1、1第第 6 6 章章 简单的超静定问题简单的超静定问题6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题6-4 简单超静定梁简单超静定梁26-1 6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法.关于超静定问题的概述关于超静定问题的概述(b)3 图图a a所示静定杆系为减小杆所示静定杆系为减小杆1,21,2中的内力或节点中的内力或节点A A的位移的位移(如图如图b)b)而增加了杆而增加了杆3 3。此时有三个未知内力此时有三个未知内力F FN1 N1,F,FN2 N2,F,FN3N3，但只有二个独立的平衡方程，但只有二个独立的平衡方程
2、 一次超静定一次超静定问题。问题。(b)4 图图a a所示简支梁为减小内力和位移而如图所示简支梁为减小内力和位移而如图b b增加了中间支座增加了中间支座C C成为连续梁。成为连续梁。此时有四个未知约束力此时有四个未知约束力F FAxAx,F FA A,F FB B,F FC C，但只有三个独立的静力平衡方程，但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。一次超静定问题。超静定问题超静定问题(statically indeterminate problem)(statically indeterminate problem)：单凭静力平衡方程不：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。能
3、求解约束力或构件内力的问题。FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA5.解超静定问题的基本思路解超静定问题的基本思路基本静定系基本静定系(primary statically determinate system)解除解除“多余多余”约束约束(例如杆例如杆3与与接点接点A的连接的连接)例例1 16在基本静定系上加在基本静定系上加上原有荷载及上原有荷载及“多多余余”未知力未知力并使并使“多余多余”约束约束处满足变形处满足变形(位移位移)相容条件相容条件相当系统相当系统 (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 7 331N3
4、2111N3coscos2AElFAElFF 于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力F FN3 N3。由位移相容条由位移相容条件件 ，利用物理关系利用物理关系(位移或变形计算公式位移或变形计算公式)可得可得补充方程：补充方程：AA 12BCAF AFN3AA FN3ADA 8基本静定系统基本静定系统ABl补充方程为补充方程为048384534 EIlFEIqlC于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力F FC C。FC位移相容条件位移相容条件Cq+CFc=0相相当系统当系统ABl/2ql例例2 2超静定梁超静定梁yxl/2l/2CABq9.注意事项注意事项 (1)(1)超静定次数超静定次数=
5、“=“多余多余”约束数约束数=“=“多余多余”未知力未知力=位移相容条件数位移相容条件数=补补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。(2)(2)求出求出“多余多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。系统进行计算。(3)(3)无论怎样选择无论怎样选择“多余多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。10 (4)“(4)“多余多余”约束的选择虽然
6、是任意的，但应以计算方便为原则。约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。如上所示连续梁若取如上所示连续梁若取B B处铰支座为处铰支座为“多余多余”约束，则求解比较复杂。约束，则求解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq116-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题.拉压超静定基本问题拉压超静定基本问题举例说明拉压超静定问题的解法。举例说明拉压超静定问题的解法。12 求图求图a a所示等直杆所示等直杆ABAB的约束力，并求的约束力，并求C C截面的截面的位移。杆的拉压刚度为位移。杆的拉压刚度为EAEA。例题例题 6-16-1131.1.有两个未知约束力有两个未知约束
7、力F FA A ,F FB B（图（图a a），但只有一个独），但只有一个独立的平衡方程立的平衡方程 F FA AF FB BF F=0=0故为一次静不定问题。故为一次静不定问题。例题例题 6-16-114 2.2.取固定端取固定端B B为为“多余多余”约束，约束，F FB B为为多余未知力。相当系统如图多余未知力。相当系统如图b b所示，它应所示，它应满足相容条件为满足相容条件为D DB B0 0，利用叠加法得，利用叠加法得D DBFBF+D DBBBB=0=0，参见图，参见图c c，d d。例题例题 6-16-115 3.3.利用胡克定律后可得补充方利用胡克定律后可得补充方程为程为 0 E
8、AlFEAFaBlFaFB 由此求得由此求得所得所得F FB B为正值，表示为正值，表示F FB B的指向与假设的指的指向与假设的指向相符，即向上。向相符，即向上。例题例题 6-16-116得得 F FA A=F F-FaFa/l l=FbFb/l l。4.4.由平衡方程由平衡方程 F FA A+F FB B-F F=0=0例题例题 6-16-15.5.利用相当系统（图利用相当系统（图b b）求得）求得D DC C。lEAFabEAalFbEAaFAC171.1.拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为D Dl
