1、多旋翼无人机技术基础多旋翼无人机技术基础（6）符长青博士多旋翼无人机结构动力学的定义多旋翼无人机结构动力学的定义 多旋翼无人机结构动力学是一门在多旋翼无人机设计中受到普遍重视且仍处于不断发展中的学科，它主要研究多旋翼无人机结构的强迫振动、自由振动和动稳定性，不考虑空气动力与结构的弹性力、阻尼力和惯性力之间的相互作用，如果涉及空气动力，也只把它作为与结构振动运动无关的外力对待，结构动力学是研究气动弹性响应的基础。（1）结构 （2）振动 （3）结构动力系统 （4）振动固有特性结构动力系统结构动力系统输入（激励）输入（激励）输出（响应）输出（响应）多旋翼无人机结构动力学目的多旋翼无人机结构动力学目的
2、 多旋翼无人机结构动力学的目的就是研究关于多旋翼无多旋翼无人机结构动力学的目的就是研究关于多旋翼无人机结构动力系统振动固有特性，它在外激励作用下产生动人机结构动力系统振动固有特性，它在外激励作用下产生动响应的基本理论和分析方法，以使多旋翼无人机结构具有优响应的基本理论和分析方法，以使多旋翼无人机结构具有优良的动力学特性。根据多旋翼无人机结构动力系统输入、输良的动力学特性。根据多旋翼无人机结构动力系统输入、输出与系统特性三者之间的关系，可归纳为三类问题。出与系统特性三者之间的关系，可归纳为三类问题。响应计算：响应计算：已知激励和系统模型求响应，也称正问题已知激励和系统模型求响应，也称正问题 系统
3、识别：系统识别：已知激励和响应求系统特性，也称参数识已知激励和响应求系统特性，也称参数识 别或称为第一类逆问题。别或称为第一类逆问题。载荷识别：载荷识别：已知系统和响应，求激励，也称第二类逆已知系统和响应，求激励，也称第二类逆 问题。问题。多旋翼无人机结构动力学的特点多旋翼无人机结构动力学的特点（1）结构动力问题包含时间变量）结构动力问题包含时间变量 静载荷是不随时间变化的稳态力，静力问题具有单一的解答。动力问题则不同，动载荷（输入）是随时间变化的速变力，因此，在动力分析中，输入（激励）的大小、方向甚至作用点，一般都是随时间而变化的。这就决定了动力系统的输出（响应）也随时间而变化，使动力问题不
4、像静力问题那样具有单一的解答，我们必须在动载荷作用的时间范围内求解结构响应的时间历程。（2）惯性力的存在）惯性力的存在 结构动力的突出特征是存在振动现象。在振动过程中组成结构的质点具有加速度，从而在结构中产生了惯性力。惯性力的存在是动力学问题的又一特性。在结构动力学中，必须十分重视结构的质量大小与分布情况，注意研究振动中惯性力的状况。多旋翼无人机结构动力学研究方法多旋翼无人机结构动力学研究方法 多旋翼无人机结构动力学的研究方法可分为分析的方法和试验的方法两大类。对多旋翼无人机设计来说，两种方法是相辅相成的，缺一不可。（1）结构动力试验）结构动力试验 多旋翼无人机结构动力试验包括模态试验、动力学
5、环境试验、模拟试验等。这些试验既可以直接考核产品的动力学性能，也为结构动力分析提供必要的验证和数据。（2）结构动力分析）结构动力分析 多旋翼无人机结构动力分析方法是先确定外激励的性质、大小与变化规律，确定初始条件，再将它的实际结构经过去粗取精、去伪存真的过程，简化成结构动力分析模型（物理模型），进而研究建立起与之相应的振动微分方程（运动方程），即数学模型。多旋翼无人机结构动力分析模型多旋翼无人机结构动力分析模型 由于多旋翼无人机结构十分复杂，其结构动力学同其他学科一样，不可能将原始结构拿来分析计算，必须根据分析的目的、要求的计算精度、结构的受力、传力特点、现有的计算条件来分析结构各部分在振动中
