1、画法几何学(第六版)电子教案第六章投影变换第一节概述第二节换面法第三节*旋转法绕投影面垂直轴旋转第四节*旋转法绕投影面平行轴旋转第五节综合性问题解法举例退出退出退出退出退出退出 使几何元素在投影体系中处于特殊位置，直接利用平行性的投影特性 获得实长、获得实形、实角、利用积聚性投影特性 获得实角；获得两几何元素的交集。6-1 概述下下下一一一节节节返返返回回回 投影变换是研究如何通过改变空间几何元素与投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。常见的投影变换方法有换面法和旋转法。退退退出出出利用平行性获得实长特殊位置一般位置实长返返返回回回利用平行性获得实形实形特殊位置一般位置返返返回回回
2、实角利用平行性获得实角实角特殊位置一般位置返返返回回回利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集特殊位置一般位置返返返回回回一、换面法的基本概念二、点的投影变换规律2、点的两次变换3、四个基本问题(1)把一般位置直线变为投影面平行线1、点的一次变换6-2 换面法(2)把一般位置直线变为投影面垂直线(3)把一般位置平面变为投影面垂直面(4)把一般位置平面变为投影面平行面点在V1/H 体系中的投影点在V/H1体系中的投影上上上一一一节节节下下下一一一节节节返返返回回回退退退出出出1.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置换面法的基本概念2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面选择新投影面的原则：
3、平行X1轴/abc实形平行投影图动 画中途返回请按“ESC”键点的一次变换点在V1/H 体系中的投影不变投影不变投影新投影新投影旧投影旧投影.旧投影面新投影面不变投影面动 画中途返回请按“ESC”键点的一次变换点在V/H1体系中的投影旧投影旧投影不变投影不变投影新投影新投影.动 画中途返回请按“ESC”键点的二次变换.动 画中途返回请按“ESC”键把一般位置直线变为投影面平行线更换水平投影面动 画中途返回请按“ESC”键把一般位置线变为投影面垂直线一次变换可将投影面平行线变换为投影面垂直线.动 画中途返回请按“ESC”键把一般位置平面变为投影面垂直面正平线垂直动 画中途返回请按“ESC”键把一
4、般位置平面变为投影面平行面一次变换可将投影面垂直面变为投影面平行面中途返回请按“ESC”键 工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、面的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的综合问题，其突出特点是要受若干条件的限制，求解时往往要同时满足几个条件。解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实现。分析时，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，最后确定 从 已 知 几 何 模 型 到 最 终 结 果 几 何 模 型 的 空 间 解 题 步 骤。如果最终结果的几何模型难以直接确定，则常采用“轨
5、迹法”，即逐个满足限制条件，找出满足每一个条件的无数解答的集合（通常称之为满足该条件的轨迹），多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹的交集即为所求，再弄清该集合是什么形状，在投影图上如何实现。6-5 综合性问题解法举例综合性问题解法举例（一）距离和角度的度量综合性问题解法举例（二）解题中的常见轨迹上上上一一一节节节返返返回回回退退退出出出下下下一一一页页页解题中的常见轨迹1.过定点与定直线相交的直线的轨迹2.与定平面平行（等距）的直线的轨迹3.与两相交直线或两相交平面等距的点的轨迹4.与定直线等距的点的轨迹5.与定直线平行，且距离为定长的直线的轨迹6.与定直线距离为定长的直线的轨迹7.过直线上一点与
6、该直线保持固定夹角的直线轨迹9.与定点等距的点的轨迹 另外。题目中若出现正方形、矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形等边三角形、到两点等距等，它们的轨迹通常为一直线的垂面。因为这些几何图形都具有垂直要素，例如：菱形的对角线 垂直平分；等腰三角形底边上的高垂直平分于底边等。解题时，可利用这些图形的几何性质。平面。圆柱面。其平行面。其角平分面。圆柱面。一圆柱面的切平面。圆锥面。圆球面。8.过一点与定平面保持固定夹角的直线轨迹圆锥面。中途返回请按“ESC”键过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线CD 相交综合性问题解法举例（一）解题方案一(空间分析)：在V/H 投影体系中直接解题应用换面法解题解题