9、 lACAC+D+Dl lBCBC0 0。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件D DB B0 0代替相容条件。代替相容条件。2.2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以算的，所以D DBBBBF FB Bl l/EAEA，而不用，而不用D DBBBBF FB B(l l+D DBFBF)/)/EAEA ，A A 为在为在F F力作用下变力作用下变形后横截面的面积。形后横截面的面积。例题例题 6-16-118 求图求图a a所示结
10、构中所示结构中1,2,31,2,3杆的内力杆的内力F FN1 N1,F,FN2 N2,F,FN3N3。ABAB杆为刚性杆，杆为刚性杆，1,1,2,32,3杆的拉压刚度均为杆的拉压刚度均为EAEA。aaaACDB132EFF(a)a例题例题 6-26-2191.1.共有五个未知力，如图共有五个未知力，如图b b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。次静不定问题。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题例题 6-26-2解：解：20 2.2.取取1 1杆和杆和2 2杆为杆为ABAB杆的多余约束，杆的多余约束，F FN
11、1N1和和F FN2N2为多余未知力。得基本为多余未知力。得基本静定系如图静定系如图c c。CF3(c)AB例题例题 6-26-2213.3.由变形图（图由变形图（图d d）可得变形相容条件为）可得变形相容条件为FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC1123122llll (2)(1)例题例题 6-26-2224.4.利用胡克定律，由利用胡克定律，由(1)(2)(1)(2)式可得补充方程：式可得补充方程：EAaFEAaFEAaFEAaFN12NN31N2 22 ，解得解得 F FN1N1=2=2F FN3N3,(3),
12、(3)F FN2N2=2=2F FN1N1=4=4F FN3 N3 (4)(4)例题例题 6-26-2FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC123 5.5.ABAB杆受力如图杆受力如图b b所示，所示，M MA A=0=0得得)5(0)3()2(212N3N1N aFaFaFaF联立求解得联立求解得)(12.121012124)(56.02101262)(28.02101233N2N3N1NN3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题例题 6-26-224II.
13、II.装配应力和温度应力装配应力和温度应力(1)(1)装配应力装配应力 超静定杆系超静定杆系(结构结构)由于存在由于存在“多多余余”约束，因此如果各杆件在制造时约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力生附加内力装配内力，以及相应装配内力，以及相应的装配应力。的装配应力。25 图图a a中所示杆系中所示杆系(E E1 1A A1 1=E=E2 2A A2 2)中杆中杆3 3的长度较应有长度短了的长度较应有长度短了D De e，装配后各杆，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3 3在结点在结点 AA
14、 处受到装配力处受到装配力F FN3N3作用作用(图图b)b)，而杆，而杆1,21,2在汇交点在汇交点AA 处共同承受与杆处共同承受与杆3 3相同的装配力相同的装配力F FN3N3作用作用(图图b)b)。(a)26求算求算F FN3N3需利用位移需利用位移(变形变形)相容条件相容条件(图图a)a)列出补充方程列出补充方程由此可得装配力由此可得装配力F FN3N3，亦即杆，亦即杆3 3中的装配内力为中的装配内力为eAAAAD D eAElFAElFD D 21113N333N3cos2 D D21113333Ncos2AElAEleF (拉力）拉力）(a)27 至于各杆横截面上的装配应力只需将装
15、配内力至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力轴力)除以杆的横截面面除以杆的横截面面积即得。积即得。由此可见，计算超静定杆系由此可见，计算超静定杆系(结构结构)中的装配力和装配应力的关键中的装配力和装配应力的关键,仍在于仍在于根据位移根据位移(变形变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆而杆1 1和杆和杆2 2中的装配内力利用图中的装配内力利用图b b中右侧的图可知为中右侧的图可知为 压力压力 D D 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF28 两根相同的钢杆两根相同的钢杆1 1、2 2，其长度，其长度l l=20
16、0 mm=200 mm，直径直径d d=10 mm=10 mm。两端用刚性块连接在一起如图。两端用刚性块连接在一起如图a a所示。将长度为所示。将长度为200.11 mm200.11 mm，亦即，亦即D De=e=0.11 mm0.11 mm的的铜杆铜杆3 3（图（图b b）装配在与杆）装配在与杆1 1和杆和杆2 2对称的位置对称的位置(图图c)c)，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆3 3的横的横截面为截面为20 mm20 mm30 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量的矩形，钢的弹性模量E E=210 GPa=210 GPa，铜的弹性模量，铜的弹性模量E E3