6、的作用，综合简化成正确反映结构动态特性的力学（物理）模型即分析模型。一般说来，力学模型可分为连续系统模型与离散系统或称集中参数系统模型，实际模型有时还可能是它们的复合模型。同一实际结构，根据分析的目的、内容、精度要求，可以简化成不同的模型。除了外激励外，构成结构动力学模型还必须包含质量、弹性、阻尼三大要素。对于集中质量系统，这些要素可以具体化为质量件、弹性件与阻尼件。（1）质量件是离散系统中产生惯性力、储存动能的功能件，通常假）质量件是离散系统中产生惯性力、储存动能的功能件，通常假定它是刚体，它具有惯性。定它是刚体，它具有惯性。（2）弹性件是系统中产生弹性恢复力、提供结构刚度、储存势能的）弹性
7、件是系统中产生弹性恢复力、提供结构刚度、储存势能的功能件，一般假定它的质量略去不计。功能件，一般假定它的质量略去不计。（3）阻尼件是系统中产生阻尼力，使能量从动力系统中耗散出去的）阻尼件是系统中产生阻尼力，使能量从动力系统中耗散出去的功能件。功能件。多旋翼无人机振动的类型多旋翼无人机振动的类型（1）1按照振动系统的自由度数目分类按照振动系统的自由度数目分类 结构动力系统的自由度是指在振动过程的任何瞬时，为完全确定系统所处的空间位置和运动状态所必需的最少独立坐标数目。（1）单自由度系统的振动）单自由度系统的振动 （2）多自由度系统的振动）多自由度系统的振动 （3）连续体振动）连续体振动多旋翼无人
8、机振动的类型多旋翼无人机振动的类型（2）2按照振动的输入特性（激励）或控制方式分类按照振动的输入特性（激励）或控制方式分类 （1）自由振动：）自由振动：结构系统受初始干扰产生的振动，或者外激励力消失 后存在的振动。（2）自激振动：）自激振动：没有周期外力作用下，由系统内部激发及反馈的相互 作用而产生的稳定周期振动。自由振动和自激振动 的区别在于，自由振动的激励来自外界，只在初始受 激励；而自激振动的激励来自自身，并一直存在。（3）强迫振动：）强迫振动：结构系统在外激励作用下被迫产生的振动。（4）参数振动：）参数振动：结构系统自身参数变化激发的振动。（5）共振：）共振：结构系统所受激励的频率与该
9、系统某阶固有频率相接近时，系统振幅显著增大的现象。多旋翼无人机振动的类型多旋翼无人机振动的类型（3）3按照振动的输出（响应）性质分类按照振动的输出（响应）性质分类 （1）确定性振动：）确定性振动：结构系统特性是确定性的，不论它是常参数系统还是变参数系统，在 受到确定性激励时，响应也是确定性的，包括简谐振动、周期振动、瞬态振动等。（2）随机振动：）随机振动：结构系统在受到随机激励时，系统的响应亦将是随机的。多旋翼无人机振动的类型多旋翼无人机振动的类型（4）4按照系统振动的运动规律分类按照系统振动的运动规律分类 （1）周期振动：）周期振动：振动量（如位移、速度、加速度等）是 时间的周期函数。（2）
10、简谐振动：）简谐振动：振动量为时间的正弦或余弦函数的周期 振动，是最简单的周期振动。（3）非周期振动和瞬态振动：）非周期振动和瞬态振动：非周期振动的振动量是 时间的非周期函数，如果这种振动只在很短的时间内 存在，则称为瞬态振动。（4）随机振动：）随机振动：振动量不是时间的确定性函数，因而不 能预测，只能用概率统计的方法进行研究。多旋翼无人机振动的类型多旋翼无人机振动的类型（5）5按照系统结构参数的特性分类按照系统结构参数的特性分类 （1）线性振动：）线性振动：线性振动是系统内的恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的振动，可用常系数线性微分方程来描述。线性振动叠加原理成立
11、，系统自由振动的频率及模态是系统所固有的，其特性不随时间改变。（2）非线性振动：）非线性振动：非线性振动是系统内的恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度有一组以上不成线性关系时的振动，微分方程中将出现非线性项。叠加原理不成立。多旋翼无人机振动的类型多旋翼无人机振动的类型（6）6按振动位移的特征分类按振动位移的特征分类 （1）直线振动：）直线振动：直线振动的特征是振动体上质点的 运动轨迹是直线。（2）圆振动：）圆振动：圆振动的特征是振动上质点的运动轨迹 为圆弧线。（3）弯曲振动：）弯曲振动：弯曲振动是指振动体上质点沿轴方向 振动的纵向振动和振动体上做垂直于轴方向振动 的横向振动。（4