7、方案二（空间分析）：在V/H 投影体系中直接解题应用换面法解题试过定点A作直线与已知直线EF正交在V/H 投影体系中直接解题应用换面法解题矩形ABCD 的顶点B 在直线MC 上，画出它的V、H 面投影过线段AB 作一平面垂直于平面DEF例例例5 5 5例例例4 4 4例例例6 6 6例例例7 7 7退出退出退出退出退出退出例4 过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交解题步骤：空间分析3.连KS 即为所求1.过点K 作平面KFG 平行于CDE 2.求直线AB 与平面KFG 的交点S 在V/H 投影体系中直接解题：解题方案一中途返回请按“ESC”键例4 过点K 作直线与平面CDE 平
8、行，并与直线AB 相交.解题步骤：5.连k1s13.过k1作平面Q 平行于c1d1e14.求a1b1与平面Q 的交点s1 应用换面法在H/V1体系中解题：2.直线AB、点K 随之变换6.将k1s1返回原体系1.将CDE 变换为新投影面的垂直面解题方案一中途返回请按“ESC”键例4 过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交 在V/H 投影体系中直接解题：解题方案二空间分析解题步骤：1.作KAB 2.求KAB 与DEF 的交线MN 3.过点K 作直线MN 的平行线KS 中途返回请按“ESC”键例4过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交解题方案二 应用换面法在V/H1体系中
9、解题：解题步骤：1.作KAB 2.换面法求KAB与 DEF 的交线MN 3.过点K 作直线MN 的平行线KS 中途返回请按“ESC”键例5 试过定点A 作直线与已知直线EF 正交解题步骤：3.连KA 即为所求1.过点A 作直线EF 的垂面2.求直线EF与所作垂面AI II 的交点K.空间分析 在V/H 投影体系中直接解题：中途返回请按“ESC”键例5 试过定点A 作直线与已知直线EF 正交解题步骤：3.过a1作e1f1的垂线,得k12.点A 随之变换 4.将k1a1返回原体系1.将直线EF 变换为新投影面的平行线 应用换面法在H/V1体系中解题：中途返回请按“ESC”键例6 矩形ABCD 的顶
10、点B 在直线MC 上，画出它的V、H 面投影解题步骤：3.过a1作m1c1的垂线(面),得b12.点A 随之变换 4.将a1b1返回原体系1.将直线MC 变换为新投影面的平行线5.依对边平行作 出另两条边 空间分析：中途返回请按“ESC”键例7 过线段AB 作一平面垂直于平面DEF平行解题步骤：5.将b1c1返回原体系4.求作bc(/X1轴)2.直线AB 随之变换1.将DEF 变换为新投影面的垂直面3.过a1b1上任一点作d1e1f1的垂线得c1空间分析中途返回请按“ESC”键距离的度量1.点到点之间的距离2.点到直线之间的距离4.两交叉直线之间的距离5.点到平面之间的距离6.直线到平面之间的
11、距离3.两平行直线之间的距离角度的度量1.两相交直线之间的夹角2.直线与平面间的夹角3.两平面间的夹角7.平面到平面之间的距离退出退出退出退出退出退出1、点到点之间的距离中途返回请按“ESC”键2、点到直线之间的距离中途返回请按“ESC”键3、两平行直线之间的距离中途返回请按“ESC”键求两平行直线AB 和CD 之间的距离在V/H 投影体系中直接解题例例例8 8 8应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题应用换面法在V1/H2体系中解题例8 求两平行直线AB 和CD 之间的距离实长 在V/H 投影体系中直接解题：解题步骤：4.求作EF 的实长2.求直线CD 与所作垂面的交点F 3.连ef
12、、ef即为所求距离的投影1.过一条直线AB 上任一点E 作另一条直线CD 的垂面中途返回请按“ESC”键例8 求两平行直线AB 和CD 之间的距离.Z 应用换面法在H/V1体系中解题：应用换面法在V1/H2体系中解题：解题步骤：3.求作EF 的实长2.求两直线的公垂线EF 1.将两已知平行直线变换为投影面平行线解题步骤：2.e2f2即反映EF 的实长实长实长1.接上一步，将两已知平行直线变换为投影面垂直线中途返回请按“ESC”键例8 求两平行直线AB 和CD 之间的距离实长 应用换面法在V1/H2体系中解题：解题步骤：2.求作EF 的实长1.将两已知平行直线构成的平面经两次变换，变成投影面平行
13、面中途返回请按“ESC”键4、两交叉直线之间的距离在V/H 投影体系中直接解题应用换面法解题求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置例例例9 9 9中途返回请按“ESC”键距离距离空间分析：解题思路：3.过垂足N作直线EF平行于直线AB,交直线CD于点S 2.过直线AB上任一点M作平面P的垂线，求出垂足N 例9 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置1.含直线CD作平面P平行于AB 4.过点S作直线ST平行于直线MN,ST即为所求 中途返回请按“ESC”键例9 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置解题步骤：空间分析 在V/H 投影体系
