些都是变量.第1章 函 数 与 极 限2.函数的定义函数的定义引例引例1 设圆的半径为r，面积为S，于是面积S与半径r之间的关系为S=r2，r0引例引例2 某企业生产某一产品的固定成本为5000元，每生产一件产品成本增加20元，于是生产该产品的总成本C与产量q间的关系可以表示为C=20q+5000 以上两例都给出了两个变量在某一变化过程中的对应关系，当一个变量取一定值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应.在数学上，我们将这种变量间的对应关系称为函数关系.第1章 函 数 与 极 限定义定义1.1 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，如果对于D中的每一个x，变量y按
3、照某一法则f，总有唯一确定的值和它对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)，xD其中:x称为自变量;y称为因变量;非空数集D称为函数的定义域.对于定义域D中的某一确定值x0，按照对应法则f，总有唯一确定的值y0与之对应，这个y0称为函数y=f(x)在x0处的函数值，记作f(x0)或.函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作M，即M=y|y=f(x)，xD0=x xy第1章 函 数 与 极 限例例1 函数y=x+1与是否为相同函数？解解 函数y=x+1的定义域为(，+)，而函数虽然可以整理为y=x+1，但是其在x=1时无意义，故定义域为(，1)(1，+)，因此它们不是相同函数.例例2
4、 设f(x+1)=x23x，求f(x).解解 令x+1=t，则x=t1，于是f(t)=(t1)23(t1)=t25t+4所以f(x)=x25x+4 在高等数学中经常用区间来表示函数的定义域和值域，现介绍一种特殊的区间邻域.把开区间(x0，x0+)(0)称为以点x0为中心、为半径的邻域，记作N(x0，)，如图1-1所示.211xyx211xyx第1章 函 数 与 极 限图 1-1第1章 函 数 与 极 限把开区间(x0，x0)(x0，x0+)(0)称为以点x0为中心、为半径的去心邻域，记作 ，如图1-2所示.图 1-2),(0 xN第1章 函 数 与 极 限例例3 求下列函数的定义域:(1)；(
5、2)f(x)=arccos(2x1)；(3)解解 (1)这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函数的定义域，然后再求其公共部分即可.要使函数有意义，必须满足x2x20，解得x1或x2，即定义域为(，12，+).要使函数有意义，必须满足x+20，解得x2，即定义域为(2，+).于是，所求函数的定义域为(2，12，+).222xyxxxln(2)()1xf xx22xx2xx第1章 函 数 与 极 限(2)要使arccos(2x1)有意义，必须满足12x11，解得0 x1，即函数的定义域为0，1).(3)要使函数ln(x+2)/x+1有意义，必须满足，解得2x1和1x+，即函数的定义域为(2，1
6、)(1，+).注 在实际应用问题中，除了要根据函数解析式本身来确定自变量的取值范围外，还应考虑变量的实际意义.一般来讲，经济变量往往都大于零.2010 xx 第1章 函 数 与 极 限3.函数的表示方法函数的表示方法常用函数的表示方法通常有以下三种：(1)解析法:把自变量x与因变量y的函数关系由数学表达式给出，便于理论研究.微积分中的绝大部分函数都是用这种方法表示的，如y=x2x+2.(2)图像法:把函数关系用平面上的点集反映出来，一般情况下，它是一条平面曲线.如图1-3所示的是气象站的自动温度记录仪所记录的某地当天的气温变化曲线，该曲线将气温T与时间x的函数关系清晰直观地表示出来，如x=12
7、时，T=10.第1章 函 数 与 极 限图 1-3第1章 函 数 与 极 限(3)表格法:把变量间的函数关系通过表格形式反映出来.如表1-1给出了2014年3月开始执行的中国银行的人民币定期储蓄存期与年利率的函数关系.表 1-1第1章 函 数 与 极 限4.分段函数分段函数某城市电话局规定的市话收费标准如下：当月所打电话次数不超过30次时，只收月租费10元，超过30次时，每次加收0.20元，则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可表示如下：10,30,100.20(30),30.xyxx第1章 函 数 与 极 限像这种在自变量的不同取值范围内，函数关系用不同的式子来表示的函数，通常称为分段函
