1、2022-11-281 本章将给出动力学系统仿真算法的本章将给出动力学系统仿真算法的设计思想设计思想和和分析分析方法方法，并介绍由这些思想得到的一些，并介绍由这些思想得到的一些常用仿真算法常用仿真算法。根。根据实际问题的需要，灵活应用本章给出的常用据实际问题的需要，灵活应用本章给出的常用算法的构算法的构造思想造思想，将它们适当的组合，可构造出合适的算法，实，将它们适当的组合，可构造出合适的算法，实现对复杂动力学系统有效的数字仿真。现对复杂动力学系统有效的数字仿真。在工程领域中，连续系统是最常见的系统，其仿真方在工程领域中，连续系统是最常见的系统，其仿真方法是系统仿真技术中最基本、最常用和最成熟
2、的。进行数法是系统仿真技术中最基本、最常用和最成熟的。进行数字仿真首先要建立被仿真系统的数学模型，并将此模型转字仿真首先要建立被仿真系统的数学模型，并将此模型转换成计算机可接受的、与原模型等价的仿真模型，然后编换成计算机可接受的、与原模型等价的仿真模型，然后编制仿真程序，使模型在计算机上运转。制仿真程序，使模型在计算机上运转。2022-11-282仿真算法仿真算法系统仿真系统仿真MATLAB的函数的函数采样控制系统仿真采样控制系统仿真2022-11-283引言：引言：对象与工具的矛盾对象与工具的矛盾连续系统连续系统数字计算机数字计算机被仿真系统的数值及时间被仿真系统的数值及时间均具有连续性均具
3、有连续性数字计算机的数值及时间数字计算机的数值及时间均具有离散性均具有离散性对象与工具的矛盾对象与工具的矛盾前者如何用后者来实现？前者如何用后者来实现？如何保证离散模型的计算结果从原理上的确能代表原系统如何保证离散模型的计算结果从原理上的确能代表原系统的行为，这是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。的行为，这是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。相似原理相似原理 如何将连续系统的数字模型转换成计算机可接受的等价仿真模如何将连续系统的数字模型转换成计算机可接受的等价仿真模型，采用何种方法在计算机上求解此模型，这是连续系统数字仿真型，采用何种方法在计算机上求解此模型，这是连续系统数字仿真算法要解决
4、的问题。算法要解决的问题。2022-11-284相似原理相似原理原系统模型原系统模型的的一般形式：一般形式：离散化后：离散化后：对所有对所有k0,1,2,，若有，若有 可认为两模型等价可认为两模型等价称为相似原理。称为相似原理。注意：注意：要保证两模型完全等价是不可能的。模型等价的精度取决于计算要保证两模型完全等价是不可能的。模型等价的精度取决于计算机字长引入的舍入误差和数值积分算法。关键是数值积分算法。机字长引入的舍入误差和数值积分算法。关键是数值积分算法。数值积分算法数值积分算法也称为仿真建模方法。也称为仿真建模方法。),(),(ttutxfx),(),(ttutxfx 0)()()(0)
5、()()(kkkxkkkutxtxtetutute 系统仿真是利用相似理论、控制理论、计算技术等理论技系统仿真是利用相似理论、控制理论、计算技术等理论技术，通过综合性的模型实验来揭示原型的本质和运动规律的科术，通过综合性的模型实验来揭示原型的本质和运动规律的科学方法。学方法。2022-11-285数字仿真的本质和基本要求数字仿真的本质和基本要求 用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法都只能是原积分的一种近似。因此，法来实现的。任何一种计算方法都只能是原积分的一种近似。因此，连续系统仿真，从本质
6、上来说，是从时间、数值两个方面对原系统进连续系统仿真，从本质上来说，是从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到离行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到离散模型来近似原连续模型。散模型来近似原连续模型。相似原理用于仿真时，对仿真建模方法有三个基本要求：相似原理用于仿真时，对仿真建模方法有三个基本要求：(1)稳定性稳定性(2)准确性准确性(3)快速性快速性对系统进行时域仿真分析，实际上就是要求解微分方程的对系统进行时域仿真分析，实际上就是要求解微分方程的“初值问题初值问题”。)(),(,()(tutxtftx00)(xtx求求的解
