1、人教八年级数学上册-三角形的内角(附习题)前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角形有关的角们就来学习与三角形有关的角.三角形内角三角形内角和定理是本章的重要内容，也是和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何图形与几何”必备的知识基础它从必备的知识基础它从“角角”的角度刻画了的角度刻画了三角形的特征三角形内角和定理的探究体现三角形的特征三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性说明了证明的必要性学习目标：学习目标：1通过经历探究活动的过程，得出三角形的通过经
2、历探究活动的过程，得出三角形的 内角和定理内角和定理.2能运用平行线的性质证明内角和定理能运用平行线的性质证明内角和定理.3能应用三角形内角和定理推导并归纳直角能应用三角形内角和定理推导并归纳直角 三角形的性质与判定三角形的性质与判定.在小学我们已经知道任意一个三角形三个内在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于角的和等于180，你还记得是怎么发现这个结论，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究 知识点1方法：方法：度量、剪拼、折叠度量、剪拼、折叠 BBCCAAABBCAABBCABBCC方法：方法：度量、剪拼、折叠度
3、量、剪拼、折叠 ABC方法：方法：度量、剪拼、折叠度量、剪拼、折叠 追问追问1运用度量的方法，得出的三个内运用度量的方法，得出的三个内角的和都是角的和都是180吗？为什么？吗？为什么？不一定，测量可能会有误差不一定，测量可能会有误差追问追问2通过度量、剪拼或折叠的方法验证了通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于手中的三角形纸片的三个内角和等于180，但我，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出“所所有的三角形的三个内角的和都等于有的三角
4、形的三个内角的和都等于180”这个结这个结论呢？论呢？需要通过推理去证明需要通过推理去证明你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于三角形内角和等于180”的方法吗？的方法吗？追问追问1在下图中，在下图中，B 和和C 分别拼在分别拼在A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点现了一条过点 A 的直线的直线 l，直线，直线 l 与边与边 BC 有有什么位置关系？什么位置关系？直线直线 l 与边与边 BC 平行平行BBCCAlBBCCAl追问追问2在操作过程中在操作过程中,我们发现了与边我们发现了
5、与边BC 平行的直线平行的直线 l，由此，你又能受到什么启发？，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明你能发现证明“三角形内角和等于三角形内角和等于180”的的思路吗？思路吗？通过添加与边通过添加与边 BC 平行的辅助线平行的辅助线 l，利用，利用平行线的性质和平角的平行线的性质和平角的定义即可证明该结论定义即可证明该结论证明：证明：过点过点A 作直线作直线l，使，使l BC l BC，2=4，3=5（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）追问追问3结合下图，你能写出已知、求证和结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？证明吗？已知：已知：ABC求证：求证：A+B+C=180ABC24
6、153 l ABC24153 l 追问追问3结合下图，你能写出已知、求证和结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？证明吗？已知：已知：ABC求证：求证：A+B+C=180证明：证明：1+4+5=180（平角定义），（平角定义），A+B+C=180（等量代换）（等量代换）追问追问4通过前面的操作和证明过程，你通过前面的操作和证明过程，你受到了什么启发？你还能用其他方法证明此受到了什么启发？你还能用其他方法证明此定理吗？定理吗？C A B 12345l P 6m 追问追问4通过前面的操作和证明过程，你通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定能受到什么启发？你能用其他方法证明
7、此定理吗？理吗？C A B 12345l P 6m n 追问追问4通过前面的操作和证明过程，你通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？理吗？C A B 12345l P 6m n 追问追问4通过前面的操作和证明过程，你通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？理吗？知识点2例例1如图，在如图，在ABC 中，中，BAC=40，B=75，AD 是是ABC 的角平分线求的角平分线求ADB 的度数的度数1212解：解：由由BAC=40 ，AD 是是ABC 的角平分线
8、，得的角平分线，得BAD=BAC=20.在在ABD中，中，ADB=180 B BAD =180 75 20 =85.北北北北CABDE例例2如图，如图，C 岛在岛在A 岛的北偏东岛的北偏东50方向，方向，B 岛在岛在A 岛的北偏东岛的北偏东80方向，方向，C 岛在岛在B 岛的北偏岛的北偏西西40方向从方向从B 岛看岛看A，C 两岛的视角两岛的视角ABC 是多少度？从是多少度？从C岛看岛看A，B 两岛的视角两岛的视角ACB 呢？呢？解：解：CABCAB=BADBAD-CADCAD =80=80-50-50=30=30.过过C 点作正南方向线，则有点作正南方向线，则有1=3，2=4（两直线平行，内