8、数.分段函数是微积分中常见的一种函数.例如，符号函数(如图1-4所示)可以表示成注注 (1)分段函数是用几个不同解析式表示一个函数，而不是表示几个函数.(2)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.1,0sgn0,01,0 xxxx第1章 函 数 与 极 限图1-4第1章 函 数 与 极 限例例4 设函数cos,41,()2,13,51,3.xxf xxxx 求f()、f(1)、f(5)及函数的定义域.解解 因为4，1)，所以f()=cos()=1.因为11，3)，所以f(1)=2.因为53，+)，所以f(5)=551=24.函数的定义域为4，+).第1章 函 数 与 极 限1.1.2 函
9、数的几种特性函数的几种特性1.函数的有界性函数的有界性定义定义1.2 设函数y=f(x)在区间(a，b)内有定义，如果存在一个正数M，使得对于任意x(a，b)，恒有|f(x)|M，则称函数f(x)在(a，b)内有界;否则，称f(x)在(a，b)内无界.这个性质表明函数在(a，b)内的值域包含在有限区间M，M内，几何上表现为，函数图像位于直线y=M和y=M之间的区域内.如图1-5所示的函数y在区间(a，b)内有界.第1章 函 数 与 极 限图1-5第1章 函 数 与 极 限2.函数的单调性函数的单调性定义定义1.3 设函数y=f(x)在区间I上有定义，如果对于I上任意两点x1、x2，当x1x2时
10、，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的(如图1-6所示)；反之，当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的(如图 1-7 所示).第1章 函 数 与 极 限图1-6第1章 函 数 与 极 限图1-7第1章 函 数 与 极 限单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.例如:函数y=x2在区间(0，+)内是单调递增的，在区间(，0)内则是单调递减的，但在定义域(，+)内则不具单调性(如图1-8所示);函数y=x3在区间(，+)内是单调递增的(如图1-9所示).第1章 函 数 与 极 限图第1章 函 数 与 极 限图
11、第1章 函 数 与 极 限3.函数的奇偶性函数的奇偶性定义定义1.4 设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一xD，恒有f(x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数；如果恒有f(x)=f(x)成立，则称f(x)为奇函数.例如:y=cosx是偶函数，因为f(x)=cos(x)=cosx=f(x);y=sinx是奇函数，因为f(x)=sin(x)=sinx=f(x).注注 偶函数的图像关于y轴对称(如图1-8所示)，奇函数的图像关于原点对称(如图1-9所示).第1章 函 数 与 极 限例例5 求证：在(，+)内，为奇函数.证明 因为2()lg1f xxx2()lg1()fxxx 2221
12、1lg1xxxxxx 21lg1xx2lg1xx()f x 所以为奇函数.2()lg1f xxx第1章 函 数 与 极 限4.函数的周期性函数的周期性定义定义1.5 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零正数T，满足：对于任一xD，恒有f(x+T)=f(x)则f(x)称为周期函数，T称为f(x)的周期.通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.例如:函数y=sinx、y=cosx都是以2为周期的周期函数，而函数y=tanx、y=cotx都是以为周期的周期函数.周期函数在每个周期长度为T的区间上，具有相同的图形形状.第1章 函 数 与 极 限1.1.3 反函数反函数定义定义1.6 设y=f(
