1、19-20学年九年级数学下册第三章圆3第三章第三章 圆圆8 8 圆内接正多边形圆内接正多边形你还能举出更多正多边形的例子吗？你还能举出更多正多边形的例子吗？四条边都相等，四个角也相等（四条边都相等，四个角也相等（90）.三条边相等，三个角也相等（三条边相等，三个角也相等（60）.正多边形：正多边形：各边相等各边相等，各角也相等各角也相等的多边形叫做正的多边形叫做正多边形多边形.正正 n 边形：边形：如果一个正多边形有如果一个正多边形有 n 条边，那么这个条边，那么这个正多边形叫做正正多边形叫做正 n 边形边形.怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？怎样找圆的外
2、切正三角形？怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的内接正怎样找圆的内接正 n 边形？边形？怎样找圆的外切正怎样找圆的外切正 n 边形？边形？例例 1 1 把圆分成把圆分成 5 等份，求证：等份，求证：（1）依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内）依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；接正五边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.用心想一想用心想一想123ABCDE45证明：证明：（1）AB=BC=CD=
3、DE=EA，AB=BC=CD=DE=EA.BCE=CDA=3AB，1=2.同理可知，同理可知，2=3=4=5.又又顶点顶点 A，B，C，D，E 都在都在O上，上，五边形五边形 ABCDE 是是 O 的内接正五边形的内接正五边形.证明：（证明：（2）连接连接 OA，OB，OC，则则OAB=OBA=OBC=OCB.TP，PQ，QR 分别是以分别是以A，B，C为切点的为切点的 O 的切线，的切线，OAP=OBP=OBQ=OCQ.PAB=PBA=QBC=QCB.ABCDEPQRSTO又又AB=BC，AB=BC，PAB 与与 QBC 是全等的等腰三角形是全等的等腰三角形.P=Q,PQ=2PA.同理可知，
4、同理可知，Q=R=S=T，QR=RS=ST=TP=2PA.五边形五边形 PQRST 的各边都与的各边都与 O 相切，相切，五边形五边形 PQRST 是是 O 的外切正五边形的外切正五边形.把圆分成把圆分成 n（n3）等份，依次连接各分点所得的等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形是这个圆的内接正 n 边形；经过各分点作圆边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正圆的外切正 n 边形边形.一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？【定理】【定理】正三角形有没有外接圆和内切
5、圆？怎样作出这正三角形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？两个圆？这两个圆有什么位置关系？正方形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两正方形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？个圆？这两个圆有什么位置关系？那么，正那么，正 n 边形呢？边形呢？类比联想类比联想任何正多边形都有一个外接圆和一个内切任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆圆，并且这两个圆是同心圆.【定理】【定理】定义：定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正圆内接正多边形多边形.这个圆叫做该这个圆叫做该正多边形的外接圆正多边形
6、的外接圆.EFCD.O中心角中心角半径半径R边心距边心距r正多边形的正多边形的中心中心：一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的正多边形的半径半径：外接圆的半径外接圆的半径.正多边形的正多边形的中心角中心角：正多边形的每一边所对的圆心正多边形的每一边所对的圆心角角.正多边形的正多边形的边心距边心距：中心到正多边形的一边的距离中心到正多边形的一边的距离.AB以中心为圆心，边心距为半径的圆与各边有何位以中心为圆心，边心距为半径的圆与各边有何位置关系置关系?以中心为圆心，边心距为半径的圆为正多边形的以中心为圆心，边心距为半径的圆为正多边形的内切圆内切圆.EFCDOABGRa中
