1、统统 计计 物物 理理热现象的微观统计理论热现象的微观统计理论基本观点基本观点:宏观物体是由大量微观粒子组成的。物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体体现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。统计物理的基本观点和方法统计物理的基本观点和方法方法方法:深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。建立统计物理要解决以下三个问题：如何求出热力学量的统计表达式（七、八 两章）。如何求出概率分布这是核心（第六章后5节）。研究对象的描述引入何种假设、模型，如何描述研究对象的运动状态(力学、几何)（第六章前3节）。主主 要要 内内 容容u系统微观状态的
2、经典描述和量子描述系统微观状态的经典描述和量子描述u等概率原理及微观状态分布等概率原理及微观状态分布u玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计u玻色统计与费米统计玻色统计与费米统计近独立粒子的最概然分布粒子间有相互作用，但可忽略不计粒子间有相互作用，但可忽略不计u系统微观状态的经典描述和量子描述系统微观状态的经典描述和量子描述u等概率原理等概率原理u三种微观状态分布（波耳兹曼分布、波色分布、三种微观状态分布（波耳兹曼分布、波色分布、费米分布）及相互关系费米分布）及相互关系主主 要要 内内 容容 6.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述一、广义动量和广义坐标具有 r个自由度的粒子具有广义坐标
3、：rqq,1广义动量：rpp,1能量：),(11rrppqq粒子运动状态：广义坐标和广义动量的一组确定值),(11rrppqq粒子的运动状态指粒子力学运动状态粒子遵守经典力学规粒子遵守量子力学规经典描述量子描述),(11rrippqqq两个不同的运动状态：两组广义坐标和广义动量中至少一个元不同。如),(11rrippqqq与的第 i i 个广义坐标不同，故表示两个不同的运动状态。空间（粒子相空间）：共2r个变量，构成一个2r维的抽象空间，成为空间（相空间）。粒子运动状态可用空间中的一个“点”进行描述。),(11rrippqqq相点：运动状态相轨道：运动状态的变化相体积：粒子状态代表点在空间所能
4、充斥的范围。1、自由粒子三维空间中，如果是直角坐标，三个坐标zyx,三个动量zmpympxmpzyx,能量)(21222zyxpppm运动状态),(zyxpppzyx粒子相空间：6 6 维，3 维坐标空间，3维动量空间。二、常见粒子微观运动状态描述实例如在一维空间自由粒子运动状态),(pxpxoL在边长 L 的线段上。1p1x随时间推移，代表点划出轨迹。代表点另一个代表点。2p等能面（线）：相空间中具有相同能量的代表点连成的面（线）。mp22：表明轨迹划出来的直线。2、一维线性谐振子运动状态),(px2222Axmp12222Axmp二维的相空间等能线：的椭圆。1pxo2椭圆面积2 abS半长
5、轴222mAa半短轴mb2两个椭圆面积差2S2mrp 引入与，共轭的广义动量)sin1(21222PPI四维粒子相空间中质点坐标：（x,y,z）动能：zxyOr)(21222zyxm如果用球极坐标r，描述质点位置：cos,sinsin,cossinrzryrx动能：)sin(21222222rrrm)sin(2122222rrm0r 22sinmrp 2mrI 转动惯量3、转子（双原子分子的转动）“量子量子”概念概念量子：量子：在微观领域中，某些物理量的变化是在微观领域中，某些物理量的变化是以最小的单位跳跃式进行的，而不是连续的以最小的单位跳跃式进行的，而不是连续的。一个物理量如果有最小的单元
6、而不可连续。一个物理量如果有最小的单元而不可连续的分割，我们就说这个物理量是量子化的，的分割，我们就说这个物理量是量子化的，并把最小的单元称为量子。并把最小的单元称为量子。量子一词来自拉丁语，原意为量子一词来自拉丁语，原意为“多少多少”，代表，代表“相当数量相当数量的某事的某事”，是一个不可分割的基本个体。例如，一个，是一个不可分割的基本个体。例如，一个“光的光的量子量子”是光的单位。是光的单位。其基本概念是物质性质也许是其基本概念是物质性质也许是“可量子化的可量子化的”。“量子化量子化”指其物理量的数值会是一些特定的数值，而不是任意值。指其物理量的数值会是一些特定的数值，而不是任意值。例如，