13、x)是x的函数，定义域为D，值域为M，如果对于值域M中的每一个y，按照某种对应法则f1，在定义域D中都有唯一的x值与之对应，则得到一个定义在M上，以y为自变量、x为因变量的新函数，我们称它为y=f(x)的反函数，记作x=f1(y).显然，y=f(x)与x=f1(y)互为反函数，并且它们的定义域和值域互换.习惯上，我们总是用x表示自变量，用y表示因变量，因此通常把函数x=f1(y)改写为y=f1(x).注 单调函数一定有反函数，并且函数与反函数图像关于直线y=x对称.第1章 函 数 与 极 限1.1.4 基本初等函数基本初等函数微积分学研究的主要对象是初等函数，而初等函数是由六类基本初等函数构成
14、的.基本初等函数包括常函数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数和反三角函数六大类，这些大部分在中学已经学过，这六类基本初等函数的定义域、值域、图像、基本性质见表1-2.第1章 函 数 与 极 限第1章 函 数 与 极 限第1章 函 数 与 极 限定义定义1.7 把正弦函数y=sinx在闭区间上的反函数称为反正弦函数，记作y=arcsinx，其定义域为1，1，值域为.显然，y=arcsinx表示了一个正弦值等于x的角，与正弦y=sinx相反，这里自变量x表示正弦值，而y则表示了一个在闭区间上的角.例如，表示了正弦值为的角，由于，所以.反正弦y=arcsinx是闭区间1，1上的单调递增有界函数，
15、且arcsin(x)=arcsinx.类似地，我们有如下几类反三角函数的定义.,2 2,2 2,2 2 3arcsin2y 323sin323y第1章 函 数 与 极 限定义定义1.8 把余弦函数y=cosx在闭区间0，上的反函数称为反余弦函数，记作y=arccosx，其定义域为1，1，值域为0，.反余弦y=arccosx是闭区间1，1上的单调递减有界函数，为非奇非偶函数，且有arccos(x)=arccosx.定义定义1.9 把正切函数y=tanx在开区间内的反函数称为反正切函数，记作y=arctanx，其定义域为(，+)，值域为.反正切y=arctanx是开区间(，+)内的单调递增有界函数
16、，且arctan(x)=arctanx.,2 2,2 2 第1章 函 数 与 极 限定义定义1.10 把余切函数y=cotx在开区间(0，)内的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx，其定义域为(，+)，值域为(0，).反余切y=arccotx是开区间(，+)内的单调递减有界函数，为非奇非偶函数，且有arccot(x)=arccotx.第1章 函 数 与 极 限1.1.5 复合函数复合函数在经济管理活动和工程技术领域中，许多函数往往比较复杂.例如，企业的产品收入R是产量Q的函数，而产量Q又是时间t的函数，于是时间t通过产量Q间接影响收入R，则收入R构成时间t的函数，这种函数就是复合函数.
17、定义定义1.11 设函数y=f(u)、u=(x)，如果u=(x)的值域或其部分包含在y=f(u)的定义域中，则y通过中间变量u构成x的函数，称为x的复合函数，记作y=f(x)其中，x是自变量，u称为中间变量.例如，y=eu、u=sinx可以构成复合函数y=esinx.第1章 函 数 与 极 限例例6 已知，u=x1，将y表示成x的函数.解解 因为的定义域为u0，+)，u=x1的值域为u(，+)，因此可以构成复合函数.将u=x1代入，可得例7 指出下列复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的:(1)y=sin2x；(2)y=ln cosx；(3).uy uy uy 1xy2arctanexy 第1
18、章 函 数 与 极 限解解 (1)令u=sinx，则y=sin2x是由y=u2、u=sinx复合而成的.(2)令u=cosx，则y=ln cosx是由y=lnu、u=cosx复合而成的.(3)令u=arctanx2，则y=eu.令v=x2，则u=arctanv.因此y=earctanx2是由y=eu、u=arctanv、v=x2复合而成的.第1章 函 数 与 极 限1.1.6 初等函数初等函数定义定义1.12 由基本初等函数经过有限次的四则运算或者有限次的复合而构成的，并且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数.例如，y=5x+sinx，y=x3 arccosx，等都是初等函数.须指出，分段函