14、中直接解题：直线AB,交CD 于点S 3.过垂足N 作直线EF 平行于面CDG 的垂线,N 为垂足2.过直线AB 上任一点M 作平1.过直线CD上任一点C 作直线CG 平行于AB,连DG 交直线AB 于点T,ST 即为4.过点S 作直线MN 的平行线,所求 中途返回请按“ESC”键空间分析：解题思路：2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即反映实长例9 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置1.将两直线之一变换为投影面垂直线 中途返回请按“ESC”键例9 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置解题步骤：3.将s2t2返回原体系ST 的投影s2t22.在投
15、影面H2 中作公垂线空间分析 应用换面法解题：1.将两已知直线之一CD 变换为投影面垂直线,直线 AB 随之变换 中途返回请按“ESC”键距离实长5、点到平面之间的距离平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离例例例101010中途返回请按“ESC”键例10 平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离.解题步骤：3.过S 作ABCD 的垂线,s1k1 即为所求2.点S 随之变换 1.将平面ABCD 变换为新投影面的垂直面空间分析：距离中途返回请按“ESC”键距离实长6、直线到平行平面过直线上任一点作平面的垂线.中途返回请按“ESC”键两相交直线之间的夹角实形实角中途
16、返回请按“ESC”键直线与平面间的夹角求直线HG 与平面的夹角，平面由四边形ABCD 给定求直线AB 与平面DEF 之间的夹角例例例111111例例例121212中途返回请按“ESC”键解题思路：例11 求直线HG 与平面的夹角，平面由四边形ABCD 给定1.过点H 作平面ABCD 的垂线 2.作直线EF，求出HEF 的实形，得3.求 的余角 中途返回请按“ESC”键例11 求直线HG 与平面的夹角，平面由四边形ABCD 给定垂直垂直空间分析中途返回请按“ESC”键即为所求解题思路：例12 求直线AB与平面DEF之间的夹角 经3次变换投影面，在V3投影面中求作角中途返回请按“ESC”键例12
17、求直线AB 与平面DEF 之间的夹角空间分析中途返回请按“ESC”键两平面间的夹角求ABC 与ABD 之间的夹角例例例131313中途返回请按“ESC”键实角解题思路：例13 求两平面之间的夹角 将两平面的交线变换为新投影面垂直线，则反映角 实形中途返回请按“ESC”键例13 求ABC 与ABD 之间的夹角空间分析解题步骤：2.两平面 随之变换 1.将交线AB 变换为新投影面的垂直线3.角 即为所求中途返回请按“ESC”键在直线AB 上求一点K,距点C 为20 mm综合性问题解法举例（二）符合求解条件的“轨迹”为圆球面过点A 作直线，令它与H 面夹角为45度，并垂直于线段BC找出与点A 距离为
18、L，与直线CD 距离为L1 的所有点的集合符合求解条件的“轨迹”为圆锥面符合求解条件的“轨迹”为圆球面和圆柱面例例例141414例例例151515例例例161616退出退出退出退出退出退出例14 在直线AB 上求一点K,距点C 为20 mm20 解题步骤：将直线AB 变换为投影面平行线1.求距点C 距离为20的所有点的轨迹R=20的圆球面2.求直线AB 与圆球面的贯穿点 圆球面随之变换 求作贯穿点K中途返回请按“ESC”键例15 过点A 作直线，令它与H 面夹角为45度，并垂直于线段BC解题步骤：3.圆锥面随之变换2.将直线AB 变换为投影面平行线1.求过点A 与H 面角度为45度的所有直线的
19、轨迹圆锥面4.过点A 作垂直于线段BC 的所有直线轨迹平面P 5.求平面P 与圆锥面的截交线45 中途返回请按“ESC”键例16 找出与点A 距离为L，与直线CD 距离为L1 的所有点的集合LL1解题步骤：3.求圆球面与圆柱面的相贯线1.求距点A 距离为L 的所有点的轨迹R=L的圆球面2.求距直线CD 距离为L1的所有直线的轨迹R=L1的圆柱面中途返回请按“ESC”键本章结束返返返回回回退出退出退出退出退出退出上上上一一一页页页 投影图：ABC实形.中途返回请按“ESC”键更换水平投影面中途返回请按“ESC”键换面法的基本概念退退退出出出点的一次变换V1/H退退退出出出点的一次变换V/H1退退退出出出点的二次变换退退退出出出把一般位置直线变为投影面平行线退退退出出出把一般位置直线变为投影面垂直线退退退出出出把一般位置平面变为投影面垂直面退退退出出出把投影面平行线变为投影面垂直线退退退出出出7、两平行平面之间的距离过一平面上任一点作另一平面的垂线中途返回请按“ESC”键一次变换可将投影面平行线变为投影面垂直线.垂直动 画中途返回请按“ESC”键http:/202.118.70.105