12、）扭转振动：）扭转振动：扭转振动是指振动体上的质点只作绕 轴线的振动，也称之为角振动。简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法 简谐振动可以用正弦或余弦函数表示，如图所示，其典型的运动方程为 式中简谐振动三要素（振幅、频率、初相位）分别是：A为 振幅，表示振动中的最大位移量；初相位；0圆频率或角 频率，表示频率f的2倍，单位为弧度/秒(rad/s)；T=1/f为周期 0=2f=2/T)sin()(0tAtx简谐振动复数表示方法简谐振动复数表示方法 根据复数的矢量表示法，在复平面上的一个复数Z代表该复平面(Re，Im)上的一个矢量，如图矢量0P所示。图中Re表示实轴，Im表示虚轴，矢量的模就是复数Z
13、的模A，其位置由复角确定。如果矢量0P绕0点以等角速度在复平面内逆时针旋转，就是一复数旋转矢量。它在任一瞬时的复角=t，则复数Z的表达式为 式中i为虚轴的单位长度，即 。简谐振动也可用复数z所代表的复旋转矢量来表示。tiAetitAZ)sin(cos1i简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度 简谐振动的速度和加速度仍然为同频率的简谐振动。式中u(t)和 分别表示速度、加速度，简谐振动加速度的大小与位移成正比而方向相反，始终指向振动的静平衡位置。)21sin()()(00tAtxtu)sin()()(02tAtxtao xtxtao2)()(无阻尼自由振动的运动微分方程无阻尼自由振动的运动
14、微分方程 无阻尼自由振动系统不存在阻尼，没有能量损耗，只受到重力场和弹性力场作用，故属于保守系统，一旦振动起来，将永远振动下去。现取质量为m的质量件的静平衡位置为独立坐标原点，建立线位移x坐标系（向下为正），静位移，弹簧刚度为k。单自由度系统固有振动或无阻尼自由振动的运动微分方程 二阶齐次常系数线性微分方程 其通解为0 kxxm 02xxn txtxxnnnsincos00无阻尼单自由度系统振动固有频率因为同频率简谐振动之和仍为同频率的简谐振动，其通解可写成式中可得到无阻尼单自由度系统的振动固有圆频率（单位是rad/s）为固有频率（单位是Hz）为)sin(tXxn2020nxxX00arcta
15、nxxnmknmkfn21无阻尼自由振动的特性无阻尼自由振动的特性（1）单自由度系统无阻尼自由振动为简谐振动，振动频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，故称为系统的固有频率。（2）刚度相同的两个单自由度系统，其固有频率随质量的增大而减小；质量相同的两个系统，其固有频率随系统刚度的增大而增大。（3）系统的初始条件对系统固有频率没有影响，而振幅X与初相位均由初始条件决定。振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特性。（4）数值不变的常力（如重力W）作用在系统上，只改变系统的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动固有特性。旋翼的结构型式旋翼的结构