19、数大多情形下不能用一个解析式表示出来，因而一般不是初等函数，但也有例外.如分段函数，可以改写成y=|x|，所以它还是初等函数.由基本初等函数经过有限次的四则运算而得到的函数称为简单函数.初等函数的分解往往是对简单函数来说的.2xy 21arcsinxxxy,0,0 xxyxxx第1章 函 数 与 极 限例例8 指出下列初等函数是由哪些基本初等函数和简单函数构成的:(1)(2)解解 (1)令u=x2+x3，则.因此是由和u=x2+x3构成的.(2)令，则y=arctanu.因此是由y=arctanu和构成的.23yxx1arctanyxyu23yxxyu1ux1arctanyx1ux第1章 函
20、数 与 极 限1.2 常见的经济函数常见的经济函数1.2.1 需求函数与供给函数需求函数与供给函数1.需求函数需求函数“需求”是指在一定的价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品数量.消费者对某种商品的需求往往是由多种因素决定的，如消费者的收入、其他替代商品的价格等都会影响需求，其中，商品的价格是影响需求的一个主要因素.现在不考虑价格以外的其他因素，只研究需求与价格间的关系.设P表示商品价格，Q表示需求量，需求量Q与商品价格P间的函数关系为Q=f(P)，这个函数就称为需求函数.第1章 函 数 与 极 限从需求的特征来看，需求函数一般是单调递减函数：商品的价格低，需求量大；商品的价格高
21、，需求量小.常见的需求函数有如下几种：(1)线性函数Q=abP(a0，b0)；(2)二次函数Q=abPcP2(a0，b0，c0)；(3)指数函数Q=aebP(a0，b0).需求函数Q=f(P)的反函数称为价格函数，记作P=f1(Q).第1章 函 数 与 极 限例例1 市场上某种衬衫的销售量Q是价格P的线性函数.当价格P为50元/件时，可售出1500件；当价格P为60元/件时，可售出1200件.试求衬衫的需求函数和价格函数.解解 设需求函数为Q=abP，依题意有解之，得a=3000，b=30故所求需求函数为Q=300030P这时，价格函数为150050120060abab10030QP 第1章
22、函 数 与 极 限2.供给函数供给函数“供给”是指在一定的价格条件下，生产者或企业愿意出售并且能够出售的商品数量.某种商品的供给量也是由多种因素决定的，如生产中的投入成本、技术状况等.这里略去价格以外的其他因素，只讨论供给量Q与价格P间的函数关系，这个函数称为供给函数，记作Q=(P)从供给的特征来看，供给函数一般是单调递增函数：商品价格低，生产者不愿生产，供给减少；商品价格高，生产者愿意生产，供给增加.第1章 函 数 与 极 限常见的供给函数有如下几种：(1)线性函数Q=aPb(a0，b0)；(2)二次函数Q=a+bP+cP2(a0，b0，c0)；(3)指数函数Q=aekPb(a0，b0，k0
23、).例例2 当鸡蛋收购价格为6元/千克时，某收购站每月能收购5000千克；当收购价格为6.2元/千克时，每月能收购5500千克.试求鸡蛋的线性供给函数.解解 设鸡蛋的线性供给函数为Q=aPb，依题意有5000655006.2abab第1章 函 数 与 极 限解之，得a=2500，b=10000故所求供给函数为Q=2500P10000第1章 函 数 与 极 限3.二者间的关系二者间的关系需求函数和供给函数可以帮助我们分析市场规律，二者关系密切.当市场上某种商品的需求量与供给量相等时，需求与供给之间达到某种均衡，这时的商品价格和需求量(供给量)分别称为均衡价格和均衡数量.如图1-10所示，若把需求
24、曲线和供给曲线画在同一坐标系中，由于需求曲线是单调递减的，供给曲线是单调递增的，所以二者将交于一点(P0，Q0)，这里的P0、Q0分别就是均衡价格和均衡数量.例例3 设某商品的供给函数为Q=(1/3)P2，需求函数为Q=40(2/3)P，试求该商品处于市场平衡状态下的均衡价格和均衡数量.解解 在市场平衡状态下，供给量与需求量相等，故有第1章 函 数 与 极 限图 1-10第1章 函 数 与 极 限解之，得 P=42将P=42代入Q=(1/3)P2中，解得Q=12故在市场平衡状态下的均衡价格和均衡数量分别为42和12.1224033PP第1章 函 数 与 极 限1.2.2 总成本函数、收益函数和
25、利润函数总成本函数、收益函数和利润函数1.总成本函数总成本函数总成本是指生产一定数量的产品所消耗的经济资源(劳动力、设备、原材料等)或费用的总和.总成本包括固定成本和可变成本两部分.固定成本是指与产量无关的成本，如设备维修、场地租赁等费用，用C0表示；可变成本是指随产量变化而变化的成本，如原材料、劳动力等费用，用C1(Q)表示.总成本即表示为C(Q)=C0+C1(Q).平均成本是指生产一定数量的产品时，每单位数量产品的平均成本，即平均成本函数为0()()CC QC QCQQQ第1章 函 数 与 极 限例例4 设某产品的总成本函数为C=5000+(Q2/4)求生产200个单位产品时的总成本和平均