7、一定状态下的原子中，电子的能量是可量子化的。例如，一定状态下的原子中，电子的能量是可量子化的。这能决定原子的稳定和一般问题。这能决定原子的稳定和一般问题。6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述一、波粒二象性一、波粒二象性微观粒子既具有粒子性质，又具有波动性质。微观粒子既具有粒子性质，又具有波动性质。p,k,德布罗意关系德布罗意关系：2h.,kp联系粒子的波动性与粒联系粒子的波动性与粒子性。子性。不确定关系不确定关系：2pq不可能同时精确测量不可能同时精确测量粒子的位置和动量。粒子的位置和动量。二、量子态二、量子态不确定关系使粒子运动状态的经典描述是不精确的。不确定关系使粒
8、子运动状态的经典描述是不精确的。德布罗意波德布罗意波与与h h为普朗克常量，量子物理的基本常量。为普朗克常量，量子物理的基本常量。在量子力学中，微观粒子的运动状态为在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态量子态。量子态由一组量子态由一组量子数量子数表征，每组量子数的数目等于粒表征，每组量子数的数目等于粒子的自由度数目。子的自由度数目。三、举例三、举例1 1、自旋状态、自旋状态粒子质量粒子质量 m m，电荷，电荷 ee，自旋角动量自旋角动量 。（量子化的）。（量子化的）2自旋磁矩：自旋磁矩：meSz2zSmez2两个量子态，一个量子数两个量子态，一个量子数2zSBmeB2dxdydztzyx2)
9、,(量子态中粒子的占据几率用波函数描述。量子态中粒子的占据几率用波函数描述。表示表示t t 时刻时刻x,y,zx,y,z处在处在dxdydzdxdydz内发内发现粒子的几率。现粒子的几率。2 2、线性谐振子、线性谐振子)21(n一个量子数一个量子数 n n。3 3、自由粒子、自由粒子一维情况，粒子在长一维情况，粒子在长 L L 的区间。的区间。oL视粒子为视粒子为波波。它。它在区间在区间 L L 内应形内应形成驻波。波长成驻波。波长xnL 波矢波矢xxnLk2一个量子数一个量子数,3,2,1,0 xn,2,1,0nxxxnLkp2.2222222xxxnmLmp三维情况三维情况xxxnLkp2
10、yyynLkp2zzznLkp2,3,2,1,0 xn,3,2,1,0yn,3,2,1,0zn22222222222222)(22nmLnnnmLmpppzyxzyx能级能级简并度简并度 一个能级对应的一个能级对应的不同的量子态的数目不同的量子态的数目。).(22222222222zyxzyxnnnmLmppp2222mL能级的简并度能级的简并度.0,1,0,1,0,1xyzzxyzyxnnnnnnnnn六六22222mL简并度简并度.0,1,1,0,1,1xyzzyxnnnnnn十二十二相邻动量的差相邻动量的差LnLnLpxxx22)1(2sJ 3410055.1是很小的量是很小的量在恒定大
11、小的容积在恒定大小的容积 中，粒子相邻动量差可以看作零，中，粒子相邻动量差可以看作零，可以认为能量动量连续变化可以认为能量动量连续变化(准连续）。准连续）。3LV 在动量间隔在动量间隔 中的量子态数为中的量子态数为xxxdpppxxdpLdn2同理同理yydpLdn2zzdpLdn23LV，和和 中的量子态数为中的量子态数为zyxzyxdpdpdpLdndndn3)2(zyxdpdpdphV3yyydpppzzzdpppxxxdppp理解：理解：由测不准关系，对一维粒子由测不准关系，对一维粒子 ，最精最精确确 。若用。若用q.pq.p 描述运动状态，即代描述运动状态，即代表点的位置时，则表点的
12、位置时，则空间内空间内h h大小的相体积内只能有大小的相体积内只能有一个运动状态。否则违反测不准关系，对于三维自由一个运动状态。否则违反测不准关系，对于三维自由粒子，粒子，h h3 3大小的相格内只能有一个运动状态；对于大小的相格内只能有一个运动状态；对于有有r r 个自由度的粒子，个自由度的粒子，h hr r相体积内只能有一个状态。相体积内只能有一个状态。所以在相体积之所以在相体积之dwdw内的量了态数为内的量了态数为dppp3LV，中的量子态数中的量子态数，与动量的方向无关，积分之，与动量的方向无关，积分之ddpdphVdnsin23.423dpphVd3LV，中量子态数中量子态数 mpd
