1、Review10.2 单自由度无阻尼体系的自由振动单自由度无阻尼体系的自由振动 Free-Vibration of SDOF System without Damping 自由振动微分方程的建立：自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法刚度法、柔度法 自由振动微分方程的解自由振动微分方程的解 解的物理意义解的物理意义J 重要性重要性 单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估算，如：水塔、单层厂房等。算，如：水塔、单层厂房等。单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的基础。基础。质
2、点的达朗伯质点的达朗伯(dAlembert)原理原理 在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力主动力、约束约束反力反力和和假想假想加在质点上的加在质点上的惯性力惯性力构成构成形式上形式上的的平衡力系平衡力系。yk建立振动微分方程的建立振动微分方程的 2 种方法种方法-kyykm0 kyym ym y m ym yO描述下其运动过程？描述下其运动过程？yO 0yFk刚度系数刚度系数（Stiffness coefficient）：使弹簧发生单位变形）：使弹簧发生单位变形时所需施加的力。时所需施加的力。k刚度系数刚度系数（Stiffness coefficien
3、t）：使结构发生单位位移）：使结构发生单位位移时所施加的力。时所施加的力。0 kyym yk-kyym yO 0yFyOF 建立体系的坐标系，确定坐标原点；建立体系的坐标系，确定坐标原点；F 取质量为隔离体，进行受力分析（取质量为隔离体，进行受力分析（需考虑惯性力需考虑惯性力）；）；F 列平衡方程；列平衡方程；OY以平衡位置以平衡位置为坐标原点为坐标原点OykYYm WstkW styY WkYYm 0 kyym kWyyst)(styk ym WWykymst )(0 kyym EIl323110)(23)(3 tylEItym 例例1.用刚度法列体系的运动方程用刚度法列体系的运动方程P=1
4、ky my0mykyyO 0yFF=1k1 ymy)(ymfyI 0mykyyOF 在质量上沿位移方向施加惯性力；在质量上沿位移方向施加惯性力；F 求外力（求外力（包括惯性力包括惯性力）引起的质量的位移；）引起的质量的位移；F 令该位移等于体系的位移；令该位移等于体系的位移；EIl32311 0)(23)(3 tylEItym 例例2.用柔度法建立体系的运动方程用柔度法建立体系的运动方程yOym ymy 01 yym P=1?柔度法步骤：柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。令该
5、位移等于体系位移。例例3 3：用柔度法列运动方程：用柔度法列运动方程EIl32311)(16)(32)()(33111tPEIltymEIltymtyP )(ty)(ty)(tym)(tP11=1lEIl)(tPEIl/2l/2P1P(t)EIPlP1631Pl/4例例4.求图示体系的自振频率和周期。求图示体系的自振频率和周期。3332231mlEIEIlmEIl31132EImlT32=1EIllm/2EIEIll mkm1 20+yykm0000yy vv(),(),01vc 20cy 00vy ttyt()sincos 0mykySolutiony tctct 12()sinos:c v
6、y ttyt00()sincos vt0sin yto0v T0v ytoyt0cos T0y0y ytovy ttyt00()sincos yAtsin 22002vAy AA 100tanyv T22222stmwTmkgg stWmgmk 2 T 21 Tf结构自振周期的一些结构自振周期的一些重要性质重要性质：自振周期是结构自振周期是结构固有特性固有特性，仅与结构的，仅与结构的质量质量和和刚度刚度有关，与外界影响无关，外界扰动只能影响振幅，不能改有关，与外界影响无关，外界扰动只能影响振幅，不能改变自振周期；变自振周期；要改变结构的自振周期，只能从改变结构质量或刚要改变结构的自振周期，只能
7、从改变结构质量或刚度入手；度入手；自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。l2lmEI348lEI mkmT222 EImlmT48223 P=1EIl413148EImlm EI mmk1 EIl83 P=1ml 5.0l381mlEIm 0)(,0)0(vtyy tAysinEImlvvvyA830022020 0tan001 vy )sin()(2 tmAymtFI)sin(2 tAy )sin(tAy惯性力大小与位移成正比，且方向总是相同。注意：是惯性力大小与位移成正比，且方向总是相同。注意：是 与位移与位移y(t)同向。同向。ym )sin