26、成本.解解 依题意知，生产200个单位产品时的总成本为C=5000+(2002/4)=15000这时的平均成本为1500075200C 第1章 函 数 与 极 限2.收益函数收益函数总收益是指生产者销售一定数量的产品所得到的全部收入.设P为商品价格，Q为商品销售量，则总收益函数为R(Q)=PQ.平均收益是指销售一定数量的商品时，每单位数量的商品所得的平均收入，记作，即每单位商品的售价.例例5 设某商品的销售价格(单位：元)与销售量间的关系为P=60(Q/1000)，求销售量为1000时的总收益和平均收益.解解 由于总收益函数为()()R QPQR QPQQ2()(60)6010001000QQ
27、R QPQQQ第1章 函 数 与 极 限所以，当销售量为1000时的总收益为平均收益为21000(1000)60 100059000()1000R元59000()59()1000R Q 元第1章 函 数 与 极 限3.利润函数利润函数利润是衡量企业经济效益的一个重要指标.一般地，利润是销量Q的函数，且利润函数等于收益函数与成本函数之差，即L(Q)=R(Q)C(Q).例例6 某商品的总成本函数为C(Q)=1005Q+Q2(单位：百元)，若该商品的销售单价为25百元，试求：(1)该商品的利润函数；(2)生产10件该商品时的总利润；(3)生产30件该商品时的总利润.解解 (1)由于总收益函数为R(Q
28、)=25Q，所以利润函数为L(Q)=Q2+30Q100 (2)生产10件该商品时的总利润为L(10)=100百元.(3)生产30件该商品时的总利润为L(30)=100百元.第1章 函 数 与 极 限一般情形下，收入是销售量的增函数，但由例6可以看出，利润并不总是随着销售量的增加而增加的.生产某种商品的总成本是产量Q的增函数，但是商品的需求量Q由于受到商品价格、消费者的收入水平等诸多社会因素的影响，往往不总是增加的.换句话说，对于某种商品而言，销售的总收益R(Q)有时会显著增加，有时会明显减少，甚至达到顶点，如果此时继续销售，利润反而下降.因此，利润函数往往有三种情形：(1)L(Q)=R(Q)C
29、(Q)0，此时称为有盈余生产，即生产处于有利润状态；(2)L(Q)=R(Q)C(Q)0且无限增大时，函数f(x)无限趋近于一个常数A，则称A为函数f(x)当x+时的极限，记作lim()xf xA或 f(x)A(x+)定义定义1.13 如果当x0(或A0(或f(x)0).推论推论 若在点x0的某个去心邻域内，f(x)0(或f(x)0)，且，则A0(或A0).注注 若把xx0换成自变量x的其他变化过程，极限的上述性质仍然成立.Axfxx)(lim00(,)N x0(,)N xAxfxx)(lim0第1章 函 数 与 极 限1.4.2 极限的四则运算法则极限的四则运算法则利用极限的定义只能计算一些简
30、单函数的极限，而实际问题中的函数要复杂得多.下面我们介绍极限的四则运算法则，并运用这些法则求一些较复杂的函数极限.定理定理1.5 设在自变量的同一变化过程中，limf(x)=A，limg(x)=B，则有：法则1 limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB；法则2 limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB；法则3 lim(f(x)/g(x)=(limf(x)/limg(x)=A/B，其中limg(x)=B0.注注 法则1、2可以推广到有限个函数的情况，此外还有以下推论.第1章 函 数 与 极 限推论推论1 limCf(x)=Climf(x)=CA.推论推论2 l
31、imf(x)n=limf(x)n=An.例例1 求 .解解 4322lim(310)xxxx例例2 求解解 因为，所以22124lim32xxxx21lim(32)50 xx22124lim32xxxx2121lim(24)1lim(32)5xxxxx 第1章 函 数 与 极 限例例3 求.解解 先对分母求极限，即此时，由于分母极限为零，所以不能直接使用商的极限法则.再对分子求极限，即由于分子极限不为零，所以此时可以先求原来函数倒数的极限，即2321lim9xxx23lim(9)0 xx3lim(21)70 xx22333lim(9)9lim021lim(21)xxxxxxx第1章 函 数 与