16、型式（1）铰接式（2）半铰接式：万向接头式和跷跷板式（3）无铰式（4）无轴承式（5）空气螺旋桨式旋翼桨叶的外形和材料旋翼桨叶的外形和材料（1）桨叶气动外形设计）桨叶气动外形设计 翼型 先进的桨尖形状（2）桨叶的结构型式及材料）桨叶的结构型式及材料 金属桨叶：上世纪5060年代，使用寿命可达1000小时 复合材料桨叶：上世纪70年代以后，旋翼采用复合材料桨叶。经过优化的桨叶悬停效率可达到0.8，旋翼升阻比达到10.5，功率减少10%。旋翼桨叶挥舞方向弯曲振动旋翼桨叶挥舞方向弯曲振动 假设旋翼桨叶为绕y轴旋转的梁，该旋转梁剖面dr在离心力N和气动力载荷T作用下，利用牛顿法（力平衡法）得到桨叶挥舞平
17、面内的弯曲振动方程。如果桨叶气动力载荷T=0，可得到旋转桨叶的弯曲自由振动方程 式中EJ为桨叶剖面挥舞弯曲刚度，m为桨叶单位长度质量，y为桨叶挥舞变形。其中 为桨叶剖面r承受的离心力。应用分离变量法及固有振型正交性可得出积分表达式：式中yi为i阶振型函数；i为 i阶振动固有频率。0)()ymyNyEJ（0)()0222020 drmydryNdryEJRiiiRiR（drmrNRr2RryrNdrTy桨叶挥舞弯曲振动桨叶挥舞弯曲振动频率频率第i阶振型的频率i 式中Ki、Mi分别为第i阶振动模态的广义刚度和广义质量。其中广义刚度为 式中右端第一项为弹性刚度，第二项为离心力刚度：第i阶振动模态的广
18、义质量为 iiiMK RrRiiRidmdrydryEJK20220)()(drmyMRii02桨叶挥舞弯曲振动桨叶挥舞弯曲振动边界条件边界条件旋转桨叶的弯曲自由振动微分方程的边界条件：铰接式：无铰式：0)(0)0(0)0(Ryyy0)(0)0(0)0(Ryyy旋翼桨叶弯曲自由振动特点旋翼桨叶弯曲自由振动特点铰接式：铰接式：0阶振型是一条直线，振型随转速变化。阶振型是一条直线，振型随转速变化。无铰式：其一阶振型对应铰接式零阶、二阶振型对应铰接式一阶，区别无铰式：其一阶振型对应铰接式零阶、二阶振型对应铰接式一阶，区别在桨叶根部：铰接式根部铰支，而无铰式及无轴承式根部固支，模态弯在桨叶根部：铰接式
19、根部铰支，而无铰式及无轴承式根部固支，模态弯矩根部最大矩根部最大旋翼桨叶弯曲自由振动频率计算旋翼桨叶弯曲自由振动频率计算 铰接式0阶振动频率：旋翼桨叶是刚体挥舞，基阶模态的固有频率为：式中lpj、Mpj、Ipj分别为挥舞铰外伸量、绕挥舞铰的质量静矩及惯矩。当挥舞铰外伸量lpj=0时（中心铰），如翘翘板式旋翼，0=1。当挥舞铰外伸量lpj0时，由于构造上的限制，挥舞铰外伸量不可能太大，即使是带弹性铰的旋翼一般lpj/R也不超过5%，所以，铰接式旋翼桨叶0=11.04，,一般不会超过1.04。20)1(pjpjpjIMlpjlRpjmxdxM0dxmxIpjlRpj02旋翼桨叶摆振方向弯曲振动旋翼
20、桨叶摆振方向弯曲振动 桨叶气动阻力TC=0，可得桨叶摆振面内自由振动微分方程 式中X为旋转面振动位移，J 为桨叶剖面惯性矩，i阶固有频率为i，利用分离变量、固有振型正交性，得能量方程（积分表达式）及固有频率：式中i表示弹性变形位能与离心力位能之比。桨叶摆振第0阶固有频率：式中lcj为摆振铰外伸量，Mcj 为桨叶绕垂直铰质量静矩，Icj为桨叶绕垂直铰质量惯矩。显然，摆振铰外伸量越大，桨叶摆振频率越大。0)()(2 XmXmXNXEJ 0)()0220222020 drmXdrmXdrXNdrXEJRiRiiRiiR（2020022)1(iiiKRmEJcjcjcjIMl0桨叶绕轴向铰的扭转振动微
21、分方程桨叶绕轴向铰的扭转振动微分方程 旋翼桨叶的扭转振动除作用有惯性力矩、结构弹性回复力矩外，还有离心力引起的回复力矩，即桨叶上的离心力也附加了刚度。桨叶绕轴向铰轴线的扭转振动微分方程为 式中GJnz为桨叶剖面扭转刚度，Inz为桨叶单位长度的扭转质量惯矩，为桨叶扭转角位移，Inz2项是离心力回复力矩。0)()2 nznzIGJ（旋翼桨叶扭转振型方程和频率方程旋翼桨叶扭转振型方程和频率方程 用分离变量法求解扭转自由振动微分方程，得扭转振型方程和频率方程 式中i为桨叶扭转振动固有频率。旋转桨叶的扭转固有频率的平方等于不旋转桨叶扭转固有频率平方与旋翼转速平方之和。0)()22iinzinzIGJ（0