13、pdmp,22dmhVdDdn2/12/33)2(4)(2/12/33)2(4)(mhVDdpphVdppD234)(234)(phVpD球极坐球极坐标系变标系变换换态密度态密度 粒子相空间（粒子相空间（空间）空间）粒子经典运动状态粒子经典运动状态),(11rrppqq“代表点代表点”在量子力学中，微观粒子的运动状态为在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态量子态。粒子量子运动状态粒子量子运动状态量子态由一组量子态由一组量子数量子数表征表征。简并度简并度一个能级对应的不同的量子态的数目。一个能级对应的不同的量子态的数目。d3LV，中量子态数中量子态数 .)2(4)(2/12/33dmhVD量子
14、描述与经典描述之间的关系量子描述与经典描述之间的关系对于宏观大小的容积，对于宏观大小的容积，是很小的量，量子描述趋近是很小的量，量子描述趋近于经典描述。于经典描述。由于由于不确定关系不确定关系，。即在体积元即在体积元 h h 内的各运动状态，内的各运动状态，它们的差别都在测量误差之内，它们的差别都在测量误差之内，即被认为是即被认为是相同的相同的！以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为 。pxhpxpxoLpxppxx即，一个量子态对应粒子相空间一个即，一个量子态对应粒子相空间一个 h h 大小的体积元。大小的体积元。则相空间体积则相空间体积 中量子态数为中
15、量子态数为zyxdpdpVdpzyxdpdpdphV3三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元 。3h 6.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述一、全同和近独立粒子的宏观系统一、全同和近独立粒子的宏观系统全同粒子全同粒子具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的微观粒子微观粒子氢气、氧气、纯水、纯铁等等。氢气、氧气、纯水、纯铁等等。空气、合金等不是全同粒子系统。空气、合金等不是全同粒子系统。近独立粒子近独立粒子粒子之间的相互作用可以忽略不计。（有微弱相粒子之间的相互作用可以忽略不计。（有微弱相
16、互作用，以保证系统可从非平衡态到达平衡态。互作用，以保证系统可从非平衡态到达平衡态。iNiE1系统粒子数系统粒子数N能量能量jjjnE0这些粒子有不同的运动状态这些粒子有不同的运动状态 （相空间不同的体积元）。（相空间不同的体积元）。其中处于运动状态其中处于运动状态 的粒子有的粒子有 个，则系统能量又为个，则系统能量又为jjjn又又jjjNnNE0jjjpN010jp1jjp是个概率。是个概率。找到微观粒子系统对能量分布的找到微观粒子系统对能量分布的概率概率，就可以求出系统的，就可以求出系统的能量能量。目的：求出系统在热平衡状态的目的：求出系统在热平衡状态的概率分布概率分布。二、二、可分辨可分
17、辨和和不可分辨不可分辨粒子系统粒子系统微观粒子全同性原理微观粒子全同性原理(量子理论量子理论)：微观粒子（位置可以在大范围变化微观粒子（位置可以在大范围变化非定域系）非定域系）是是不可分辨的不可分辨的。经典系统：粒子可分辨经典系统：粒子可分辨量子系统：粒子不可分辨量子系统：粒子不可分辨t tt t1 1t t2 2x xt tt t1 1t t2 2波粒波粒二相二相性性x x重叠重叠定域的量子系统（定域系）粒子可分辨定域的量子系统（定域系）粒子可分辨(如粒子有固定的平衡如粒子有固定的平衡位置，如固体的原子位置，如固体的原子)。三、经典微观系统的运动状态三、经典微观系统的运动状态粒子可分辨。粒子
