1、 1 / 12 素养提升素养提升微微突破突破 12 带电粒子带电粒子在组合场中的在组合场中的运动运动 复杂问题简单化 带电粒子在组合场中的运动 带电粒子在组合场中的运动是高考命题的热点和难点，带电粒子在电场、磁场、重力场等的 组合场中的直线运动或圆周运动问题，交变电场和磁场中的运动问题都是高考中的热点和难点， 出题频率高，难度大，需要重点突破。 【2018 全国卷】如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压 U 加速后在纸面内水平向右 运动，自 M 点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种 离子射入磁场的速度大小为 v1，并在磁场边界的 N 点射
2、出；乙种离子在 MN 的中点射出；MN 长为 l。 不计重力影响和离子间的相互作用。求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)甲、乙两种离子的比荷之比。 【答案】(1)4U lv1 (2)14 【解析】(1)设甲种离子所带电荷量为 q1、质量为 m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R1，磁场的磁感应 强度大小为 B，由动能定理有 q1U1 2m1v1 2 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 2 / 12 q1v1Bm1v1 2 R1 由几何关系知 2R1l 由式得 B4U lv1。 (2)设乙种离子所带电荷量为 q2、质量为 m2，射入磁场的速度为 v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R2。同
3、理有 q2U1 2m2v2 2 q2v2Bm2v2 2 R2 由题给条件有 2R2l 2 由式得，甲、乙两种离子的比荷之比为 q1 m1 q2 m214。 【素养解读】本题考查带电粒子在电场中的加速、在匀强磁场中的匀速圆周运动及其相关的知识点，意在 考查考生灵活运用相关知识解决实际问题的能力。 一、磁场与磁场的组合 【典例 1】如图所示 xOy 坐标系中，在 y 轴右侧有一平行于 y 轴的边界 PQ，PQ 左侧和右侧存在磁感应强度 大小分别为 B 与B 2的匀强磁场， 磁场方向均垂直于 xOy 平面向里。 电荷量为 q、 质量为 m 的带正电粒子， 以某一速度从坐标系原点 O 处沿 x 轴正方
4、向射出，经过时间 t4m 3qB时恰好到达 y 轴上的 A(0，l)点，不 计粒子的重力作用。 3 / 12 (1)求粒子在左、右两侧磁场中做圆周运动的半径大小之比 r1r2； (2)求边界 PQ 与 y 轴的距离 d 和粒子从 O 点射出的速度大小 v0； (3)若相同的粒子以更大的速度从原点 O 处沿 x 轴正方向射出，为使粒子能经过 A 点，粒子的速度大小 应为多大？ 【答案】(1)12 (2) 3 6 l qBl 3m (3) 3qBl 3m 或 21qBl 12m 【解析】 (1)带电粒子在左、右两侧磁场中均做匀速圆周运动，则有 qv0Bmv0 2 r1 ，qv0 B 2 mv02
5、r2 解得 r1r212。 (2)粒子射出后经过时间 t4m 3qB时恰好到达 A 点，运动情况如图 1 所示， 设图中圆弧 DE 对应的圆心角为 ， 则粒子从 O 点运动到 A 点的时间为 360 T2180 360 T14m 3qB 其中 T12m qB ，T24m qB 解得 60 C1C2C3为等边三角形，根据几何关系得 l2r1(r2r1)，dr1sin 解得 PQ 与 y 轴的距离 d 3 6 l 4 / 12 粒子从 O 点射出的速度大小 v0满足 qv0Bmv0 2 r1 解得 v0qBl 3m。 (3)速度更大的粒子，必从 y 轴高点处转向下方时经过 A 点，一个周期的运动轨
6、迹如图 2， 粒子在一个周期内沿 y 轴方向的位移为 y2r12(r2r1)sin 2r1，其中 r22r1 即 y2r1sin ，其中 cos d r1， 粒子经过 A 点的条件是 nyl，n1,2,3， 且 qvBmv 2 r1 得 vqBl 2m 1 3 1 n2，n1,2,3， 因 vv0，故 n 只能取 1 或 2，故粒子的速度大小为 v 3qBl 3m 或 v 21qBl 12m 。 【素养解读】本题考查带电粒子在组合场中的运动。考查考生的综合分析能力及数学知识处理物理问题的 能力，体现了科学思维中模型建构、科学推理等素养要素。 二、电场与磁场的组合 1带电粒子先在电场中做匀加速直