17、 3=100 GPa=100 GPa。例题例题 6-36-3291.1.装配后有三个未知的装配内力装配后有三个未知的装配内力F FN1N1,F FN2 N2,F FN3N3，如图，如图d d所示。但平行力系只有二所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明明F FN1N1=F=FN2N2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：方程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以这仍然是一次静不定问
18、题。所以这仍然是一次静不定问题。例题例题 6-36-3解：解：302.2.变形相容条件变形相容条件(图图c)c)为为这里的这里的D Dl l3 3是指杆是指杆3 3在装配后的缩短值，不带负号。在装配后的缩短值，不带负号。)2(31ell 例题例题 6-36-3313.3.利用胡克定律由利用胡克定律由(2)(2)式得补充方程式得补充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 例题例题 6-36-3324.4.联立求解联立求解(1)(1)和和(3)(3)式得式得 所得结果为正，说明原先假所得结果为正，说明原先假定杆定杆1 1、2 2的装配内力为拉力和杆的装配内力为拉力和杆3 3的装配内力为压力是正确
19、的。的装配内力为压力是正确的。EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例题例题 6-36-3335.5.各杆横截面上的装配应力如下：各杆横截面上的装配应力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉应力）（拉应力）（压应力）（压应力）例题例题 6-36-3341.1.求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。何方程。2.2.以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使
20、构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。利影响。例题例题 6-36-335(2)(2)温度应力温度应力 也是由于超静定杆系存在也是由于超静定杆系存在“多余多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。36 两端与刚性支承连接的等截面杆如图两
21、端与刚性支承连接的等截面杆如图a a所示。试求当温度升高所示。试求当温度升高D Dt t 时横时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为截面上的温度应力。杆的横截面面积为A A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E E，线膨胀系数为，线膨胀系数为 l l。例题例题 6-46-4371.1.若若ABAB杆仅杆仅A A端固定，端固定，B B端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长D Dl lt t，而不会产生内力。当而不会产生内力。当A A、B B均为固定端时，均为固定端时，D Dl lt t受到约束不能自由伸长，杆端受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力产生约束
22、力F FA A和和F FB B。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。(b)例题例题 6-46-4解：解：38 2.2.以刚性支撑以刚性支撑B B为为“多余多余”约束，约束，F FB B为多余约束未知力，设基本静定为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形系由于温度升高产生的伸长变形D Dl lt t，由，由“多余多余”未知力未知力F FB B产生的缩短变形产生的缩短变形D Dl lF F分别如图分别如图c c、d d所示。所示。(c)(d)例题例题 6-46-4393.3.变形相容条件是杆的总长度保持不变，即变形相容条件是杆的总
23、长度保持不变，即(1)0 Ftll(c)(d)例题例题 6-46-4404.4.将将(2)(2)式代入式代入(1)(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN,(2)0N EAlFltl 补充方程为补充方程为(3)(c)(d)例题例题 6-46-4415.5.由由(3)(3)式解得式解得tEAFlN (c)(d)例题例题 6-46-4426.6.杆的横截面上的温度应力为杆的横截面上的温度应力为tEAFlN (c)(d)例题例题 6-46-443 若该杆为钢杆。若该杆为钢杆。l l=1.2=1.21010-5-5/(/(C)C)，E E=210=210 10 109 9PaPa，则当温度升高