9、错角相等），（两直线平行，内错角相等），ACB=1+2 =3+4 =50+40 =90 （等量代换）（等量代换）北北北北CABDE南南341 2练习练习1如图，说出各图中如图，说出各图中1 的度数的度数30 105 1（2）80501（1）221（3）504568练习练习2如图，从如图，从A 处观测处观测C 处的仰角处的仰角CAD=30，从，从B 处观测处观测C 处的仰角处的仰角CBD=45从从C 处观测处观测A，B 两处的视角两处的视角ACB 是多少？是多少？ABDCACB=ACD BCD =60 45=15.问题问题 在在ABC 中，中，A=60，B=30，C 等于多少度？你是用什么知识解
10、决的？等于多少度？你是用什么知识解决的？ABCC=90，三角形，三角形的三个内角和等于的三个内角和等于180。ABC知识点知识点3在在ABC 中，若中，若C=90，你能求，你能求出出A，B 的度数吗？为什么？你能求的度数吗？为什么？你能求出出A+B 的度数吗？的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？利用上面的结果，你能得出什么结论？直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余ABC直角三角形可以用符号直角三角形可以用符号“Rt”表示，表示，直角三角形直角三角形ABC 可以写成可以写成RtABC ABC在在RtABC 中，中，C=90，A+B=90此性质的几何推理格式该怎样表示？此性质的
11、几何推理格式该怎样表示？例例3如图，如图，C=D=90，AD，BC 相相交于点交于点E，CAE 与与DBE 有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？分析：分析：两个角的关系两个角的关系是什么？这两个角分别在是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验什么三角形中？你如何验证自己的想法？证自己的想法？CDEAB例例3如图，如图，C=D=90，AD，BC 相相交于点交于点E，CAE 与与DBE 有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？CDEAB解：解：在在RtAEC 中，中，C=90，CAE+AEC=90（直角三角形两锐角互余）（直角三角形两锐角互余）在在RtBDE 中，中，D=90，例例3如图，
12、如图，C=D=90，AD，BC 相相交于点交于点E，CAE 与与DBE 有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？CDEAB解：解：DBE+BED=90 （直角三角形两锐角互余）（直角三角形两锐角互余）AEC=BED （对顶角相等），（对顶角相等），CAE=DBE（等角的余角相等）（等角的余角相等）知识点4我们知道，如果一个三角形是直角三角形，我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余反过来，你能得那么这个三角形有两个角互余反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？法？利用三角形内角和定理可得：利用三角形内角和定理
13、可得：有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形类比性质的几何推理格式，判定的几类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？何推理格式又该怎样表示？推理格式：推理格式：在在RtABC 中，中，A+B=90，ABC 是直角三角形是直角三角形ABC相等相等同角的余角相等同角的余角相等 练习如图，练习如图，ACB=90，CDAB，垂，垂足为足为D，ACD 与与B 有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？DABCDABC变式变式1若若ACD=B，ACB=90，则，则CD 是是ACB 的高吗？为什么？的高吗？为什么？是是有两个角互余的三角形有两个角互余的三角形 是直角三
14、角形是直角三角形DABC变式变式2若若ACD=B，CD AB，ACB 为直角三角形吗？为什么？为直角三角形吗？为什么？是是有两个角互余的三有两个角互余的三角形是直角三角形角形是直角三角形变式变式3如图，若如图，若C=90，AED=B，ADE 是直角三角形吗？为什么？是直角三角形吗？为什么？是是有两个角互余的三有两个角互余的三角形是直角三角形角形是直角三角形 （证明过程略）（证明过程略）DEABC1.ABC中，中，A:B:C=1:2:3，则则A=_，B=_，C=_.903060基础巩固2.如图，如图，ACB=90，CDAB于于D，则图中，则图中除直角外相等的角有除直角外相等的角有_，互余的角有：，互余的角有：_.A=BCD，A与与B，A与与ACD，B与与BCD，ACD与与BCDB=ACD3.如图，在如图，在ABC 中，中，ABC=70，C=65，BDAC于于D，求，求ABD，CBD的度数的度数.解：解：ABC=70，C=65，A=180ABC C=45.BDAC，ADB=CDB=90，ABD=90A=45，CBD=90 C=25.综合应用有两个角互余的三角有两个角互余的三角形是直角三角形形是直角三角形三角形内角和三角形内角和等于等于180.ABC直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余BBCCAl