18、可分辨。系统的微观状态系统的微观状态确定确定,每个粒子的微观状态确定。每个粒子的微观状态确定。第第 i i 个粒子的微观状态个粒子的微观状态),(11iriiriiippqqqNr Nr 个广义坐标和个广义坐标和 NrNr 个广义动量都确定。个广义动量都确定。不同的系统微观状态不同的系统微观状态其中任意一个的数值改变。其中任意一个的数值改变。几何表示：几何表示：空间空间 N N 个代表点个代表点。任意一个代表点的任意一个代表点的位置发生变化位置发生变化不同的不同的系统微观状态。系统微观状态。经典经典统计（与统计（与玻耳兹曼玻耳兹曼统计具有类似的形式）。统计具有类似的形式）。四、四、量子系统的微
19、观状态量子系统的微观状态非定域系粒子不可区分，确定几个粒子在哪个量子非定域系粒子不可区分，确定几个粒子在哪个量子态，不确定哪几个粒子在这个量子态。态，不确定哪几个粒子在这个量子态。泡利泡利不相容原理：不相容原理：自旋整半数的粒子，在一个量子态自旋整半数的粒子，在一个量子态不可能有一个以上的粒子。不可能有一个以上的粒子。自旋整数自旋整数的粒子，不受泡令原理限制的粒子，不受泡令原理限制玻色玻色统计统计、玻色玻色粒子。粒子。自旋整半数自旋整半数粒子粒子费米费米统计统计、费米费米粒子。粒子。光子光子(自旋自旋 1 1)、声子、声子 (自旋自旋 1 1 )、等、等电子、质子、夸克等电子、质子、夸克等 （
20、自旋（自旋 1/21/2 ）定域系粒子可区分定域系粒子可区分玻耳兹曼玻耳兹曼统计统计五、例五、例两个粒子、三个量子态两个粒子、三个量子态玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计ABABABABABABA AB BA AB BA AB BB BA AB BA AB BA A态态1 1态态2 2态态3 3AAAAAAAAAAAAA AA AA AA AA AA A态态1 1态态2 2态态3 3玻色统计玻色统计态态1 1态态2 2态态3 3费米统计费米统计A AA AA AA AA AA A在系统可能出现的各种在系统可能出现的各种宏观状态宏观状态中，只有一个是中，只有一个是平衡态平衡态。如何从各种状态中将平衡态找出
21、来？必须如何从各种状态中将平衡态找出来？必须确定确定一个一个标准标准。系统的宏观热力学状态由参量系统的宏观热力学状态由参量 确定。确定。nVU,不同的宏观状态对应的微观状态数目不一样。不同的宏观状态对应的微观状态数目不一样。从微观状态出发研究不同的宏观状态的特征，以区分它从微观状态出发研究不同的宏观状态的特征，以区分它们，并确定何为平衡态。们，并确定何为平衡态。6.4 6.4 等概率原理等概率原理统计假定，其正确性由其统计假定，其正确性由其推论推论的正确与否决定。的正确与否决定。等概率原理：系统每一个等概率原理：系统每一个微观状态微观状态以以相同的概率相同的概率出现。出现。导致物理结果：导致物
22、理结果：同样条件，同样条件，宏观态宏观态1 1，微观状态数，微观状态数 n n1 1宏观态宏观态2 2，微观状态数，微观状态数 n n2 221nn 宏观态宏观态1 1出现几率大。出现几率大。于是：于是：“宏观态宏观态1 1是平衡态是平衡态”？！？！必须计算每个宏观态的微观态数。必须计算每个宏观态的微观态数。一、分布的定义一、分布的定义VNE,12l12lla2a1a能级能级简并度简并度粒子数粒子数确定的宏观确定的宏观状状态态 la表示一个分布，满足表示一个分布，满足;,EaNalllll系统的一个分布就是系统的一个分布就是N N 个粒子按能级的一套填布数个粒子按能级的一套填布数6.5 6.5
23、 分布和微观状态分布和微观状态注意：一个微观注意：一个微观状状态对应一个确定的分布，而态对应一个确定的分布，而一个分布却可以包含大量不同的微观一个分布却可以包含大量不同的微观状状态。态。二、二、分布对应的微观状态数分布对应的微观状态数微观微观状状态态:分布只管能级分布只管能级L L上的粒子数上的粒子数aL，当当分布分布aaL L 一定时：一定时：对玻耳兹曼系，微观对玻耳兹曼系，微观状状态要确定出是哪些粒态要确定出是哪些粒子在这些能级中，在什么量子态上。子在这些能级中，在什么量子态上。对非定域系，微观对非定域系，微观状状态要确定出态要确定出a aL L个粒子对个粒子对L L 个量子态的占据方式。