22、2i 202200222)(RinzRinzRinziiiidrIdrGJdrIkMK旋翼桨叶扭转振动特点旋翼桨叶扭转振动特点（1）离心力影响小。（2）桨叶根部受桨距操纵线系的弹性约束，弹性变 形位能包括桨距操纵线系部分，而且桨距操纵 线系刚度是主要的。必须指出，旋翼各片桨叶 扭转运动可以受不同桨距操纵线系约束，不同 线系的刚度不同，扭转频率也不同。（3）桨叶旋转与不旋转扭转振型相同。旋翼桨叶共振图旋翼桨叶共振图 共振图上桨叶各阶固有频率与转速整倍数的交点即是共振点，为了避免发生共振，旋翼工作转速必须避开所有的共振点。多旋翼无人机旋翼整体振型多旋翼无人机旋翼整体振型1集合型振动模态集合型振动模
23、态：旋翼集合型振动模态各片桨叶之间相位差为零（或2的整数倍数），也就是说振动是同相的。2后退型振动模态后退型振动模态：旋翼后退型振动模态各片桨叶之间的相位顺旋翼旋转方向依次递增2k（k为桨叶片数），对于四叶旋翼也就是依次递增2。这种振型的几何图像也有明显的特点，桨叶挥舞振动时，各片桨叶的桨尖处在一个倾斜的平面（桨尖平面）中。在旋转坐标系中，桨尖平面保持其倾斜角不变而以与叶振动角频率相同的角速度绕旋翼轴线逆旋翼旋转方向而转动，即桨尖平面最高点以角速度逆旋翼旋转方向而转动。3前进型振动模态前进型振动模态：旋翼前进型振动模态各片桨叶之间的相位顺旋翼旋转方向依次递减2/k，对于四桨叶旋翼也就是依次递减
24、/2。这种振型的几何特点与后退型相类似，区别只在于对于旋转坐标系前进型是顺旋翼旋转方向以角速度转动，这也就是前进型取名的由来，而对于固定坐标系前进型就以角速度（+）顺旋翼转向而转动。4无反作用型振动模态无反作用型振动模态：旋翼无反作用型振动模态对于四桨叶旋翼各片桨叶之间的相位依次递增（或减）。由于两对桨叶的振动是反相的，所以旋翼以这种振型振动时对于旋翼支持系统没有反作用力。无反作用型的摆振振动桨叶的运动类似子剪刀的运动，因而又可以称为“剪刀型”振型。旋翼整体振型的特点旋翼整体振型的特点（1）旋翼整体振型的数目总是与桨叶片数相同的。）旋翼整体振型的数目总是与桨叶片数相同的。对于三叶旋翼就只可能有
25、集合型、后退型及前进型这三种振型。对于五叶旋翼，则除了集合型、后退型及前进型之外，还存在两种所谓“翘曲型”振型，这两种振型同样也不对旋翼支持系统引起反作用力。（2）不同的旋翼振型与旋翼交承系统的耦合关系也不同。）不同的旋翼振型与旋翼交承系统的耦合关系也不同。无反作用型不存在耦合问题，其固有特性可以认为与孤立桨叶相同。集合型的挥舞振动旋翼对旋翼支承系统的作用力是垂直方向的，会与 包括机体在内的旋翼支持系统在桨毂中心处有垂直运动的振型发生耦 合。集合型的摆振振动会与旋翼轴的扭转振动发生耦合。后退型或前进型摆振振动在桨毂中心处作用有纵向及横向的水平力，这种振型也就会与桨毂中心处有水平运动的机体振型发
26、生耦合。无铰式旋翼及水平铰外移量不等于零的铰接式旋翼其后退型或前进型 的挥舞振动会在桨毂中心处引起纵向及横向的力矩，也就会与相应的 机体振型发生耦合。（3）有几个旋翼整体振型也就会有几个不同的固有特性。）有几个旋翼整体振型也就会有几个不同的固有特性。多旋翼无人机传动轴临界转速定义多旋翼无人机传动轴临界转速定义 当多旋翼无人机传动系统在发动机带动下高速旋转时，当多旋翼无人机传动系统在发动机带动下高速旋转时，由于转轴结构本身总会存在一些微小的质量不平衡（例如，由于转轴结构本身总会存在一些微小的质量不平衡（例如，转轴的质心轴线偏离转动轴线）和初始弯曲变形，在这些动转轴的质心轴线偏离转动轴线）和初始弯
