1、人教B版新课标高中数学必修一-基本不等式课件 这是这是20022002年在北京召开的第年在北京召开的第2424届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。课程导入课程导入课程讲解课程讲解思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？等关系或不等关系？ab课程讲解课程讲解22ba 22ba 1 1、正方形、正
2、方形ABCDABCD的的面积面积S=S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和SS=、S S与与SS有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？探究：探究：S S_S S问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？课程讲解课程讲解A AD DB BC CE EF FG GH Hb ba a22ab重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。222ababA AB BD DE(FGH)E(FGH)a ab b课程讲解课程讲解思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗
3、？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 222abab证明：（作差法）证明：（作差法）2)(ba问题探究问题探究结论：一般地，对于任意实数结论：一般地，对于任意实数a a、b b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222abab文字叙述为文字叙述为:两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍.适用范围：适用范围：a,ba,bRR0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？课程讲解课程讲解0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2a
4、bab替换后得到：替换后得到：即：即：)0,0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？课程讲解课程讲解2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a a=b b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法22(0,0,(),()abaabb2abab)0,0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba课程讲解课程讲解特别地，若特别地，若a a00，b b00，则，则_2abab通常我们把上式写作：通常我们把
5、上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a a=b b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a a，b b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a a，b b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围：a a0,0,bb0 0课程讲解课程讲解你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?RtRtACDRtACDRtDCB
6、DCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以A Aa aO O如图如图,AB,AB是圆的直径是圆的直径,O,O为圆心，点为圆心，点C C是是ABAB上一点上一点,AC=,AC=a a,BC=,BC=b b.过点过点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DE,DE,连接连接ADAD、BDBD、OD.OD.如何用如何用a a,b b表示表示CD?CD=_CD?CD=_如何用如何用a a,b b表示表示OD?OD=_OD?OD=_2abab课程讲解课程讲解你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用如何用a a,b b表示表示CD?CD=_CD?CD=
7、_如何用如何用a a,b b表示表示OD?OD=_OD?OD=_2ababODOD与与CDCD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD?OD_CD如图如图,AB,AB是圆的直径是圆的直径,O,O为圆心，点为圆心，点C C是是ABAB上一点上一点,AC=,AC=a a,BC=,BC=b b.过点过点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DE,DE,连接连接ADAD、BDBD、OD.OD.2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半A AO Oa a课程讲解课程讲解222abab2ababa a=b ba a=b b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几
8、何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,ba,bR Ra a0,0,bb0 0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式课程讲解课程讲解 例例1 1：(1)(1)如图如图,用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的矩的矩形菜园形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？短，最短的篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=BC=x x ，CD=CD=y y ，则则xyxy=100=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(2(x x
9、+y y)m.)m.2xyxyQ2 10020,xy 2()40 xy当且仅当当且仅当 时，等号成时，等号成立立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是短，最短的篱笆是40m.40m.此时此时x x=y y=10.=10.x x=y yA AB B1001010 xyxxyy解，可得若若x x、y y皆为正数，皆为正数，则当则当xyxy的值是常数的值是常数P P时，时，当且仅当当且仅当x x=y y时时，x+yx+y有最小值有最小值_._.2 P22xyxyP例题剖析例题剖析例例1 1：(2)(2)如图，用一段长为如图，用
10、一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=BC=x x ，CD=CD=y y ，则则 2(2(x x+y y)=36,)=36,x x+y y=18=18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy xy m m2 22xyxyQ得得 xy xy 81 81当且仅当当且仅当x x=y y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，
11、最大面积是81m81m2 21892即即x x=y y=9=9A AB B若若x x、y y皆为正数，皆为正数，则当则当x+yx+y的值是常数的值是常数S S时，时，当且仅当当且仅当x x=y y时时，xyxy有最大值有最大值_；214S21422xySxyxyS 例题剖析例题剖析各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x x,y y 都是正数都是正数,P P,S S 是常数是常数.(1)(1)xyxy=P P x x+y y2 2 P
12、 P(当且仅当当且仅当 x x=y y 时时,取取“=”=”号号).).(2)(2)x x+y y=S S xyxy S S2 2(当且仅当当且仅当 x x=y y 时时,取取“=”=”号号).).1 14 4例题剖析例题剖析变式：变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=BC=x x ，CD=CD=y y ，则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为x
13、y xy m m2 2xA AB B22xyQ得得 14421442xy xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m12m、宽为、宽为6m6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m72m2 2即即 xy xy 7272即即x x=12=12，y y=6=6x x+2+2y y=24=24 x x=2=2y y2422xy2xy2241226xyxxyy解，可得课堂练习课堂练习变式：变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
14、花园的面积最形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=BC=x x ，CD=CD=y y ，则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy xy m m2 22xyxyxA AB Bx x+y y 定值定值.2 2=24=24为为 222xyxyQ得得 2 2xy xy 144144当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m12m、宽为、宽为6m6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m72m2 224122即即 xy xy 7272
15、即即x x=12=12，y y=6=6x x+2+2y y=24=24 x x=2=2y y2241226xyxxyy解，可得课堂练习课堂练习变式：变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 24m 的篱笆的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？分析：设分析：设AB=AB=x x ，BC=24BC=242 2x x ，x242xA AB B课堂练习课堂练习变式：变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩的篱笆围一个一
16、边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？解：设解：设AB=AB=x x ，BC=24BC=242 2x x ，矩形花园的面积为矩形花园的面积为x x(24(242 2x x)m m2 21(242)2(242)2xxxx212242()7222xx当且仅当当且仅当2 2x x=24=242 2x,x,即即x x=6=6时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m12m、宽为、宽为6m6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m72m2 2
17、(其中其中2 2x x+(24-2+(24-2x x)=)=2424 是定值是定值)课堂练习课堂练习变式：变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？解：设解：设AB=AB=x x ，BC=24BC=242 2x x ，矩形花园的面积为矩形花园的面积为x x(24(242 2x x)m m2 2(242)yxx令因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m12m、宽为、宽为6m6m时，时，花园面积
18、最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m72m2 2当当x x=6=6时，函数时，函数y y取得最小值为取得最小值为7272222422(6)72yxxx 则(012)x课堂练习课堂练习221R,2(),a bababab那那么么当当且且仅仅当当时时,等等号号成成立立(2)(0,0)2abababab，当且仅当时，等号成立。求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x x,y y 都是正数都是正数,P P,S S 是常数是常数.(1)(1)xyxy=P P x x+y y2 2 P P(当且仅当当且仅当 x x=y y 时时,取取“=”=”号号).).(2)(2)x x+y y=S S xyxy S S2 2(当且仅当当且仅当 x x=y y 时时,取取“=”=”号号).).1 14 42.2.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.1.两个重要的不等式两个重要的不等式课堂总结课堂总结再见再见