7、线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图： 2带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图： 5 / 12 【典例 2】如图所示，真空中有一以 O 点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为 R0.5 m，磁场方向垂直纸 面向里。在 yR 的区域存在沿 y 轴负方向的匀强电场，电场强度为 E1.0 105 V/m。在 M 点有一正粒 子以速率v1.0 106 m/s 沿x轴正方向射入磁场， 粒子穿出磁场进入电场， 速度减小至0后又返回磁场， 最终又
8、从磁场离开。已知粒子的比荷为q m1.0 10 7 C/kg，粒子重力不计。求： (1)圆形磁场区域磁感应强度的大小； (2)沿 x 轴正方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。 【答案】(1)0.2 T (2)(0.51)m 【解析】(1)沿 x 轴正方向射入磁场的粒子在进入电场后，速度减小到 0，粒子一定是从如图所示的 P 点竖 直向上射出磁场，逆着电场线运动，所以可得粒子在磁场中做圆周运动的半径 rR0.5 m， 根据 Bqvmv 2 r ，得 Bmv qR， 代入数据得 B0.2 T。 (2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从 N 点射出磁场如(1)中图所示，MN 的长度
9、等于直径，粒子在磁场 中的路程为二分之一圆周长，即 s1R， 设粒子在电场中运动的路程为 s2， 根据动能定理得 Eq s2 2 1 2mv 2，得 s 2mv 2 Eq ， 则总路程 sRmv 2 Eq ， 代入数据得 s(0.51)m。 6 / 12 【素养解读】本题考查带电粒子在组合场中的运动，体现了科学推理素养和应用创新的价值观念。 1 【2017 全国卷】如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy 平面)向里的磁场。在 x0 区域，磁感应强度的 大小为 B0；x1)。一质量为 m、电荷量为 q(q0)的带电粒子 以速度 v0从坐标原点 O 沿 x 轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度
10、方向再次沿 x 轴正向时， 求：(不计重力) (1)粒子运动的时间； (2)粒子与 O 点间的距离。 2如图所示，M、N、P 为很长的平行边界，M、N 与 M、P 间距分别为 l1、l2，其间分别有磁感应强度为 B1和 B2的匀强磁场区域，磁场和方向垂直纸面向里，B1B2。有一电荷量为 q、质量为 m 的带正电 粒子，以某一初速度垂直边界 N 及磁场方向射入 MN 间的磁场区域。不计粒子的重力。求： (1)要使粒子能穿过磁场进入磁场，粒子的初速度 v0至少应为多少； (2)若粒子进入磁场的初速度 v12qB1l1 m ，则粒子第一次穿过磁场所用时间 t1是多少； (3)粒子初速度 v 为多少时
11、，才可恰好穿过两个磁场区域。 3如图所示，宽度为 3L 的区域被平均分为区域、，其中区域、有匀强磁场，它们的磁感应 强度大小相等，方向垂直纸面且相反。长为 3L、宽为L 2的矩形 abcd 紧邻磁场下方，与磁场边界对齐，O 为 dc 边中点，P 为 dc 中垂线上一点，OP3L。矩形内有匀强电场，电场强度大小为 E，方向由 a 指向 7 / 12 O。电荷量为 q、质量为 m、重力不计的带电粒子由 a 点静止释放，经电场加速后进入磁场，运动轨迹刚 好与区域的右边界相切。求： (1)该粒子经过 O 点时的速度大小 v0； (2)匀强磁场的磁感应强度大小 B； (3)若在 aO 之间距 O 点 x
12、 处静止释放该粒子， 粒子在磁场区域中共偏转 n 次到达 P 点， x 应满足的条件 及 n 的可能取值。 4 【2019 大庆实验中学检测】如图所示，直角坐标系中的第象限中存在沿 y 轴负方向的匀强电场，在第 象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为 q、质量为 m 的带正电粒子，在 x 轴上的 a 点以速 度 v0与 x 轴负方向成 60 角射入磁场，从 yL 处的 b 点沿垂直于 y 轴方向进入电场，并经过 x 轴上 x 2L 处的 c 点。不计粒子重力。求： (1)磁感应强度 B 的大小； (2)电场强度 E 的大小； (3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。 5 【2019
13、烟台模拟】如图所示，边长为 3L 的正方形区域分成相等的三部分，左右两侧为匀强磁场，中间区 域为匀强电场。左侧磁场的磁感应强度大小为 B1 6mqU 2qL ，方向垂直纸面向外；右侧磁场的磁感应强度 大小为 B2 6mqU qL ，方向垂直于纸面向里；中间区域电场方向与正方形区域的上下边界平行。一质量为 m、电荷量为q 的带电粒子，从平行金属板的正极板开始由静止被加速，加速电压为 U，加速后粒子从 a 点进入左侧磁场， 又从距正方形上下边界等间距的 b 点沿与电场平行的方向进入电场， 不计粒子重力。 求： 8 / 12 (1)粒子经过平行金属板加速后的速度大小； (2)粒子在左侧磁场区域内运动