24、个量子态的占据方式。12l12lla2a1a1 1、玻耳兹曼系统、玻耳兹曼系统粒子可以编号粒子可以编号。aaL L 确定，确定，移动移动和和交换交换粒子可能改变系统的微观粒子可能改变系统的微观状状态；态；l4l例如例如5la1234512345laA.A.个粒子在个粒子在l个量子态中不同放置导致不同微观个量子态中不同放置导致不同微观状状态。态。12345xB.B.不同的能级之间的粒子交换导致新的微观不同的能级之间的粒子交换导致新的微观状状态。态。N N个粒子的总交换数个粒子的总交换数 N!N!lla!改变微观状态的粒子交换的改变微观状态的粒子交换的有效次数有效次数：llaN!/!la个粒子在个
25、粒子在l个量子态中放置的不同方式的数目个量子态中放置的不同方式的数目lal所以分布所以分布 对应微观对应微观状状态数态数lallllBlaNa!同能级内粒子交换总数同能级内粒子交换总数。la2 2、玻色系统玻色系统粒子不可区分，每量子态的粒子数不限。粒子不可区分，每量子态的粒子数不限。12345不动不动量子态量子态与与粒子粒子交换导致不同微观交换导致不同微观状状态态.不动不动量子态与粒子交换总数量子态与粒子交换总数)!1(lla量子态交换数量子态交换数)!1(l粒子交换数粒子交换数!lalllllEBaa)!1(!)!1(.3 3、费米系统费米系统llalla个量子态中选个量子态中选 个，每个
26、置一个粒子的方法。个，每个置一个粒子的方法。lllllDFaa)!(!.4 4、经典系统经典系统经典统计经典统计玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计简并度：简并度：lrlh0lallllcllaNa!三、非简并性条件三、非简并性条件6.6 6.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布lallllBlaNa!;,EaNalllll分布分布 la确定一个宏观状态，对应的微观状态数也给出。确定一个宏观状态，对应的微观状态数也给出。根据等概率原理假定，所有微观态出现概率相同，则根据等概率原理假定，所有微观态出现概率相同，则具有具有较多微观状态的分布，其出现的概率较大较多微观状态的分布，其出现的概率较大。平衡态平衡态较各非平衡
27、态出现的较各非平衡态出现的概率大概率大，它必定是对应，它必定是对应微观状态微观状态数目最多的分布。数目最多的分布。从微观状态数目的最大值，确定平衡态对应的分布。从微观状态数目的最大值，确定平衡态对应的分布。最可几分布最可几分布一、一、最可几分布最可几分布二、二、麦克斯韦麦克斯韦-玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布;,EaNalllll这个极值受这个极值受 的约束。的约束。;0,0lllllaEaN由拉格朗日条件极值公式，极值由如下公式确定：由拉格朗日条件极值公式，极值由如下公式确定：)(EN各个各个 不相互独立。不相互独立。la此时，各此时，各 可以看作相互独立的。可以看作相互独立的。la为了研究方便，
28、计算为了研究方便，计算如下等效的极值如下等效的极值0)(lnEN、待定。待定。这个条件为：这个条件为：由斯特令公式：由斯特令公式：AAAAln!ln（对于大（对于大 A A）。）。llllllBaaNaln!ln!lnlnllllllaaaNNlnlnlnlllllBaaalnln0)(lnEN0)(lnlllllaa0lnlllaleall麦克斯韦麦克斯韦-玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布;,EaNalllllleall;,llllllleEeN由由 已知的已知的 N N、E E 确定确定 和和 。每个量子态平均粒子数每个量子态平均粒子数llsafse6.76.7 玻色分布与费米分布玻色分布与费米分
29、布lllllEBaa)!1(!)!1(.lllllDFaa)!(!.lllllllllllEBaaaaln)1(ln)1()1(ln)1(ln.lllllllllllDFaaaaln)(ln)(lnln.)(lnln.lllllEBaaa)(lnln.lllllDFaaa0lnln.llllllEBaaaEN0lnllllaa玻色分布llllaalnleaalllleaalll 1leall1leall费米分布1leall1leall0lnln.llllllDFaaaEN6.8 6.8 三种分布的关系三种分布的关系leall1leall1leall1eleall玻色分布和费米分布 趋向于 玻耳兹曼分布。
