1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第 12 讲讲第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 主要内容主要内容二维随机变量二维随机变量设设E是一个随机试验是一个随机试验,它的样本空间是它的样本空间是S=e,设设X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在S上的上的随机变量随机变量,由它们构成一个向量由它们构成一个向量(X,Y),叫叫做做二维随机向量二维随机向量或或二维随机变量二维随机变量.1.1.二维随机向量二维随机向量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数(1)(1)定义定义),(),(yYxXPyxF yx(x,y)o(一一)(2)(2)性质性质：1 1）F(x,y)F(x,y
2、)是变量是变量 x x 和和 y y 的不减函数的不减函数,即即 对任意固定的对任意固定的y,当当x2 x1时时,有有F(x2,y)F(x1,y);对任意固定的对任意固定的x,当当y2 y1时时,有有F(x,y2)F(x,y1).2）0 F(x,y)1,且且 F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(,)=1.3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)4)对于任意对于任意x1 x2,y1 y2,有有 F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2),2121yYyxXxPy1x0 x1y2x2y(X,Y)关于关于X的边缘分布函数的边
3、缘分布函数2.2.边缘分布边缘分布 (X,Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数),(FY,PXPX)(FX xxxx),(F,)(FYyyYXPyYPy 3.随机变量独立性的定义随机变量独立性的定义)()(),(yFxFyxFYX1.1.联合分布律联合分布律：),2,1,(,jipyYxXPijji 21jyyy 212222111211ijiijjppppppppp 21ixxxYX.1211jiijp101ijpyyxxijjipyxF),(性性 质：质：分布函数：分布函数：(二二)2.2.边缘分布律边缘分布律X X 的边缘分布律的边缘分布律ijijjijippyxx11Y,XPPX
4、 边缘分布函数边缘分布函数xxjijXipxFxF1),()(Y Y 的边缘分布律的边缘分布律jiijjiiippyxPy11Y,XPY边缘分布函数边缘分布函数 1),()(iyyijYjpyFyF3.条件分布律条件分布律,.2,1,|ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji,.2,1,|jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij4.4.独立性独立性,.2,1,.2,1,jiyYPxXPyYxXPjiji,0),(1 yxf,1),(2 dxdyyxfdudvvufyxFxy ),(),(3。.),(,),(F),(42的的连连续续点点在在yxfyxyxyxf .,),(GY)P
5、(X,5是是一一平平面面区区域域GdxdyyxfG (三)1.联合概率密度及性质联合概率密度及性质2.2.边缘概率密度边缘概率密度X X 的边缘概率密度的边缘概率密度xdyyxfxfX ,),()(边缘分布函数边缘分布函数 xXxXdxxfdxdyyxfxF)(),()(Y Y 的边缘概率密度的边缘概率密度ydxyxfyfY ,),()(边缘分布函数边缘分布函数dyyfdydxyxfyFyYyY)(),()(3.3.条件概率密度条件概率密度)(),()|(|yfyxfyxfYYX)(),()|(|xfyxfxyfXXY4.独立性独立性)()(),(yfxfyxfYX(3)若若),(21,1 N
6、X)(22,2 NY.且且X X与与Y Y相互独立相互独立,则则),(22212,1 NYXX+Y X+Y 仍服从正态分布仍服从正态分布,且且),(1211 niiniiniiNX 且相互独立且相互独立,则则),2,1(),(2,niNXiii 推广推广:若若(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然 服从正态分布服从正态分布.(2)若若,),(),(222121 NYX0 X X与与Y Y相互独立相互独立则则,),(),(222121 NYX(1)若若(X,Y)的边缘分布的边缘分布均为正态分布，即均为正态分布，即:),(X211 N),(Y22
7、2 N则则正态分布随机变量的一些常用性质正态分布随机变量的一些常用性质(1)Z=X+Y 的分布的分布 分布函数分布函数:zyxZdxdyyxfzZPF),()(z概率密度概率密度:dxxzxfdyyyzfzfZ),(),()(当当X X 和和Y Y 相互独立相互独立:dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfYX)()(两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布(四四)设设X,Y是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,其概率密度为其概率密度为f(x,y),则则Z=Y/X、Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度仍为连续型随机变量，其概率密度分别为分别为dxzxxfxzfXY),(