7、的解精度问题精度问题效率问题效率问题存在问题存在问题2022-11-286连续系统数字仿真的两种方法连续系统数字仿真的两种方法实时半实物仿真原理实时半实物仿真原理基于离散相似原理建立的欧拉法、梯形法、基于离散相似原理建立的欧拉法、梯形法、Adams法法基于基于Taylor级数匹配原理建立的级数匹配原理建立的RungeKutta法、线性多步法法、线性多步法数值积分法：数值积分法：离散相似法：离散相似法：采样控制系统的仿真方法采样控制系统的仿真方法数值积分法的选择与计算步长的确定数值积分法的选择与计算步长的确定 数值积分法稳定性分析数值积分法稳定性分析 离散相似法离散相似法数值积分法数值积分法基于
8、离散相似原理基于离散相似原理基于泰勒级数匹配原理基于泰勒级数匹配原理连续系统近似离散化连续系统近似离散化2022-11-2876.1 仿真算法仿真算法积分的几何意义：积分的几何意义：曲线下面的面积曲线下面的面积积分的含义：积分的含义：离散和离散和连续和连续和6.1.1 数值积分法的基本原理数值积分法的基本原理已知描述某系统的一阶微分方程及其初值为已知描述某系统的一阶微分方程及其初值为 在微分方程理论中称为在微分方程理论中称为初值问题初值问题 方程的解为方程的解为 00)(),(ytyytfy ttdtytftyty0),()()(0110,ktttt时的时的连续解连续解为 在在110),()(
9、),()()(01kkkttkttkdtytftydtytftyty差分方程差分方程 kkkQyy11),(kkttkdtytfQ问题的关键：如何计算此积分？问题的关键：如何计算此积分？数值积分法的说法是从数学观点提出的，离散相似原理的说法揭数值积分法的说法是从数学观点提出的，离散相似原理的说法揭示了本质，与工程实际更接近，两者其实是统一的。示了本质，与工程实际更接近，两者其实是统一的。2022-11-289数值积分法的基本原理数值积分法的基本原理数值积分法（数值解法），就是对一阶常微分方程（组）数值积分法（数值解法），就是对一阶常微分方程（组）建立离散形式的数学模型建立离散形式的数学模型差分
10、方程，并求出其数值解。差分方程，并求出其数值解。关键是如何计算关键是如何计算Q Qk k！围绕！围绕Q Qk k，产生了各种各样的数值积分，产生了各种各样的数值积分法！不同的积分方法，对系统求解的精度、速度和数值稳定法！不同的积分方法，对系统求解的精度、速度和数值稳定性等，都有不同的影响。性等，都有不同的影响。根据已知的初值根据已知的初值y y0 0，可逐步递推算出以后各时刻的数值，可逐步递推算出以后各时刻的数值y yi i。采用不同的递推算法，就出现了各种各样的数值积分法。采用不同的递推算法，就出现了各种各样的数值积分法。数值积分是解决初值已知，对数值积分是解决初值已知，对f f(t,yt,
11、y)进行近似积分，对进行近似积分，对y y(t t)进行数值求解的方法。进行数值求解的方法。所谓数值解法，就是寻求初值问题的解所谓数值解法，就是寻求初值问题的解在一系列离散点的近似解（数值解）在一系列离散点的近似解（数值解）结论结论计算步长计算步长：相邻两个离散点的间距称为计算步长计算步长或步距步距：h=tk+1tk 2022-11-2810欧拉法欧拉法很少实用，但能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。很少实用，但能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。00)(),(ytyytfy对微分方程积分，写作对微分方程积分，写作 ttdtytfyty0),()(0图示曲线下的面积就是图示曲线下的
