1、存在问题存在问题不等式、证明等问题不等式、证明等问题1.(辽宁辽宁)设函数设函数f(x)xax2blnx曲线曲线yf(x)过过P(1,0)且在且在P点处的点处的切线斜率为切线斜率为2.(1)求求a，b的值；的值；(2)证明：证明：f(x)2x2.1.3.3 导数的实际导数的实际应用应用 在经济生活中，人们经常遇到最优化问在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导
2、数是解决策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们研这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。究几个典型的实际问题。解决优化问题的方法：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程优化方案
3、，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具中，导数是一个有力的工具解决数学模型解决数学模型作答作答用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题优化问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案利用导数解决优化问题的利用导数解决优化问题的基本思路基本思路：例例1.在边长为在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图如图)，做，做成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少？截下的小正方形边长应是多少？解：设小正方形边
4、长为解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积，则箱子容积2()(2),02aV xaxxx 所以所以 322()44V xxaxa x(0)2ax 22()128Vxxaxa 令令 22()1280Vxxaxa 解得解得x1=a，x2=a（舍去），（舍去），1612在区间在区间(0，a)内，且当内，且当0 x0，当，当 axa时，时，V(x)0)，所以所以f(x)=kx(d2x2)，0 xd，dhx在开区间在开区间(0，d)内，内，令令f(x)=k(d23x2)=0，解得解得x=d，33其中负根没有意义，舍去其中负根没有意义，舍去.当当0 x0，当，当 dxd时，时，f(x)0，3333 因此在
5、区间因此在区间(0，d)内只有一个极大值点内只有一个极大值点x=d，所以，所以f(x)在在x=d取得最大值，取得最大值，3333这就是横梁强度的最大值，这就是横梁强度的最大值，这时这时 2263hdxd 即当宽为即当宽为 d，高为，高为 时，横梁的强度时，横梁的强度最大。最大。3363d例圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高例圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？省？解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为h，底半径为，底半径为R，则表面积则表面积 S=2Rh+2R2 由由V=R2h，得，得 2VhR 则则 S(R)=2
6、R +2R2 =+2R22VR 2VR令令 22()40Vs RRR 解得解得 R=32V 从而从而h=2VR 23()2VV 32V 即即h=2R，因为因为S(R)只有一个极值，所以它只有一个极值，所以它是最小值是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省最省2.用长度为用长度为l的铁丝围成长方形，求围成长方形的铁丝围成长方形，求围成长方形的最大面积的最大面积.2.用长度为用长度为l的铁丝围成长方形，求围成长方形的铁丝围成长方形，求围成长方形的最大面积的最大面积.2()22llsxxsxx 解：设长方形的长为解：设长方形的长为x，则宽为，则宽为长方形
7、面积为长方形面积为 即即所以所以s=-2x+,令令s=0 解得解得x=4l当当0 x0；当；当 x 时时,s0 所以所以x=是极大值点且唯一，所以是极大值点且唯一，所以x=是最大是最大值点值点,因此因此,围成长方形的最大面积为围成长方形的最大面积为216l2lx 2l4l4l4l4l2l3.把长度为把长度为l的铁丝分成两段，各围成一个正方的铁丝分成两段，各围成一个正方形，问怎样分法，才能使它们的面积之和最小形，问怎样分法，才能使它们的面积之和最小.3.把长度为把长度为l的铁丝分成两段，各围成一个正方的铁丝分成两段，各围成一个正方形，问怎样分法，才能使它们的面积之和最小形，问怎样分法，才能使它们
8、的面积之和最小.2211()1616sxlx它们面积之和为它们面积之和为 即即所以所以 令令s=0 解得解得x=2l当当0 x 时时,s0；当；当 x0 所以所以x=是极小值点且唯一，所以是极小值点且唯一，所以x=是最小是最小值点值点,因此因此,分成相等两段使它们的面积之和最小分成相等两段使它们的面积之和最小.2l2l2l2l解：设其中一段长为解：设其中一段长为x，则另段长为，则另段长为l-x.21118816sxlx1148sxl练习练习B1.等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为2P，它围绕底边旋转一，它围绕底边旋转一周成一几何体，问三角形的各边长分别是多少周成一几何体，问三角形的各边长分别