8、()(2 tmAymtFI yAmax yA2max axFAm2Im tsin1 由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值在幅值处建立运动方程处建立运动方程，此时方程中将不含时间，此时方程中将不含时间，把，把微分方程转化为微分方程转化为代数方程代数方程，使计算得以简化。，使计算得以简化。)sin(tAy 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；，即它们在同一时刻均达极值；例例7.求图示体系
9、的自振频率求图示体系的自振频率l1.5l0.5l0BM225.0 lmmAlk 225.131 lmmAllkllmllm 5.12315.025.0222lklm mk 0.5l0.5ll1mm213mm EIABCDkaxFAm2Im 2my(t)2y(t)3y(t)(2tym yk2)(3tym 练习练习1.列出体系的运动方程，并求自振频率。列出体系的运动方程，并求自振频率。0AM033222lymlyklym 0)(4)(11tkytym EI2mlllyOmk114 0)(114)(tymkty 2mAAk2 23 Am方法方法2：列幅值方程：列幅值方程0AMlAklAmlAm223
10、3222 kAllmA4112 yO2A3A22 Ammk114 ym 2 mAEIEIll1EI3/12lEI3/12lEI324lEIk k1 1 k1kEIEI1EIEI266hEIli?kIIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI练习练习2.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。312hEI312hEIStiffness coefficient324EIkh324kEImmh 2 TlllmEI 常数练习练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时：计算图示结构水平振动和竖直振动时 的自振的自振频率，自重忽略不计。频率，自重忽略不计。Horizontal V
11、ibration：12M2l341222233llllEIEI 313EImml-Flexibility Method11232EIl332EIl23EIl0.5332EIl332EIl33EIkl33kEImml124l0.250.75316l516l321332133215216163216163316155213216163316796lllllllEIlllllEI 31964677EIEImmllml126EIl26EIl47372187EIl2307EIl3487EIl3487EIl3487EIlk3967EIkl3964677kEIEImmllmlSDOF的自振频率采用柔度法和刚
12、度法进行计算。的自振频率采用柔度法和刚度法进行计算。一般来说，当结构为静定，或超静定次数较低，便于一般来说，当结构为静定，或超静定次数较低，便于计算柔度系数时，采用柔度法；当超静定次数较高，计算柔度系数时，采用柔度法；当超静定次数较高，便于计算刚度系数时，则刚度法较为方便。便于计算刚度系数时，则刚度法较为方便。如结构具有对称性，可利用对称性进行简化计算。如结构具有对称性，可利用对称性进行简化计算。EIl768732P=1练习练习4.图示三根单跨梁，图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中为常数，在梁中点有集中质量质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。，不考虑梁的质量，试比较三者的自振
13、频率。l/2l/2ml/2l/2ml/2l/2mFlexibility Coefficient:EIl4831P=15l/323l/16l/23221357(2)6216232768llllllEIEIEIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据此可得：123:1:1.512:2 1练习练习5.求图示结构的自振圆频率求图示结构的自振圆频率解法解法1 1：求：求 k=1/hMBA=kh=MBCklhmIEIBAClhEIlEI33lmhEImk2323lhEIk 1h解法解法2 2：求：求 EIlhhlhEI33221221131mlhEImlEImk1k11k11k33lEIStiffness coefficient3113lEIkkmkmklEI331121111kkk21kkk练习练习7.求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支座的弹簧刚度系数为座的弹簧刚度系数为k。5.01 1EIl48532 21 kRB/Wl0.5l 0.5lRB练习练习8.求图示结构的自振频率求图示结构的自振频率1312lEIQ m/2lEIm/2 EIEIEIEIl26lEI30148lEIkk 348lEIk 0k