32、 极 限最后，根据无穷小的倒数为无穷大，可得例例4 求解解 当x2时，分子、分母极限同时为零，极限法则不成立，而题中分子、分母明显有公因式x2，由极限定义可知，x2但x2，故可约去使分子、分母极限为零的公因式x2后再求极限，即235lim9xxx 2226lim4xxxx2226lim4xxxx2(2)(3)lim(2)(2)xxxxx235lim24xxx第1章 函 数 与 极 限例例5 求解解 当x0时，分子、分母极限同时为零，极限法则不成立，故先将分子有理化，约去分子、分母中极限为零的公因式后再求极限，即01 1limxxx 01 1limxxx 0011limlim2(1 1)1 1x
33、xxxxx 例例6 求.解解 当x时，分子、分母极限都不存在，极限法则不成立.这时，对该分式作适当变形：给分子、分母同除以它们的最高次幂x2，然后再求极限，即22341lim22xxxxx第1章 函 数 与 极 限例例7 求.解解 本例不同于例6，应给分子、分母同除以分母的最高次幂x4，然后再求极限，即22341lim22xxxxx224133lim1222xxxxx324321lim321xxxxxx324321lim321xxxxxx2434211lim02113xxxxxxx例例8 求.解解 由上例可知4332321lim21xxxxxx324321lim0321xxxxxx第1章 函
34、数 与 极 限由于无穷小量的倒数为无穷大量，所以4332321lim21xxxxxx 一般地，当x时，两个多项式商的极限有如下结论：10111011limmmmmnnxnna xa xaxab xb xbxb000,=,mnamnbmn第1章 函 数 与 极 限1.4.3 两个重要极限两个重要极限1.(1)极限类型：“(0/0)”型.(2)函数结构：(sinu/u)型(其中u为自变量x的函数，且为无穷小量).例例9 求解解 0sinlim1xxx0sin2lim3xxx0sin2lim3xxx020sin222sin22limlim23323xxxxxxxx例例10 求 0sinlimsinx
35、axbx第1章 函 数 与 极 限解解 0sinlimsinxaxbx000sinsinlim()limlimsinsinxaxbxax axbxaaxbxaaxbxbxbaxbxb例例11 求解解 0tanlimxxx0tanlimxxx0sin1limcosxxxx00sin1limlim1cosxxxxx例例12 求.解解 先利用三角函数公式将1cosx换成2 sin2(x/2)后，再求极限，即201 coslimxxx201 coslimxxx2220022sinsin122limlim2()2xxxxxx20sin112lim222xxx第1章 函 数 与 极 限例例13 求解解 2
36、1sin(1)lim1xxx21sin(1)lim1xxx1sin(1)lim(1)(1)xxxx11sin(1)11limlim112xxxxx2.(1)极限类型：“1”型.(2)函数结构：(1+(1/u)u(其中u为自变量x的函数，且为无穷大量).注注 如果令(1/x)=t，则x时，t0，上述公式还可以表示成1lim 1xxex10lim 1ttte第1章 函 数 与 极 限例例14 求 .解解 令(5/x)=(1/u)，则x=5u，且当x时，u，故有5lim 1xxx5lim 1xxx55511lim 1lim1euuuuuu 例例15 求 32lim 1xxx解解 32lim 1xxx
37、6(6)22622lim 1lim1exxxxxx 第1章 函 数 与 极 限例例16 求.解解 423lim 1xxx423lim 1xxx4233lim11xxxx12231233lim1lim 1exxxxx第1章 函 数 与 极 限例例17 求.解解 由于 ，故令u=2x+1，则x=(u/2)(1/2)，且x时，u，于是有23lim21xxxx23212121xxx 232limlim 12121xxxxxxx112 222222lim 1lim 1lim 1euuuuuuuu例例18 求.解解 3sec2lim 1 cosxxx313sec3coscos02lim 1coslim1c