9、是多少时，几何体的体积最大？时，几何体的体积最大？ABC练习练习B1.等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为2P，它围绕底边旋转一，它围绕底边旋转一周成一几何体，问三角形的各边长分别是多少周成一几何体，问三角形的各边长分别是多少时，几何体的体积最大？时，几何体的体积最大？所以所以 令令 解得解得解：设等腰三角形的腰为解：设等腰三角形的腰为x,则底边长为则底边长为2P-2x.围绕底边旋转一周成一几何体为两个圆锥，围绕底边旋转一周成一几何体为两个圆锥，体积为体积为222()()3Vpxxpx 222(23)3pVxpxp 2(43)3pVxp 304Vxp即即ABC当当0 x0；当；当 x p时时,
10、V0 所以所以x=是极大值点且唯一，所以是极大值点且唯一，所以x=是最是最大值点大值点,此时几何体的体积最大此时几何体的体积最大.2p34p34p34p34p34p这时等腰三角形的腰为这时等腰三角形的腰为 ,则底边长为则底边长为 2.做一个容积为做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？与底面直径为何值时，所用材料最省？2.做一个容积为做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？与底面直径为何值时，所用材料最省？解：设圆柱底面半径为解：设圆柱底面半径为R,则圆柱的高为则圆柱的高为2216h
11、R 圆柱形容器的面积为圆柱形容器的面积为24322sRR 所以所以32243244324RsRRR 令令s=0 解得解得33432434R当当0 x 时时,s0；当；当 x0 343 343 所以所以 是极小值点且唯一，所以是极小值点且唯一，所以 是最小值点是最小值点,此时所用材料最省此时所用材料最省.343R 343R 这时高与底面直径为这时高与底面直径为346 例例3如图，一海岛驻扎一支部队，海岛如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点离岸边最近点B的距离是的距离是150km，在岸边，在岸边距点距点B300km的点的点A处有一军需品仓库，有处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，一
12、批军需品要尽快送达海岛，A与与B之间有之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时速为速为50km，船时速为，船时速为30km，试在岸边选，试在岸边选一点一点C，先将军需品用火车，先将军需品用火车送到点送到点C，再用轮船从点，再用轮船从点C运到海岛，问点运到海岛，问点C选在何处选在何处可使运输时间最短？可使运输时间最短？解解:设点设点C与点与点B的距离是的距离是xkm，则运输时间，则运输时间22150300()3050 xxT x (0 x300)因为因为 2222(150)150 xxx 所以所以 221()5030 150 xTxx 令令T(x)=0，则有
13、，则有 2253 1500 xx 2253 150 xx 即即25x2=9(1502+x2)，解此方程，得解此方程，得 x=29 1503 150112.544 舍去负值，取舍去负值，取x0=112.5.因为因为T(0)=11，T(300)=11.2，T(112.5)=22150112.5187.5103050 则则10是三数中最小者，是三数中最小者，所以选点所以选点C在与点在与点B距离为距离为112.5km处处,运输运输时间最小。时间最小。例例4如图，已知电源的电动势为如图，已知电源的电动势为，内电阻，内电阻为为r，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大
14、？Rr解：由欧姆定律得电流强度解：由欧姆定律得电流强度 IRr 在负载电路上的输出功率是在负载电路上的输出功率是P=P(R)=I2R=22()RRr Rr实验表明，当实验表明，当，r 一定时，输出功率由负载电一定时，输出功率由负载电阻阻R的大小决定，的大小决定，当当R很小时，电源的功率大都消耗在内阻很小时，电源的功率大都消耗在内阻r上，输出的功率可以变的很小；上，输出的功率可以变的很小；R很大时，电很大时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此小，因此R一定有一个适当的数值，使输出的一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。功率最大。令令 22
15、224()2()()()()RRrR RrPRRrRr 220()rRRr 即即 ，解得，解得R=r，2()0Rr 因此，当因此，当R=r时，输出的功率最大。时，输出的功率最大。练习练习A1.设两个正数之和为常数设两个正数之和为常数c，求这两个数之积的，求这两个数之积的最大值最大值.并由此证明不等式并由此证明不等式(,0)2ababa b 练习练习A1.设两个正数之和为常数设两个正数之和为常数c，求这两个数之积的，求这两个数之积的最大值最大值.并由此证明不等式并由此证明不等式(,0)2ababa b 解：设其中一个正数为解：设其中一个正数为x，则另个正数为，则另个正数为c-x.这两个数之积这两