7、心角中心角n360中心角nBOGAOG180边心距把边心距把AOB 分成分成2 个全等的直角三角形个全等的直角三角形.设正多边形的边长为设正多边形的边长为 a，边数为边数为 n，圆的半径为，圆的半径为 R，则它的周长为，则它的周长为 L=na.22r11SLrnar22aR2边心距，面积边心距（）边心距（）（）EDCBOAFEDCBOA正多边形是轴对称图形，正正多边形是轴对称图形，正 n 边形有边形有 n 条对称轴条对称轴.若若 n 为偶数，则其为中心对称图形为偶数，则其为中心对称图形.1.分别求出半径为分别求出半径为 R 的圆内接正三角形、的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积正方形的
8、边长、边心距和面积.连接连接 OB，OC，作，作 OEBC，垂足为，垂足为 E，OEB=90，OBE=BOE=45，则则 RtOBE 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，所以所以 BE 2+OE 2=OB 2，所以所以 2OE 2=OB 2，即即 OE 2=OB 2.22,22OEOBR边心距2222,2BCBERR边长2222.ABCDSAB BCRR正方形21 2.有一个亭子，它的地基是半径为有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边的正六边形，求地基的周长和面积（精确到形，求地基的周长和面积（精确到 0.1 m2）.解：如上页图，正六边形解：如上页图，正六边形 ABCDEF 的中心角
9、为的中心角为 60，OBC 是等边三角形，是等边三角形，所以正六边形的边长等于它的半径所以正六边形的边长等于它的半径.因此，亭子地基的周长因此，亭子地基的周长 L=46=24（m）.在在 RtOPC 中，中，OC=4，PC=2，由勾股定理，得边心距由勾股定理，得边心距 亭子地基的面积亭子地基的面积22422 3 m.r（）211242341.6(m).22Slr1.各边相等，各角相等各边相等，各角相等.2.圆的内接正圆的内接正 n 边形的各个顶点把圆分成边形的各个顶点把圆分成 n 等份等份.3.圆的外切正圆的外切正 n 边形的各边与圆的边形的各边与圆的 n 个切点把圆个切点把圆分成分成 n 等
10、份等份.4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.正多边形的性质：正多边形的性质：5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数，那正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数，那么它还是中心对称图形么它还是中心对称图形.6.正正 n 边形的中心角和它的每个外角都等于边形的中心角和它的每个外角都等于360/n，每个内角都等于（每个内角都等于（n-2）180/n .7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应的对角线比都等于相似
11、比，径比、边心距比、对应的对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方.教学课件教学课件数学数学 九年级下册九年级下册 北师大版北师大版第三章第三章 圆圆9 9 弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积 在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置不同，你知道为什么吗？每位运动员所跑弯路的不同，你知道为什么吗？每位运动员所跑弯路的展直长度你会计算吗？展直长度你会计算吗？（1）已知）已知 O 的半径为的半径为 R，O 的周长是多少？的周长是多少？O 的面积是多少？的面积是多少？C=2R，S=2R2.（2）什么叫圆心角？）什么叫圆心角？顶点在圆
12、心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角.知识回顾知识回顾如图，某传送带的一个转动轮的半径为如图，某传送带的一个转动轮的半径为 R cm.1.转动轮转一周，传送带上的物品转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米被传送多少厘米?2.转动轮转转动轮转 1，传送带上的物品，传送带上的物品 A 被传送多少厘米被传送多少厘米?3.转动轮转转动轮转 n，传送带上的物品，传送带上的物品 A 被传送多少厘米被传送多少厘米?探索新知探索新知1圆的周长可以看作圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧度的圆心角所对的弧21的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是_32的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是_43的