12、面积就是y y(t t)。在一个步距内，有在一个步距内，有 1)(,()()(1kkttkkdttytftyty 在在t tt t0 0时，时，f f(t t,y y)是未知的，上式右端的积分是求不出来的。为了求是未知的，上式右端的积分是求不出来的。为了求此积分，把积分间隔取得足够小，使得在此积分，把积分间隔取得足够小，使得在t tk k与与t tk+1k+1之间的之间的f f(t t,y y)可以近似看可以近似看成常数，这样便得到用矩形公式计算积分得近似公式：成常数，这样便得到用矩形公式计算积分得近似公式：),()(00011ytfhyyty),()(11122ytfhyyty当当t t=t
13、 t2 2时，时，对于任意时刻，对于任意时刻，),()(11kkkkkytfhyyty注意：注意：f f(t tk k,y yk k)也就也就是是y y(t tk k)的导数。的导数。一般递推差分方程形式一般递推差分方程形式 kkkfhyy12022-11-2811 为了提高精度，可考虑用梯形代替矩形为了提高精度，可考虑用梯形代替矩形来近似小区间的曲线积分表示的曲面面积。来近似小区间的曲线积分表示的曲面面积。),(),(21)(1111kkkkkkkytfytfhyyty梯形法近似积分形式梯形法近似积分形式 式中隐含有未知量式中隐含有未知量 fk+1，梯形法是隐函数形式。，梯形法是隐函数形式。
14、一般用欧拉法估计初值，用梯形法校正：一般用欧拉法估计初值，用梯形法校正：),()(1kkkikytfhyy),(),(21)(11)1(1ikkkkkikytfytfhyy欧拉法估计欧拉法估计 梯形法校正梯形法校正 通过反复迭代，直到满足误差通过反复迭代，直到满足误差要求要求)(1)1(1ikikyy梯形法实质上是采用了连续两点斜率平均值，以提高计算精度。梯形法实质上是采用了连续两点斜率平均值，以提高计算精度。估计估计校正方法校正方法2022-11-2812 这一思想被广泛应用于许多算法之中。实际应用时，可采用这一思想被广泛应用于许多算法之中。实际应用时，可采用加权平均，即在每一步中取若干点，
15、分别求出其斜率，然后加不加权平均，即在每一步中取若干点，分别求出其斜率，然后加不同的权。同的权。21)1(121kkhyykik),();,()(1121ikkkkytfkytfk数值积分统一公式数值积分统一公式 niniikiikikfbhyay011 f(t,y)y(t)的导数的导数 权值权值权值权值计算步距计算步距前一步或多步计算的结果前一步或多步计算的结果梯形法公式梯形法公式2022-11-2813几个概念几个概念 单步法与多步法单步法与多步法 解初值问题的各种数值方法的共同特点是：步进式，即从最初一解初值问题的各种数值方法的共同特点是：步进式，即从最初一点或几点出发，每一步根据点或几
16、点出发，每一步根据yk一点或与前面几点一点或与前面几点yk-1，yk-2，来计算，来计算yk+1的值，这样逐步递推。的值，这样逐步递推。单步法：单步法：从从yk推进到推进到yk+1只需用到时刻只需用到时刻tk的数据时，称为单步法。的数据时，称为单步法。多步法：多步法：从从yk推进到推进到yk+1需要用到时刻需要用到时刻tk以及过去时刻以及过去时刻tk-1，tk-2，的数的数据时，称为多步法。据时，称为多步法。显式与隐式显式与隐式显式：计算显式：计算yk+1所用到的数据均已解算出来；所用到的数据均已解算出来；隐式：在算式中隐含有未知量。隐式：在算式中隐含有未知量。2022-11-2814几个概念
17、几个概念)(1rhO)(1rhO)(1rhO截断误差截断误差 分析数值积分的精度常用泰勒级数作为工具。分析数值积分的精度常用泰勒级数作为工具。假设前一步的结果假设前一步的结果y(tk)是精确的，则在数学上，可用泰勒级数是精确的，则在数学上，可用泰勒级数求得下一步的精确解为：求得下一步的精确解为：)()(!1)(21)()()(1)(2rkrrkkkkhOtyhrtyhtyhtyhty 表示高阶无穷小之意。表示高阶无穷小之意。若只取前两项之和来近似，则由这种方法单独一步引入的附若只取前两项之和来近似，则由这种方法单独一步引入的附加误差加误差局部截断误差（局部离散误差），是近似值与微分方局部截断误