8、|)(/dxxzxfxzfXY),(|1)(H当当X,Y 相互独立时相互独立时,dxzxfxfxzfYXXY)()(|)(/dxxzfxfxzfYXXY)()(|1)(3)当当X X 和和Y Y 相互独立时相互独立时:M=max(X,Y)的分布函数的分布函数)()()(maxzFzFzMPzFYXN=min(X,Y)的分布函数的分布函数)(minzNPzF)(1)(1 1zFzFYX 练习题一、选择题 设设X,YX,Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,且都服从且都服从 0,10,1上的均匀分布上的均匀分布,则服从区间或区域上则服从区间或区域上的均匀分布随机变量是的均匀分布随机变量是()
9、()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D),(YXYX YX 2X2.2.设设(X,Y)(X,Y)的联合概率密度是的联合概率密度是 则则X X与与Y Y为为()()的随机变量的随机变量 (A)(A)独立同分布独立同分布 (B)(B)独立不同分布独立不同分布 (C)(C)不独立同分布不独立同分布 (D)(D)不独立也不同分布不独立也不同分布 其他其他,01,1),(22yxyxf 3.3.设设X,YX,Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,其分布函数分其分布函数分 别为别为 ,.,.则则 的的 分布函数是分布函数是()()()()(zFzFAXz)()()(zFzFBYz)(),
10、(min)()(zFzFzFCYXz)(1)(1 1)()(zFzFzFDYXz )(xFX)(yFY),min(YXZ 4.4.随机变量随机变量X X与与Y Y相互独立相互独立,且且 则则Z=X+YZ=X+Y仍服从正态分布仍服从正态分布,且有且有(),(211 aNX),(222 aNY),()(22211 aNZA),()(2121 aaNZB),()(222121 aaNZC),()(222121 aaNZD9/1313/241.1.设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布律的联合分布律 为为Y 1 2 3 1 1/16 3/8 1/16 2 1/12 1/
11、6 1/4 X则则P(Y=1|X=2)=_P(Y=1|X=2)=_二、填空题二、填空题2.2.设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 XY 1 2 31 a 1/9 c-1 1/9 b 1/3若若X和和Y独立独立,则则 a=_ b=_ c=_1/9+a 1/9+b 1/3+c1/9+a+c4/9+b1/182/91/63.3.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为 其他其他,00,0,),()(yxceyxfyx则则c c的值为的值为_ _ 1 4.4.设设X X和和Y Y是两个随机变量是两个随机变量,
12、且且730,0(YXP7400 YPXP_0),max(YXP5/7提示提示:Pmax(X,Y)0=1-Pmax(X,Y)0=1-PX0,Y Y Y).).2y=xy0 xD答案：答案：P P(X X Y Y)=22121 4.4.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为 3arctan2arctan),(yCxBAyxF(1)(1)求常数求常数A,B,C;(2)A,B,C;(2)求求(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度;(3)(3)求求(X,Y)(X,Y)关于关于X X和关于和关于Y Y的边缘概率密度的边缘概率密度;(4)X(4)X和和Y Y是否相互独立是
13、否相互独立?22102021222 CBACBCBA解解得得解解:(1):(1)根据根据(X,Y)(X,Y)的分布函数的性质得的分布函数的性质得:)9)(4(6),(),(2222yxyxyxFyxf (2)(X,Y)(2)(X,Y)的概率密度为的概率密度为:(3)(X,Y)(3)(X,Y)关于关于X X和关于和关于Y Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为:)4(29)4(6),()(2222xydyxdyyxfxfX )9(34)9(6),()(2222yxdxydxyxfyfY ),()9)(4(6)()(222yxfyxyfxfYX (4)(4)因为因为所以所以X X和和Y Y相互独立相互独立.5.5.设随机变量设随机变量X X关于随机变量关于随机变量Y Y的条件密度函数的条件密度函数 为为:当当00y y 11,PYX,PY1/2|X2,PYX.