27、曲变形，在这些动不平衡因素的作用下就会产生以离心力为表征的周期性干扰不平衡因素的作用下就会产生以离心力为表征的周期性干扰力，从而引起传动轴的横向弯曲振动。如果这种强迫振动的力，从而引起传动轴的横向弯曲振动。如果这种强迫振动的频率与传动轴的弯曲固有频率接近或相等时，就出现了共振频率与传动轴的弯曲固有频率接近或相等时，就出现了共振现象，产生共振现象时传动轴的转速就是临界转速。现象，产生共振现象时传动轴的转速就是临界转速。多旋翼无人机传动系统的临界转速与其结构零部件材料多旋翼无人机传动系统的临界转速与其结构零部件材料的弹性特性、传动轴系的形状和尺寸、支撑形式和零部件质的弹性特性、传动轴系的形状和尺寸
28、、支撑形式和零部件质量等有关。理论上传动系统有无穷多个临界转速，因为传动量等有关。理论上传动系统有无穷多个临界转速，因为传动轴在运转过程中总会发生振动，其振动固有频率和振型的数轴在运转过程中总会发生振动，其振动固有频率和振型的数值由小到大可分解为一阶、二阶、三阶直到值由小到大可分解为一阶、二阶、三阶直到n阶。阶。传动轴临界转速设计方式传动轴临界转速设计方式 在传动系统的横向弯曲振动设计上，必须在传动轴转速范围内充分地避开任何横向弯曲的频率。（1）亚临界设计：）亚临界设计：传动系统最低阶临界转速高于最大工作转速，并留有一定余量。采用亚临界设计的优点是其固有的设计简便性，因为亚临界轴系经检验是可靠
29、的，除了需要进行平衡调整来减小振动外，并无其他的动力学问题。缺点是传动轴系笨重庞大，且不适合于高转速下工作。（2）超临界设计：）超临界设计：传动系统工作转速在一阶和二阶临界转速之间 （3）高超临界设计：）高超临界设计：传动系统工作转速在二阶和三阶临界转速之间 超临界设计和高超临界设计方案的优点是可让传动系统超临界设计和高超临界设计方案的优点是可让传动系统结构更简单，振动更小，从而减轻重量；传动轴质心更趋于结构更简单，振动更小，从而减轻重量；传动轴质心更趋于接近旋转中心，需要的支撑弹性刚度更小，对于结构振动的接近旋转中心，需要的支撑弹性刚度更小，对于结构振动的敏感性更低等。因此这两种设计方式目前
30、已成为一种趋势。敏感性更低等。因此这两种设计方式目前已成为一种趋势。超临界和高超临界设计的缺点1、附加外部阻尼器：附加外部阻尼器：超临界设计和高超临界设计的传动轴系不仅要求有较大的临界转速裕度，而且在运转过程中必须满足苛刻的振动限制条件要求，以保证有足够的疲劳寿命，因此需要首先为传动系统提供外部阻尼器，然后在系统启动阶段很快地通过低阶临界转速。2、稳定性条件：稳定性条件：由于超临界和高超临界传动系统内部阻尼会产生不稳定问题，为了消除这种不稳定性，系统在超临界和高超临界转速下，对于传动轴的第i阶横向振动模态，该运动稳定的条件为：式中i第i阶横向弯曲模态固有频率，1无外部阻尼时传动轴横向弯曲模态的
31、阻尼比，2有外部阻尼时传动轴横向弯曲模态的阻尼比，int内阻尼比，ext外阻尼比，传动轴转速。intint12extiir传动轴系各阶临界转速和振型传动轴系各阶临界转速和振型计算计算 多旋翼无人机传动轴系各阶临界转速i和振型的计算 式中m为质量，Ks为广义总刚度系数。显然，两个支承的刚度系数K1的存在总使Ks减小，使传动轴的临界转速降低。当K1无限增大时Ks=K（刚性支承）。转矩的存在会使传动轴的抗弯刚性降低，因而使临界转速下降。对于一阶临界转速，修正公式为 式中10为无转矩轴的临界转速；M为转矩，M1为临界转矩，即在此转矩作用下，传动轴将失稳，挠度无限增加。mKmKKKKsi)(211KKK