18、差（局部离散误差），是近似值与微分方程的解之间的误差。程的解之间的误差。若某种方法的局部截断误差为若某种方法的局部截断误差为 ，则称它有，则称它有r阶精度，即阶精度，即该方法是该方法是r阶的。阶的。r是衡量精度的重要标志。是衡量精度的重要标志。欧拉法只是精确解的一次近似式，因此欧拉法的截断误差欧拉法只是精确解的一次近似式，因此欧拉法的截断误差为为 ，欧拉法为一阶精度。，欧拉法为一阶精度。)(2hO2022-11-2815几个概念几个概念舍入误差舍入误差 舍入误差与计算机的字长、所使用的数字系统、数的运算次序舍入误差与计算机的字长、所使用的数字系统、数的运算次序以及子程序的精确度等有关。舍入误差
19、与计算步长成反比，步长小，以及子程序的精确度等有关。舍入误差与计算步长成反比，步长小，计算次数就多，舍入误差就大。计算次数就多，舍入误差就大。由于计算机技术的发展，现代计算机仿真可以忽略舍入误差。由于计算机技术的发展，现代计算机仿真可以忽略舍入误差。数值稳定性数值稳定性 采用数值方法解稳定的方程（稳定的系统）时，应保持系统稳定采用数值方法解稳定的方程（稳定的系统）时，应保持系统稳定的特征，即要求用于计算的差分方程是稳定的。但是，由于计算机逐的特征，即要求用于计算的差分方程是稳定的。但是，由于计算机逐次计算时，初始数据的误差及计算过程的舍入误差对后面的计算结果次计算时，初始数据的误差及计算过程的
20、舍入误差对后面的计算结果将会产生影响（误差会传播）。所以带来计算数值是否稳定的问题。将会产生影响（误差会传播）。所以带来计算数值是否稳定的问题。所谓稳定性问题就是指误差的积累是否受到控制的问题。所谓稳定性问题就是指误差的积累是否受到控制的问题。一般地，如果计算结果对初始数据的误差以及计算过程的舍入误一般地，如果计算结果对初始数据的误差以及计算过程的舍入误差不敏感的话，就说相应的计算方法是稳定的，否则称之为不稳定。差不敏感的话，就说相应的计算方法是稳定的，否则称之为不稳定。2022-11-2816泰勒级数匹配泰勒级数匹配原理原理)(!1!211)(21 rkrrkkkkhOhyrhyhyyy表示
21、高阶无表示高阶无 穷小穷小 直接应用直接应用Taylor展开式构造精度较高的方法是不现实的：计算展开式构造精度较高的方法是不现实的：计算y(t)的高阶导数很困难，求复合函数的各阶偏导数往往更复杂。即使的高阶导数很困难，求复合函数的各阶偏导数往往更复杂。即使能得到解析公式，计算量也是很可观的。能得到解析公式，计算量也是很可观的。如何计算如何计算y(tm+1)的近似值的近似值ym+1能否不计算高阶导数、各阶偏导数？能否不计算高阶导数、各阶偏导数？计算精度计算精度与精确展开式的前若干项一致？与精确展开式的前若干项一致？应用这种原理构造的应用这种原理构造的 ym+1 的计算过程将不需要计算的计算过程将
22、不需要计算y(t)的高的高阶导数，或者只需计算一些比较低阶的导数，但与精确值阶导数，或者只需计算一些比较低阶的导数，但与精确值 y(tm+1)之间的误差是之间的误差是h的高阶无穷小量。的高阶无穷小量。用点用点(tm，y(tm)邻域中的若干个点邻域中的若干个点(t，y(t)上的值来构造近似值上的值来构造近似值ym+1的计算公式。要求该公式在的计算公式。要求该公式在(tm，y(tm)处的处的Taylor展开式与精确展开式与精确展开式的前若干项一致。展开式的前若干项一致。2022-11-2817龙格龙格库塔法库塔法基本思想基本思想 利用低阶导数构成的曲线去拟合含有高阶导数的曲线，利用低阶导数构成的曲
23、线去拟合含有高阶导数的曲线，避免计算高阶导数。避免计算高阶导数。2022-11-2818二阶龙格二阶龙格库塔法库塔法设原微分的解具有如下的形式设原微分的解具有如下的形式将将K2展成泰勒一次近似式展成泰勒一次近似式代回、比较，代回、比较，有多个解！有多个解！a1=a2二阶二阶RK法公式法公式如何选取待求的参数如何选取待求的参数a，b1和和b2？2022-11-2819四阶四阶RK法公式法公式RK4公式是公式是4点导数的加权平点导数的加权平均和，由于第均和，由于第2点、第点、第3点以点以h/2为步长，精度较高，所以加权为步长，精度较高，所以加权平均时各取平均时各取2份，第份，第1、4点各取点各取1