38、osexxxxxx第1章 函 数 与 极 限1.4.4 连续复利问题连续复利问题作为第二重要极限的应用，本节介绍复利公式.所谓复利计息，就是将第一期的利息与本金之和作为第二期的本金，然后反复计息.设本金为p，年利率为r，则一年后的本利和为S1=p+pr=p(1+r)若每年计息一次，那么t年后的本利和为St=p(1+r)t这就是以年为期的复利公式.若一年计息m次，则每期的利率为(r/m),于是t年后的本利和为St=p(1+(r/m)mt 若一年计息无穷多次，则为连续复利计息，即令m，则t年后的本利和(即终值)为第1章 函 数 与 极 限公式St=pert反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规
39、律，如马尔萨斯人口模型、树木的生长、细胞的繁殖、镭的衰变等.lim1emtrttmrSppm第1章 函 数 与 极 限1.5 函数的连续性函数的连续性1.5.1 函数连续性的概念函数连续性的概念1.改变量改变量定义定义1.18 如果变量u从初值u0变到终值u1，则把终值与初值的差u1u0称为变量u在u0点的增量，又称变量u的改变量，记作u，即u=u1u0 注注 增量u可以是正的，可以是负的，亦可为零.现在设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如图1-16所示，当自变量x在此邻域内从x0变到x0+x时，函数y相应的从f(x0)变到f(x0+x)，于是函数y相应的增量为y=f(x0+x)f
40、(x0)第1章 函 数 与 极 限2.函数在一点处的连续性函数在一点处的连续性从图1-16可以看出，函数y=f(x)在点x0附近是连续变化的，它的图像是一条不间断的曲线，并且当自变量的改变量x趋于零时，函数的改变量y亦趋于零.这时，我们称函数y=f(x)在点x0处连续.定义定义1.19 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，当自变量x在点x0处的增量x趋于零时，对应的函数y的增量y也趋于零，即则称函数y=f(x)在点x0处连续.点x0称为函数的连续点.0lim0 xy 第1章 函 数 与 极 限图 1-16第1章 函 数 与 极 限例例1 用连续定义证明函数y=x2+1在点x0=2处
41、连续.证明证明 给自变量x以增量x，则相应的函数增量为y=(2+x)2+1(22+1)=4x+(x)2于是有200limlim 40 xxyxx 故函数y=x2+1在点x0=2处连续.在定义1.19中，如果令x=x0+x，则有y=f(x)f(x0)，并且当x0时，有xx0,当y0时，有f(x)f(x0)，因此函数在点x0处连续的定义又可叙述如下：定义定义1.20 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果00lim()()xxf xf x第1章 函 数 与 极 限则称函数y=f(x)在点x0处连续.说明：如果，则称函数f(x)在点x0处左连续；如果，则称f(x)在点x0处右连续.显然
42、，当且仅当函数f(x)在点x0处左连续且右连续时，即函数在点x0处连续.例例2 讨论在x=0处的连续性.解解 因为 00lim()()xxf xf x00lim()()xxf xf x000lim()lim()()xxxxf xf xf x21,0()cos,0 xxf xxx200lim()lim11xxf xx00lim()lim cos1xxf xx第1章 函 数 与 极 限所以 又f(0)=1即所以f(x)在x=0处连续.0lim()1xf x0lim()(0)xf xf第1章 函 数 与 极 限3.初等函数的连续性初等函数的连续性定义定义1.21 如果函数f(x)在区间(a，b)内每
43、一点都连续，则称f(x)在区间(a，b)内连续；如果函数f(x)在(a，b)内连续，且在x=a处右连续，在x=b处左连续，则称f(x)在区间a，b上连续.可以证明，初等函数在其定义域内都是连续的，连续函数的图像是一条不间断的曲线.根据初等函数的连续性结论可以得出：求初等函数在其定义域内某点的极限，只需求出该点的函数值即可.例例3 求下列函数的极限：(1)(2)22lim7xxx24tanlim3sin2xxx第1章 函 数 与 极 限解解 (1)因为为初等函数，其定义域为(，+)，又2(，+)，所以27xx222lim72273xxx(2)因为为初等函数，其定义，kZ，又，所以2tan3sin
