1、【远程授课】第一章第2节极坐标系(4)曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化-北师大版高二数学选修4-4 1 极点与直角坐标系的原点重合；条件：点的极坐标与直角坐标的互化点的极坐标与直角坐标的互化结论：结论：cos,sin.xy222,tan(0).xyyxxMx y 点直角坐标（，）M 点极坐标（，）2 x极轴与直角坐标系的 轴的正半轴重合；3 两种坐标系的单位长度相同.温温 故故 知知 新新22cos()cossin422 1cos()2;4例例 题题 讲讲 解解 【例1】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.(1)(1)【分析分析】第一类：曲线的极坐标方程第一类：曲线的极坐标方程 曲线的
2、直角坐标方程曲线的直角坐标方程 2cos0;23cos216.cos()coscossinsin22=tanxyyxx,（0）.22cos()cossin422第一类：曲线的极坐标方程第一类：曲线的极坐标方程 曲线的直角坐标方程曲线的直角坐标方程(1)(1)解解:22cos()cossin422因为22cossin=2.22所以原式可化为,x y将点的极坐标，化为直角坐标的关系式cos,sin.xy22 cossin=2,22代入20.xy可得曲线的直角坐标方程为例例 题题 讲讲 解解 1cos()2;4 【例1】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.2cos0;23cos216.cos02
3、cos0【分析分析】第一类：曲线的极坐标方程第一类：曲线的极坐标方程 曲线的直角坐标方程曲线的直角坐标方程 2cos0等式两边策：同时乘以略220 xyx例例 题题 讲讲 解解 1cos()2;4 【例1】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.2cos0;23cos216.cos0=0 或 思考：2cos0cos02cos0cos0(cos)0-cos由于=0经过极点,第一类：曲线的极坐标方程第一类：曲线的极坐标方程 曲线的直角坐标方程曲线的直角坐标方程例例 题题 讲讲 解解 【例1】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.1cos()2;4 2cos0;23cos216.第一类：曲线的极坐
4、标方程第一类：曲线的极坐标方程 曲线的直角坐标方程曲线的直角坐标方程(2)(2)解解 【例1】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.由于曲线经过极点，所以方程可以变形为2-cos0.,x y将点的极坐标，化为直角坐标的关系式222cos,=.xxy2 -cos=0.代入220.xyx可得曲线的直角坐标方程为221124xy例例 题题 讲讲 解解 1cos()2;4 2cos0;23cos216.222sin1622cossin16 23cos216【分析分析】第一类：曲线的极坐标方程第一类：曲线的极坐标方程 曲线的直角坐标方程曲线的直角坐标方程 【例1】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程
5、.2222cos2=12sin;cos22cos1;cos2cossin.222cossin16【分析分析1 1】【分析分析2 2】2212sin16例例 题题 讲讲 解解 1cos()2;4 2cos0;23cos216.第一类：曲线的极坐标方程第一类：曲线的极坐标方程 曲线的直角坐标方程曲线的直角坐标方程(3)(3)解解 【例1】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.由二倍角的余弦公式，原方程变形为,x y将点的极坐标，化为直角坐标的关系式cos,sin.xy22 cossin16,代入2216.xy可得曲线的直角坐标方程为22cossin16.例例 题题 讲讲 解解 1cos()2;4
6、 2cos0;23cos216.将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程的基本步骤：2cos sin 将方程转化为含、的式子;222cos sin ;xyxy将、分别换成、整理、化简.题题 后后 反反 思思第第二二类：曲线的直角坐标方程类：曲线的直角坐标方程 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 2211;259xy 【例2】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程.2248.yx【分析分析】cos,sin.xy(1)(1)解解,x y将点的直角坐标化为极坐标，的关系式cos,sin.xy22 1,259xy代入可得曲线的极坐标方程为2222cossin1.259222 9+16sin2250.即例例 题
7、题 讲讲 解解(2)(2)解解,x y将点的直角坐标化为极坐标，的关系式cos,sin.xy2 48,yx 代入可得曲线的极坐标方程为22sin48 cos 由于曲线经过极点，所以方程可化简为2sin+48cos=0.第第二二类：曲线的直角坐标方程类：曲线的直角坐标方程 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程例例 题题 讲讲 解解 2211;259xy 【例2】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程.2248.yx【分析分析】cos,sin.xy将曲线的直角坐标方程化成极坐标方程的基本步骤：cos sin ;xy将、分别换成、整理、化简.题题 后后 反反 思思 l已知直线 的极坐标方程为 【例3】【
8、分析分析】解解2 cossin104 cos30.分别代入和 10,lxy 可得直线 的直角坐标方程为2,0 Cl由于圆心到直线 的距离为2220 13 21,211d 学学 以以 致致 用用2cossin10,4 cos30,ClC 圆 的极坐标方程为试判断 与的位置关系.极坐标直角坐标不熟悉熟悉,x y将点的极坐标，化为直角坐标的关系式222cos,sin,.xyxy22 21.Cxy圆的直角坐标方程为 lC所以直线 与圆 相离.l已知直线 的直角坐标方程 【例4】【分析分析1 1】解解2 4 cos10.代入2,0 Cl由于圆心到直线 的距离为22202,11d 2,4 cos10,yx
9、ClCABAB 为圆 的极坐标方程为若 与 交于、两点，试求弦长的大小.极坐标直角坐标不熟悉熟悉,x y将点的极坐标，化为直角坐标的关系式222cos,=.xxy22 23.Cxy可得圆的直角坐标方程为2222.ABrd所以学学 以以 致致 用用 l已知直线 的直角坐标方程 【例4】【分析分析2 2】2,4 cos10,yxClCABAB 为圆 的极坐标方程为若 与 交于、两点，试求弦长的大小.直角坐标极坐标解解 .yx代入2=-4 cos104 将代入得,x y将点的直角坐标化为极坐标，的关系式cos,sin.xy=.4lR可得直线 的极坐标方程为24=2.ABABABAB2 2,1.ABA
10、B2-2 2+1=0.学学 以以 致致 用用曲线的极坐标方程曲线的直角坐标方程不熟悉课课 堂堂 小小 结结222cos,sin,.xyxy熟悉数形课课 后后 作作 业业1.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程.15;x 2 250;xy 223+25;xy 224+1;259xy 258.yx=5 3cos5sin,2.已知一个圆的极坐标方程是求这个圆的圆心和半径.=cos-=1.3.直线与的位置关系式.A B.C.D.平行垂直相交不垂直与 有关，不确定 2sin=5.24.极坐标方程4表示的曲线是.A B.C.D.圆椭圆双曲线的一支抛物线参参 考考 答答 案案 21.1cos5;2 tan;35;5 22224 9+16sin2250;5 9sin8cos0.222.=5 3cos5sin5 350.xyxy圆的极坐标方程化为直角坐标方程为225 35-+25,22xy从而5 35,-5.22r所以圆心的直角坐标为,半径3.B4.D谢谢 THANKS