24、份。份。龙格龙格库塔法的基本思想库塔法的基本思想 用用 f(tm,ym)在几个不同点的数值在几个不同点的数值加权平均代替加权平均代替(t，y(t)，h)的值的值，而使截断误差的阶数尽可能高。而使截断误差的阶数尽可能高。也就是说，取不同点的斜率加权平均作为平均斜率，从而提高也就是说，取不同点的斜率加权平均作为平均斜率，从而提高方法的阶数。方法的阶数。2022-11-2820龙格龙格库塔法的一般形式库塔法的一般形式 不论几阶龙格不论几阶龙格库塔法，它们的计算公式总是由两部分组成：库塔法，它们的计算公式总是由两部分组成：上一步的计算结果上一步的计算结果 ym 及步长及步长h乘以乘以 tmtm+1中各
25、点导数的加权平均和。中各点导数的加权平均和。2022-11-2821 从前面的分析可知，数值积分方法就是采用不同的差分方程从前面的分析可知，数值积分方法就是采用不同的差分方程来逼近原微分方程。来逼近原微分方程。数值积分方法的选择与仿真的精度、速度、计算稳定性、自数值积分方法的选择与仿真的精度、速度、计算稳定性、自启动能力等密切相关，涉及因素较多，至今尚无一种确定的方法启动能力等密切相关，涉及因素较多，至今尚无一种确定的方法来选择最好的积分形式。这里提出一些选择时应考虑的因素。来选择最好的积分形式。这里提出一些选择时应考虑的因素。数值积分的精度主要受三个因素的影响：截断误差、舍入误数值积分的精度
26、主要受三个因素的影响：截断误差、舍入误差、积累误差。其中截断误差取决于积分方法的阶次与步长。在差、积累误差。其中截断误差取决于积分方法的阶次与步长。在同一种算法下同一种算法下(阶次相同阶次相同)，步长越小，截断误差越小；同样的步，步长越小，截断误差越小；同样的步长下，算法阶次越高，截断误差越小。舍入误差主要取决于计算长下，算法阶次越高，截断误差越小。舍入误差主要取决于计算机的字长，字长越长，舍入误差越小。而积累误差对计算精度的机的字长，字长越长，舍入误差越小。而积累误差对计算精度的影响，又与积分算法和数值积分计算时间的长短有关。总之，应影响，又与积分算法和数值积分计算时间的长短有关。总之，应根
27、据精度要求，合理地选择积分方法和阶数。根据精度要求，合理地选择积分方法和阶数。(1)精度要求精度要求2022-11-2822 计算速度取决于积分步长及每一步积分所需的时间。每一步的计算速度取决于积分步长及每一步积分所需的时间。每一步的计算时间与积分方法有关，它主要取决于计算右函数的次数。在进计算时间与积分方法有关，它主要取决于计算右函数的次数。在进行数值积分中，最费时的部分是积分变量导数的计算。行数值积分中，最费时的部分是积分变量导数的计算。RK4在每一在每一步中都要计算步中都要计算4次导数，费时较多；而显式次导数，费时较多；而显式 Adams 法中，每步只要法中，每步只要求计算求计算 1 次
28、变量导数，计算速度相对较快。在积分方法已定的条件次变量导数，计算速度相对较快。在积分方法已定的条件下，应在保证精度要求的前提下，尽量选用较大步长，以缩短积分下，应在保证精度要求的前提下，尽量选用较大步长，以缩短积分时间。时间。(2)计算速度计算速度 进行数字仿真，首先应保证所选方法的数值解是稳定的，否则进行数字仿真，首先应保证所选方法的数值解是稳定的，否则计算结果就失去了意义。数值方法的选择具有较大的灵活性，应根计算结果就失去了意义。数值方法的选择具有较大的灵活性，应根据具体情况而定。据具体情况而定。(3)数值计算的稳定性数值计算的稳定性2022-11-2823 针对一些变量随时间变化过程中包
29、含有变化较快及较慢的部针对一些变量随时间变化过程中包含有变化较快及较慢的部分，采用根据给定计算误差，调整积分步长的策略，使快过程计分，采用根据给定计算误差，调整积分步长的策略，使快过程计算时步长会自动缩小，慢过程计算时步长又自动放大，可以获得算时步长会自动缩小，慢过程计算时步长又自动放大，可以获得较好的仿真速度和精度。较好的仿真速度和精度。(5)变步长能力变步长能力(4)自启动能力自启动能力 单步法具有自启动能力，多步法没有自启动能力，需用单单步法具有自启动能力，多步法没有自启动能力，需用单步法启动后才能计算。步法启动后才能计算。2022-11-2824步长选择原则步长选择原则(6)步长选择原
