1、22.1.222.1.2二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质的图象和性质知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数y=x2的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线,对称轴与抛物线的交点叫做顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.对于特殊的二次函数y=x2,对称轴是y轴,顶点是(0,0),顶点是它的最低点,在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升.也就是说,当x0时,y随x的增大而增大.名师解读:理解和记忆二次函数的性质时,可以从y=x2得到启发,其他二次函数的图象及性质可类比y=x2的图象和性质,主要从开口方向、对称轴、顶点、增减性等几个方面
2、去进行.知识点一知识点二知识点三例1通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.分析:首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.解:列表,得:描点,连线如图所示.知识点一知识点二知识点三画二次函数的图象,列表时取的点越多,图象往往越准确,但是一般采用“五点法”或“七点法”画图,画图时应注意:(1)描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分,是近似的,由于x可取一切实数,所以图象是向两方无限延伸的;(2)点取得越多,图象画得越精确,在限定条件下(即限定自变量的取值范围)或在实际问题中,函数的图象必须要根据自变量的取值范围取其中的一部分;(3)所画图象必须平滑(符合点的发展变化
3、的趋势),尤其是顶点不能画成“尖”形的.知识点一知识点二知识点三知识点二y=ax2的图象一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而减小.名师解读:当a0时,理解二次函数的性质可以利用y=x2的图象进行描述,当a0,抛物线开口向上,a0,有最高点,ax20,比较y1,y2的大小.分析:(1)把点 代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函数的性质.(2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知ax20,故y10时,在A,B中判断一次函数的图象是否相符,a0
4、时,二次函数y=ax2的图象开口向上,一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限,排除A;当a0时,二次函数y=ax2的图象开口向下,一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限,排除C,D.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,一般用排除法,首先根据抛物线的开口方向,确定二次函数二次项系数a的符号,然后再根据一次函数确定a的符号,如果相同,说明可能正确;如果不同,直接排除.按照这种方法逐一判断,直至找出正确答案为止.特别注意个别问题需要再结合一次函数与抛物线的公共点的位置才能确定最后答案.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三与y=ax2的图象和一次函数图象交点有关的
5、问题例3如图,已知抛物线y=ax2(a0)与直线AB交于点P(4,-4),连接OP,OP=AP,求二次函数的解析式及抛物线与直线AB另一个交点B的坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析:将P点坐标代入抛物线解析式中求出a的值,即可确定出抛物线解析式,过点P作PQOA,则Q(4,0),再根据OP=AP,得A(8,0),设直线AB的解析式为y=mx+n,将A,P坐标代入直线解析式y=mx+n,求出m,n的值,联立两函数解析式求出另一个交点B即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答求二次函数与一次函数图象的公共点的坐标问题时,把两函数的解析式联立组成方程组,方程组的解就是两函数图象的交点坐标,然后再结合其他条件解答相关问题.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与y=ax2有关的综合题例4如图所示,抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一个交点A.(1)求A点坐标;(2)在x轴上是否存在一点P,使AOP是以OP为底的等腰三角形?若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,先由函数解析式求得交点的坐标,然后结合几何知识确定是否存在,如果存在,再确定点的坐标.