14、时的半径及运动时间； (3)电场强度的取值在什么范围内时，粒子能从右侧磁场的上边缘 cd 间离开。 1(1)m B0q 11 (2)2mv0 B0q 11 【解析】(1)在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动。设在 x0 区域，圆周半径为 R1；在 x0 区域，圆周 半径为 R2。由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得 qB0v0mv0 2 R1 qB0v0mv0 2 R2 粒子速度方向转过 180 时，所需时间 t1为 t1R1 v0 9 / 12 粒子再转过 180 时，所需时间 t2为 t2R2 v0 联立式得，所求时间为 t0t1t2m B0q 11 。 (2)由几何关系及式得，所求距离为 d02(
15、R1R2)2mv0 B0q 11 。 2(1)B1ql1 m (2) m 6B1q (3) qB1l1qB2l2 m 【解析】(1)设粒子的初速度为 v0时恰好能进入磁场，则进入磁场时速度恰好沿边界 M，所以运动 半径 rl1， 由 B1qv0mv0 2 r ，解得 v0B1ql1 m 。 (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动， 由 B1qv1mv1 2 r1 ，解得 r12l1， 设粒子在磁场中做匀速圆周运动(轨迹如图甲)对应的圆心角为 ，则有 sin l1 r1 1 2，所以 6， 所以粒子第一次穿过磁场所用时间为 t1 2T 1 12 2m B1q m 6B1q。 (3)设粒子速度为 v 时
16、，粒子在磁场中的轨迹恰好与边界 P 相切，轨迹如图乙所示， 由 Bqvmv 2 R可得 R1 mv B1q，R2 mv B2q， 由几何关系得 sin l1 R1 qB1l1 mv ， 粒子在磁场中运动有 R2R2sin l2， 10 / 12 解得 vqB1l1qB2l2 m 。 3(1) 2qEL m (2) 3mE 2qL (3)x 3 2n 1 6 2L，n2,3,4,5,6,7,8 【解析】 (1)由题意，根据几何关系可知 aOL，粒子在电场中从 a 到 O 加速，由动能定理得：qEL1 2mv0 2 解得 v0 2qEL m 。 (2)粒子在磁场区域中的运动轨迹如图，设粒子轨迹半径
17、为 R0， 由几何关系可得： R0R0cos 60 3 3 L 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：qv0Bmv0 2 R0 联立式得：B 3mE 2qL。 (3)若粒子在磁场中一共经过 n 次偏转到达 P，设粒子轨迹半径为 R， 由图中几何关系有：2n 3L 6 tan 30 Rcos 303L 依题意有 0RR0 联立式得9 7n9，且 n 取正整数 设粒子在磁场中的运动速率为 v，有：qvBmv 2 R 在电场中的加速过程，由动能定理得：qEx1 2mv 2 联立式得：x 3 2n 1 6 2L，其中 n2,3,4,5,6,7,8。 4(1)3mv0 2qL (2)mv0 2 2qL (3)
18、 2 9 11 / 12 【解析】(1)带电粒子在磁场中运动轨迹如图，由几何关系可知： rrcos 60 L，r2L 3 又因为 qv0Bmv0 2 r 解得：B3mv0 2qL 。 (2)带电粒子在电场中运动时，沿 x 轴有：2Lv0t2 沿 y 轴有：L1 2at2 2，又因为 qEma 解得：Emv0 2 2qL。 (3)带电粒子在磁场中运动时间为：t11 3 2r v0 4L 9v0 带电粒子在电场中运动时间为：t22L v0 所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为：t1 t2 2 9 。 5(1) 2qU m (2)2L 3 L 3 2m 3qU (3) 11U 16LE 2U L
19、 【解析】(1)粒子在电场中运动时 qU1 2mv 2， 解得 v 2qU m 。 (2)粒子进入磁场 B1后由洛伦兹力提供向心力 qvB1mv 2 R1 ， 解得 R12L 3 设粒子在磁场 B1中转过的角度为 ， 如图所示，由 sin L R1， 解得 60 ，周期 T2R1 v 粒子在磁场 B1中运动的时间为 t1 6T L 3 2m 3qU。 12 / 12 (3)粒子在磁场 B2中运动，设在上边缘 cd 间离开的临界速度分别为 vn与 vm，与之相对应的半径分别为 Rn与 Rm。如图所示，由分析知 Rn3 4L，RmL 由洛伦兹力提供向心力 qvnB2mvn 2 Rn 粒子在电场中 qEnL1 2mvn 21 2mv 2，得 E n11U 16L 同理 Em2U L 所以电场强度的范围为11U 16LE 2U L 。