30、则步长选择原则 选择步长除了应考虑上述诸因素的影响外，一般可根据采用的积选择步长除了应考虑上述诸因素的影响外，一般可根据采用的积分方法的稳定半径分方法的稳定半径rk来确定积分步长。为了保证计算的稳定性，步长来确定积分步长。为了保证计算的稳定性，步长h一般应限制在最小时间常数一般应限制在最小时间常数Tmin（相当于最大特征值（相当于最大特征值max的倒数）的倒数）的数量级，因此的数量级，因此h的选择首先应满足的选择首先应满足 maxkrh krThmin 或或 还可根据经验公式选取步长。如工程中采用还可根据经验公式选取步长。如工程中采用RK4时，时，h可选为可选为 ch)105(140,10sr
31、tth （见采样定理）或（见采样定理）或 c系统开环频率特性的剪切频率（穿越频率）；系统开环频率特性的剪切频率（穿越频率）；tr系统在阶跃函数作用下的上升时间；系统在阶跃函数作用下的上升时间；ts系统在阶跃函数作用下的调整时间。系统在阶跃函数作用下的调整时间。2022-11-2825步长选择原则步长选择原则 系统中最小时间常数的极点只影响瞬态过程起始段的系统中最小时间常数的极点只影响瞬态过程起始段的形状，而瞬态过程则主要由那些靠近虚轴的主导极点所决形状，而瞬态过程则主要由那些靠近虚轴的主导极点所决定，由于固定步长是按起始段选取的，这就会造成后面阶定，由于固定步长是按起始段选取的，这就会造成后面
32、阶段计算量的浪费，因而可采用变步长的方法。段计算量的浪费，因而可采用变步长的方法。应当指出应当指出 2022-11-2826标量齐次微分方程标量齐次微分方程齐次状态方程齐次状态方程 由由 转移而来，是一种向量变换关系。转移而来，是一种向量变换关系。变换矩阵变换矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵注意：状态转移矩阵与线性变注意：状态转移矩阵与线性变换矩阵的区别！换矩阵的区别！axx)0()(xetxatAXX 0),0()(0tXetXAt0),()(00)(0ttXetXttA)(tX)(0tX系统自由运动的性质完全由状态转移矩阵系统自由运动的性质完全由状态转移矩阵 确定！确定！)(t2022-11-
33、2827状态方程状态方程 的解为：的解为：如何解得状态转移矩阵！如何解得状态转移矩阵！非齐次状态方程非齐次状态方程BuAXX零输入响应零输入响应自由响应自由响应零状态响应零状态响应强迫响应强迫响应关键关键 适当地选择控制作用适当地选择控制作用u(t)，可使系统的响应过程，即状态，可使系统的响应过程，即状态X(t)按预按预定性能指标的要求变化。定性能指标的要求变化。结论结论2022-11-2828根据状态方程的解式，可以得到根据状态方程的解式，可以得到 duBeXekTXkTkTAAkT0)()()0()(duBeXeTkXTkTkATkA)1(0)1()1()()0()1(duBekTXeTk
34、XTkkTTkAAT)1()1()()()1(2022-11-2829duBekTXeTkXTkkTTkAAT)1()1()()()1(令令kTt，并考虑，并考虑B是常数阵，而在相邻的采样点之间是常数阵，而在相邻的采样点之间 保持不变，保持不变，即当即当kT(k1)T 时，时，可得，可得)(tu)()(kTutu)()()1(0)(kTuBdtekTXeTkXTtTAATATeTTF)()(TtTABdteTG0)()()()()()()1(kTuTGkTXTFTkX离散化模型实质上就是原来连续系统的解离散化模型实质上就是原来连续系统的解2022-11-2830图图6-4 连续系统的离散化连续
35、系统的离散化保持器保持器sesGTsh1)(采样器采样器采样周期采样周期cT)5030(1系统开环幅值穿越频率系统开环幅值穿越频率保持器传递函数保持器传递函数sysd=c2d(sysc,Ts,method)零阶保持器零阶保持器zoh2022-11-2831T,Y=ode45(f,tspan,y0,option)T,Y=ode23(f,tspan,y0,option)T,Y=ode113(f,tspan,y0,option)T,Y=ode15s(f,tspan,y0,option)T,Y=ode23s(f,tspan,y0,option)T,Y=ode23t(f,tspan,y0,option)