44、2xx,22kk,422kk224tantan14lim3sin243sin 24xxx利用初等函数的连续性，同样可以解决一些复合函数的极限问题.第1章 函 数 与 极 限定理定理1.6 设函数u=(x)在点x0的极限存在且为u0，即，函数y=f(u)在点u0处连续，即 ,则复合函数y=f(x)在点x0的极限也存在，且00lim()xxxu00lim()()uuf uf u000lim()()lim()xxxxfxfxfx在此定理的条件下，求复合函数的极限时，函数符号f与极限符号可以交换次序，给我们求极限带来了很大方便.例例4 求.解解 因为，所以y是由y=lnu、u=(1+x)(1/x)复合
45、而成的，而 ，又y=lnu在点u=e处连续，故0limxx0ln(1)limxxx1ln(1)ln(1)xxyxx10lim(1)exxx11000ln(1)limlimln(1)lnlim(1)lne1xxxxxxxxx第1章 函 数 与 极 限例例5 设函数，问a为何值时，函数f(x)在(，+)内连续.解解 要使函数f(x)在(，+)内连续，只需f(x)在分界点x=1处连续即可.因为，又f(x)在点x=1处连续，所以可得故a=2.21,1()1,1xxf xxax21111lim()limlim121xxxxf xxx1lim()(1)xf xfa第1章 函 数 与 极 限1.5.2 函数
46、的间断点函数的间断点由函数f(x)在点x0处连续的定义可知，函数f(x)在点x0处连续，必须同时满足下列三个条件：(1)f(x)在点x0处有定义，即f(x0)存在；(2)极限存在；(3).如果上述条件中有一个不满足，则f(x)在点x0处不连续，这时我们称点x0是函数f(x)的间断点(或不连续点).00lim()()xxf xf x0lim()xxf x第1章 函 数 与 极 限例例6 讨论f(x)=1/(x1)在点x=1处的连续性.解解 因为f(x)=1/(x1)在x=1处无定义，所以x=1是f(x)的间断点.又因为故x=1为f(x)的无穷间断点，如图1-17所示.例例7 11lim1xx 1
47、,0()2,0,0,xxxf xxex，讨论f(x)在点x=0处的连续性.解解 由于00lim()lim(1)1xxf xx00lim()lim1xxxf xe第1章 函 数 与 极 限图 1-17第1章 函 数 与 极 限即但f(0)=2所以f(x)在点x=0处不连续，且x=0为f(x)的可去间断点，如图1-18所示.0lim()1xf x第1章 函 数 与 极 限图1-18第1章 函 数 与 极 限例例8 设，讨论在点x=1处的连续性.解解 虽然f(x)在点x=1处有定义，且f(1)=0，但是在点x=1处有即左、右极限都存在但不相等，故点x=1为f(x)的跳跃间断点，如图1-19所示.1,
48、1()0,11,1xxf xxxx11lim()lim10 xxf xx11lim()lim(1)2xxf xx第1章 函 数 与 极 限图 1-19 第1章 函 数 与 极 限1.5.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质下面介绍闭区间上连续函数的几个重要性质，仅从几何上加以说明.性质1(最值定理)如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，则函数f(x)在该区间上一定有最大值和最小值.例如，在图1-20中，f(x)在闭区间a，b上连续，其在点x1处取得最大值M，在点x2处取得最小值m.第1章 函 数 与 极 限图1-20第1章 函 数 与 极 限性质性质2(介值定理)如果函数f(x)在
49、闭区间a，b上连续，且f(a)f(b)，则对介于f(a)与f(b)之间的任一实数C，则至少有一点(a，b)，使得f()=C 这个定理的几何意义是：连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点(如图1-21所示).第1章 函 数 与 极 限图1-21第1章 函 数 与 极 限推论推论(方程根的存在性定理)如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则至少有一点(a，b)，使得f()=0 从几何上看，该推论表示：如果连续曲线y=f(x)的两端点位于x轴的两侧，那么这段曲线与x轴至少有一个交点，即方程f(x)=0在区间(a，b)内至少存在一个根.例例9 证明方程e3xx2=0在区间(0，1)内至少有一实根.证明 设f(x)=e3x-x-2，则f(x)在闭区间0，1上连续.又f(0)=10故由推论可知，至少存在一点(0，1)，使得f()=0，即方程e3xx2=0在区间(0，1)内至少有一实根.