32、KKs112211011MM传动轴段刚度表示法传动轴段刚度表示法 计算其扭转振动时，系统进行当量转化后的轴段刚度称为当量刚度。当量转动惯量是指系统进行转化后，刚体旋转时所具有的动能与转化前刚体旋转所具有的动能一样，转化后的刚体的转动惯量称为当量转动惯量。在一长度为L截面积惯性矩为Jp，材料剪切模量为G的轴段的两端施以扭矩MK，则此轴段被扭转的角度为，它们的关系为 K（刚度）是表征轴段的物理性能的非向量参数，代表轴段被扭转单位角度（弧度）时所需扭矩，单位Nmrad。KMKLGJKp.传动轴在串联工作时总刚度表示法传动轴在串联工作时总刚度表示法 传动轴在串联工作时，在轴的两端作用以扭矩MK则各轴段
33、间的内部弹性力矩均为MK。这时整根轴的总变形为 式中Ki表示各轴段的刚度。这表明：一个轴段在串联工作时总刚度的倒数为各个分轴段刚度倒数之和niiKniiKM111niiKK111.实心锥形轴的刚度表示法实心锥形轴的刚度表示法 将锥形轴当作无穷多个长度为dx，直径逐渐由d1增大到d2的圆柱形轴段串联而成，应用串联轴段的刚度计算概念，可将dx轴段的刚度dKx积分而得锥形轴之刚度。对于钢材料有 式中，为了便于计算起见，之数值根据不同的 作成曲线。41521212214151026.1 1)(1026.11dldddddddlK.园柱孔锥形轴的刚度表示法园柱孔锥形轴的刚度表示法 应用串联轴段的刚度计算
34、概念，推导得到园柱孔锥形轴 段的扭转刚度 式中d0为圆柱孔直径，当x=1和x=2时，函数f(1)和f(2)按曲线图决定。)()()(11124021aadafafGK.弹性联轴节的刚度表示法弹性联轴节的刚度表示法 大多数弹性联轴节呈非线性，作为近似可把这条曲线分成两部分，斜率比较低的为刚度K1，斜率较高的为刚度K2。实际计算时根据工作系统弹性联轴节所传递的平均扭矩Mcp所对应的那根曲线的直线段的刚度作为计算用的刚度，则振动系统就成为线性的，大大简化了计算工作量。对于设计阶段，可以根据每个减振橡皮圈的尺寸和材料，按下列公式估算径向（Y方向）的刚度KY 式中G为橡皮圈的剪切模量。一般弹性联轴节是由
35、几个橡皮圈按半径为R沿圆周均匀排列来传递扭矩，总的弹性联轴节的扭转刚度为：K=nR2KY。)(ln)()(42020220220rrrrrrrrlGKHHHHY.传动系统扭转固有特性计算传动系统扭转固有特性计算 以具有三片桨叶的旋翼为例，旋翼（三片桨叶）的动能为：式中Tye为旋翼（三片桨叶）的动能，Igu为桨毂转动惯量，Iye为桨叶绕垂直饺轴线的转动惯量（一片），S为桨叶绕垂直铰轴线的静矩（一片），Iye为桨叶绕旋翼轴线的转动惯量（一片），lcj为垂直铰外移量，gu为桨毂后摆角，ye为桨叶绕垂直饺轴线的后摆角。旋翼系统中桨叶的运动方程为：桨毂的运动微分方程为：式中I3为桨叶等效到桨毂后的桨毂有
36、效转动惯量。式中式中P为传动系统扭转频率。为传动系统扭转频率。)(2232020yeguyecjyeyeguyeyeISlIIT03)(332yecjguyecjyeyeSlISlI 023guguKI 22203)()()(33PPISlISlIIIyecjyecjyegu.传动系统扭转共振图传动系统扭转共振图各阶激振力作用下的传动系统扭转共振图.多旋翼无人机机体结构的构件多旋翼无人机机体结构的构件 （1）一维构件）一维构件：机体一维构件的长度比其截面尺寸要大得多，如杆、管、桁条、桁梁等，用它的沿长度方向的坐标即可确定其构型。（2）二维构件）二维构件：机体二维构件的厚度比其长宽尺寸要小得多，
37、如蒙皮、薄板等，用它的面内长和宽两个方向的坐标即可确定其构型。（3）三维构件）三维构件：机体三维构件即是指一般的立体构件，三个方向尺寸相当，如厚板、实体等，它用三维空间坐标来确定其构型。机体构件的组合称之为部件，又称为子结构。例如隔框是一种二维的平面部件，它是由桁条、蒙皮等构件组成的平面薄壁结构。一段机身则是一种三维的空间部件，它是由长桁、桁粱，隔框、蒙皮等构件组成的空间薄壁结构。.机体结构的特点机体结构的特点 1、机体结构的构型是由一个复杂的有界、连续、三维空间给出的，它所充满的空间是连续的，无间隙的。当机体结构产生位移后，它的构型仍是连续的，所产生的变形是协调的，不会产生间隙，即可假设认为