16、个数之积 y=x(c-x)即即y=-x2+cx所以所以y=-2x+c,令令y=0 解得解得x=2c当当0 x0；当；当 xc时时,y0 2c2c所以所以x=是极大值点且唯一，所以是极大值点且唯一，所以x=是最大是最大值点值点,因此这两个数之积最大值为因此这两个数之积最大值为2c2c24c由此可得由此可得2()4cx cx设设a=x,b=c-x则则a+b=c代入上式，得代入上式，得2()(0,0)42abababab ab即即4.x1,x2,.xn是一组已知数据，令是一组已知数据，令S(x)=(x-x1)2+(x-x2)2+.+(x-xn)2，当，当x取何值时，取何值时，S(x)取最小取最小值？
17、值？4.x1,x2,.xn是一组已知数据，令是一组已知数据，令S(x)=(x-x1)2+(x-x2)2+.+(x-xn)2，当，当x取何值时，取何值时，S(x)取最小取最小值？值？解：因为解：因为S(x)=(x-x1)2+(x-x2)2+.+(x-xn)2即即S(x)=nx2-2(x1+x2+.+xn)x+(x12+x22+.+xn2)所以所以S(x)=2nx-2(x1+x2+.+xn)令令S(x)=0解得解得12.nxxxxn 当当0 x 时时,S(x)0；当当 x0 12.nxxxn12.nxxxn所以所以 是极小值点且唯一，所以是极小值点且唯一，所以 是最小值点是最小值点.12.nxxx
18、xn 12.nxxxxn 所以当所以当 时，时，S(x)取最小值取最小值.12.nxxxxn 习题习题1-3A6.用边长为用边长为60cm的正方形的铁皮做一个无盖水的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转把四边翻转900再焊接而成一个长方体水箱，再焊接而成一个长方体水箱，问水箱底边应取多少才能使水箱的容积最大？问水箱底边应取多少才能使水箱的容积最大？习题习题1-3A6.用边长为用边长为60cm的正方形的铁皮做一个无盖水的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后箱，先在四角分别截去相同的小正方形，
19、然后把四边翻转把四边翻转900再焊接而成一个长方体水箱，再焊接而成一个长方体水箱，问水箱底边应取多少才能使水箱的容积最大？问水箱底边应取多少才能使水箱的容积最大？解：设水箱底边长为解：设水箱底边长为xcm，则水箱的容积为，则水箱的容积为23260130(060)22xVxxxx 23602Vxx 所以所以令令V=0解得解得x=40或或x=0(舍舍)当当0 x0当当40 x60时时,V0所以所以x=40函数有极大值且唯一，所以函数有极大值且唯一，所以x=40是最大是最大值点值点,所以水箱底边为所以水箱底边为40cm才能使水箱的容积最大才能使水箱的容积最大.7.将长为将长为72cm的铁丝截成的铁丝
20、截成12段，搭成一个正段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，问铁丝应怎样截法？大的容器，问铁丝应怎样截法？习题习题1-3A7.将长为将长为72cm的铁丝截成的铁丝截成12段，搭成一个正段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，问铁丝应怎样截法？大的容器，问铁丝应怎样截法？解：设正四边形边长为解：设正四边形边长为xcm，则正四棱柱容积，则正四棱柱容积为为 V=-2x3+18x2(0 x9)所以所以V=-6x2+36x令令V=0解得解得x=6或或x=0(舍去舍去)当当0 x0当当
21、6x9时时,V0 当当 时时,s0所以所以 函数有极大值且唯一，所以函数有极大值且唯一，所以 是最大值点是最大值点,所以所以AB=80cm时，等腰梯形的面时，等腰梯形的面积最大积最大.03 32 3 3 5.一正方形内接于另一个正方形（顶点分别在一正方形内接于另一个正方形（顶点分别在四边上），问内接正方形的一边与固定正方四边上），问内接正方形的一边与固定正方形一边的夹角取什么值时，内接正方形的面形一边的夹角取什么值时，内接正方形的面积最小？积最小？5.一正方形内接于另一个正方形（顶点分别在一正方形内接于另一个正方形（顶点分别在四边上），问内接正方形的一边与固定正方四边上），问内接正方形的一边与
22、固定正方形一边的夹角取什么值时，内接正方形的面形一边的夹角取什么值时，内接正方形的面积最小？积最小？解：设内接正方形的一边与解：设内接正方形的一边与固定正方形一边的夹角为固定正方形一边的夹角为 ,固定正方形边长为固定正方形边长为a 则内接正方形的边长为则内接正方形的边长为sincosa 内接正方形的面积为内接正方形的面积为 2(0)sin212as 222cos2(sin21)as 所以所以令令s=0解得解得4 当当 时时,s0所以所以 函数有极小值且唯一，所以函数有极小值且唯一，所以 是最小值点是最小值点,所以内接正方形的一边与固定正所以内接正方形的一边与固定正方形一边的夹角为方形一边的夹角为 时，内接正方形的面积时，内接正方形的面积最小最小.04 42 4 4 4