36、T,Y=ode23tb(f,tspan,y0,option)2022-11-28322133123212yyyyyyyyy5.0)0(5.0)0(0)0(321yyy20,0t求求方程的解方程的解2022-11-28330)1(2yyyy 0)0(y1)0(y 20,0t1221221)1(yyyyyyyy 1 设设表示为一阶微分方程组表示为一阶微分方程组求求方程的解方程的解2022-11-2834step(sys,T)T=T0,Ts,Tfinal Ts:采样周期step(sys)系统默认系统默认51)(2ssssG例例64基本调用格式基本调用格式阶跃响应仿真函数阶跃响应仿真函数step(sy
37、s,Tfinal)2022-11-2835step(sys1,sys2,.)step(sys1,r,sys2,y-,sys3,gx,.)多系统调用格式多系统调用格式例例65uxxxx0107814.07814.05572.02121215609.36287.1xxy584300440403000)(2342sssssG绘制两个系统绘制两个系统系统 1系统 22022-11-2836impulse(sys)Initial(sys,X0)例例66lsim(sys,U,T)例例67gensig(Type,Tau)脉冲响应仿真函数脉冲响应仿真函数impulse(sys,Tfinal)impulse(s
38、ys,T)impulse(sys1,sys2,.,T)初始状态响应仿真函数初始状态响应仿真函数信号发生器和任意输入响应函数信号发生器和任意输入响应函数2022-11-2837图图6-13 采样控制系统采样控制系统6.3.1 采样控制系统的基本组成采样控制系统的基本组成2022-11-2838连续部分连续部分可采用数值积分法或离散相似法可采用数值积分法或离散相似法离散部分离散部分数值积分法的仿真步距数值积分法的仿真步距离散相似法的采样周期离散相似法的采样周期系统实际采样周期系统实际采样周期同步问题同步问题2022-11-2839基于数值积分法基于数值积分法基于离散相似法基于离散相似法离散时间系统
39、重新采样离散时间系统重新采样sys=d2d（model，Ts）原离散系统模型原离散系统模型新的采样周期新的采样周期连续系统离散化连续系统离散化sysd=c2d（sysc，Ts，model）连续系统模型连续系统模型模型转化方法模型转化方法离散系统仿真指令离散系统仿真指令dstep（num，den）dimpulse（num，den）dlsim（num，den）2022-11-2840图图6-15 采样控制系统举例采样控制系统举例2022-11-2841图图6-14 离散控制系统离散控制系统)sin(22lxdtdmxcFxmpt)cos(22ldtdmgmPpp IPlllxdtdmpsincos
40、)sin(22cossin)(2l xmglmlmIppp l xmglmlmIFlmxcxmmpppptp )()(22022-11-2842对图示系统进行单位阶跃响应和方波对图示系统进行单位阶跃响应和方波响应仿真。（方波周期为响应仿真。（方波周期为30s）要求：）要求：用模型连接函数求系统传递函数；用模型连接函数求系统传递函数；用用step函数求单位阶跃响应；函数求单位阶跃响应；用用gensig函数产生方波信号，用函数产生方波信号，用lsim函数求方波响应。函数求方波响应。2022-11-28432022-11-284401.12.01)(2sssGsTs3.0已知系统传递函数已知系统传递函数绘制系统阶跃响应曲线绘制系统阶跃响应曲线绘出离散化系统阶跃响绘出离散化系统阶跃响应曲线，采样周期应曲线，采样周期2022-11-28452022-11-28465.07.0)(zzzH采用周期采用周期0.1s对系统重新采样对系统重新采样采用周期采用周期0.05s求系统模型求系统模型2022-11-2847