38、构型和变形具有连续性和协调性。2、机体构件是由某种具有一定力学性能的材料组成，宏观地说，材料是均匀的，即各处材料的性能皆相同。对于金属材料，它还具有各向同性性质，即材料在不同方向上的性能也相同。但对复合材料，这种均匀性和各向同性性质往往不再存在，先进的层迭复合材料具有明显的方向性，呈现出各向异性性质。3、材料的力学性能可采用线弹性假设，材料是在小应变范围内，产生的应力与应变呈线性关系，满足广义虎克定律，这是力学性能（物理）上的线性假设。.机体结构的数学模型和研究方法机体结构的数学模型和研究方法1机体结构系统的数学模型机体结构系统的数学模型 机体结构系统的数学模型是由它的刚度特性、惯性特性与阻尼
39、特性所决定，在线性假设下，它的数学模型可表示为 式中M、C、K为机体结构系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，x为结构系统的位移列阵，F为作用在结构系统上的激振力列阵。2机体结构动力学研究方法机体结构动力学研究方法 （1）分析建模：）分析建模：分析建模是建立在有限元法基础上。（2）试验建模：）试验建模：试验建模是建立在响应的离散时间序列基础之上，它通进实测响应，采集其时间序列，采用各种数据处理方法，包括予处理、谱分析和时序分析等手段，以及采用模态参数识别技术来获取模态信息，建立数学模型。FKxxCxM.机体结构动力学线性理论机体结构动力学线性理论 机体结构系统是产生机体动力学问题的内在因素。机体
40、结构的弹性性质可以用应变能密度加以描述。机体结构系统的应变能为：式中E为材料弹性模量，ij为应变张量，dV为微分体积。结构的惯性性质用动能描述，结构系统的动能为：式中 i为速度向量，为密度。结构阻尼机理是一个复杂因素。但从能量观点来说，它将耗散结构系统所具有的机械能：位能和动能之和。为便于分析，采用线性粘性阻尼模型，即阻尼力与运动速度大小成正比，与运动速度方向相反。dVEUkijVijk1121dVuTVi221.机体结构动力学有限元法基本过程机体结构动力学有限元法基本过程（1）结构离散化：）结构离散化：选择适当的单元将结构离散化。按形状可分为直线边单元和曲线边单元两大类。（2）单元力学特性分
41、析：）单元力学特性分析：为单元假定合理的近似位移函数。（3）计算等效节点载荷：）计算等效节点载荷：用等效节点载荷代替作用在单元上的载荷。（4）建立整体结构的平衡方程：）建立整体结构的平衡方程：集合单元刚度矩阵组成总体刚度矩阵，集合等效的单元节点载荷列矢量来组成总体载荷列矢量，建立整个结构的平衡方程。（5）应用位移边界条件求解结构平衡方程：）应用位移边界条件求解结构平衡方程：以总体刚度矩阵为系数的线性方程组。求解该线性方程组，得到所有位置节点的位移。（6）计算单元应变及单元应力：）计算单元应变及单元应力：机体结构动力分析与静力分析的过程基本相同，只是在分析过程中要考虑惯性力和阻尼力作用，建立的是有限元系统运动方程。.机体结构固有振动的有限元分析机体结构固有振动的有限元分析 机体结构离散化为有限元模型后构成为一个多自由度结构系统。无阻尼机体的数学模型是用下列矩阵方程表示 式中M、K为机体结构系统的质量矩阵和刚度矩阵，u为结构系统的位移列阵，F为作用在结构系统上的激振力列阵。无阻尼情况下，在没有任何外界的激励作用时，结构系统产生的固有振动是由下列方程给出 由它所决定的固有振动呈谐振动形式，得特征方程 式中为机体结构系统固有振动频率。由此，求解结构系统的固有振动归结为一个广义特征问题。式中i称之为机体结构系统的第i阶固有频率。iiFKuuM 0KuuM 020MuKu谢 谢!