13、圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是_ 5n的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是_3602R180nR1803R180R180探索新知探索新知在半径为在半径为 R 的圆中，的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算的圆心角所对的弧长的计算公式为公式为注意：注意：运用弧长公式运用弧长公式 l 进行计算时，要注意进行计算时，要注意公式中公式中 n 的意义，的意义，n 表示表示 1圆心角的倍数，它是圆心角的倍数，它是不带单位的不带单位的.180Rn180Rnl 例题学习例题学习例例 1 制作弯形管道时，需要先按中心计算制作弯形管道时，需要先按中心计算“展展开长度开长度”再下料再下料.试计算如图的管道的
14、展直长度，试计算如图的管道的展直长度，即弧即弧 AB 的长（结果精确到的长（结果精确到 0.1 mm）.解：解：R=40 mm，n=110，弧弧 AB 的长的长=76.8（mm）.因此，管道的展直长度约为因此，管道的展直长度约为 76.8 mm.Rn18040180110练一练练一练已知圆弧的半径为已知圆弧的半径为 50 cm，圆心角为，圆心角为 60，求，求此圆弧的长度此圆弧的长度.6050180180n Rl=350（cm）.答：此圆弧的长度为答：此圆弧的长度为350cm.解：解：注意：题目没有特殊要求，最后结果保留到注意：题目没有特殊要求，最后结果保留到.1.若弧所对的圆心角为若弧所对的
15、圆心角为 90，半径是，半径是 4，则弧长，则弧长为为_ .2.如果一条弧的半径为如果一条弧的半径为 9，弧长为，弧长为 8，那么这，那么这条弧所对的圆心角为条弧所对的圆心角为_ _ .试一试试一试2160l如图，把如图，把 RtABC 的斜边放在直线的斜边放在直线 l 上，按顺时针上，按顺时针方向转动一次，使它转到方向转动一次，使它转到 ABC 的位置的位置.若若 BC=1，A=30.求点求点 A 运动到运动到 A 的位置时，点的位置时，点 A 经过的经过的路线长路线长.34l圆心角占整个周角的圆心角占整个周角的3601803609036045360n所对的扇形面积是所对的扇形面积是图 2
16、3.3.2 图 2 3.3.2 图 2 3.3.2 图 2 3.3.2 2360180r236090r236045r2360rn如何求扇形的面积？如何求扇形的面积？在半径为在半径为 R 的圆中，的圆中，n的圆心角所对的扇形面积的的圆心角所对的扇形面积的计算公式为计算公式为360Rn2扇形S 如果圆的半径为如果圆的半径为 R，那么圆的面积为，那么圆的面积为 ，l的圆心角对应的扇形面积为的圆心角对应的扇形面积为 ，n的圆心角对应的扇形面积为的圆心角对应的扇形面积为 .3602R36036022RnRn探索新知探索新知R2例例 2 扇形扇形 AOB 的半径为的半径为 12 cm，AOB=120，求求
17、 AB 的长（结果精确到的长（结果精确到 0.1 cm）和扇形和扇形 AOB 的的面积（结果精确到面积（结果精确到 0.1 cm2）.AO B例题学习例题学习.cm 7.150 cm 1.25 7.15012360120 1.2512180120222的面积约为扇形，的长约为因此，的长解：扇形AOBABcmScmAB3602RnS扇形180Rnl比较扇形面积与弧长公式，比较扇形面积与弧长公式，用弧长表示扇形面积：用弧长表示扇形面积：lRS21扇形对比联系对比联系43 21 1.若扇形的圆心角为若扇形的圆心角为 120，半径为，半径为 2，则这个扇，则这个扇形的面积形的面积 S扇形扇形 =.2.
18、若若扇形的面积为扇形的面积为 ，圆心角为，圆心角为 60，则这个扇，则这个扇形的半径形的半径 R=.3.若若半径为半径为 2 cm 的扇形，其弧长为的扇形，其弧长为 cm，则这，则这个扇形的面积是个扇形的面积是_24cm3 13 4.若扇形的圆心角为若扇形的圆心角为 150，弧长为，弧长为 20 cm，则扇则扇形的面积为形的面积为_5.如图，分别以如图，分别以 n 边形的顶点为圆心，以单位边形的顶点为圆心，以单位 1 为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平个平方单位方单位240 cm2 6.如图，如图，AB 是半圆的直径，是半圆的直径，AB=2r，C，D 为半圆的三为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是等分点，则图中阴影部分的面积是_.7.如图，正方形如图，正方形 ABCD 内接于内接于 O，直径，直径 MNAD，若若 O 的半径为的半径为 2，则阴影部分的面积为，则阴影部分的面积为_.2r61 1.弧长公式弧长公式：2.扇形的面积公式：扇形的面积公式：注意：注意：（1）两个公式的联系和区别）两个公式的联系和区别.（2）两个公式的逆向运用）两个公式的逆向运用.（3）求图形的面积：）求图形的面积：割补法、组合法割补法、组合法.Rnl1802360RnS扇形或lRS21扇形