24、，则当温度升高D Dt t=40=40时有时有 MPa100 Pa10100C40Pa10210C/102.1695 tEl （压应力）（压应力）例题例题 6-46-444 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆ABAB，在截面，在截面C C处受扭转力偶矩处受扭转力偶矩M Me e作用，如图作用，如图a a所示。已知杆的扭转刚度为所示。已知杆的扭转刚度为GIGIp p。试求杆两端的反力偶矩以及。试求杆两端的反力偶矩以及C C截面的扭转角。截面的扭转角。例题例题 6-56-56-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题451.1.有二个未知的反力偶矩有二个未知的反力偶矩M MA A，M M
25、B B，但只有一个独立的静力平衡方程，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。0 0eBAxMMMM，(b)MAMB例题例题 6-56-5解：解：46 2.2.以固定端以固定端B B为为“多余多余”约束，反力偶矩约束，反力偶矩M MB B为为“多余多余”未知力。在基本未知力。在基本静定系上加上荷载静定系上加上荷载M Me e和和“多余多余”未知力偶矩未知力偶矩M MB B(如图如图c)c)；它应满足的位移相容；它应满足的位移相容条件为条件为B B截面的扭转角截面的扭转角j jB B=0=0，利用叠加法可得，利用叠加法可得BBMBM e(c)例题例题 6-56-547
26、可由平衡方程求得为可由平衡方程求得为3.3.根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程求得求得ppeGIlMGIaMB eeeelbMlaMMMMMBA elaMMB 例题例题 6-56-5484.4.杆的杆的ACAC段横截面上的扭矩为段横截面上的扭矩为lbMMMMTABACee (c)例题例题 6-56-5从而有从而有 peplGIabMGIaTACC 49 图图a a所示组合杆，由半径为所示组合杆，由半径为r ra a的实心铜杆和外半径为的实心铜杆和外半径为r rb b，内半径为，内半径为r ra a的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转
27、力偶矩的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩M Me e作用。作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩T Ta a和和T Tb b，并绘出它们横截面上切应，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。力沿半径的变化情况。例题例题 6-66-6501.1.实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为T Ta a和和T Tb b(图图b)b)，但只有一个独立，但只有一个独立平衡方程平衡方程 T Ta a+T Tb b=M Me e (1)(1)故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。例题例题 6-66-6解：解
28、：TbTaMe512.2.位移相容条件为实心杆和空心杆的位移相容条件为实心杆和空心杆的B B截面相对于截面相对于A A截面的扭转角相等。在截面的扭转角相等。在图图b b中都用中都用j j表示（设表示（设A A端固定）。端固定）。)2(BbBa 例题例题 6-66-6TbTaMe523.3.利用物理关系由利用物理关系由(2)(2)式得补充方程为式得补充方程为)3(ppppbbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlT ，即，即例题例题 6-66-6TbTaMe534.4.联立求解联立求解(1)(1)式和式和(3)(3)式得：式得：)4(epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbba
29、abbbbbaaaaa ，例题例题 6-66-6TbTaMe545.5.实心铜杆横截面上任意点的切应力为实心铜杆横截面上任意点的切应力为 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心钢杆横截面上任意点的切应力为空心钢杆横截面上任意点的切应力为 bbbaabbbbraIGIGMGIT ppep切应力沿半径的变化情况如图切应力沿半径的变化情况如图c c所所示。示。ara arb rarb(c)例题例题 6-66-655 由图由图c c可见，在可见，在r r=r ra a处，处，t ta a t tb b，这是因为，这是因为 G Ga a D DC C D DA A的情况进行分析。此时，支座
30、的情况进行分析。此时，支座B B相对于支座相对于支座A A、C C 沉陷后的点沉陷后的点A A1 1、C C1 1 的连线有位移的连线有位移77于是，如以支座于是，如以支座B B1 1作为作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力F FB B为为“多余多余”未知力，则作为未知力，则作为基本静定系的简支梁基本静定系的简支梁A A1 1C C1 1(参见图参见图b)b)在荷载在荷载 q q 和和“多余多余”未知力未知力F FB B共同作用下共同作用下应满足的位移相容条件就是应满足的位移相容条件就是210CABBBBw 78于是得补充方程于是得补充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIlFEI
31、lqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的w wB B按叠加原理有按叠加原理有(参见图参见图c c、d):d):79再由静力平衡方程可得再由静力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF80(2)(2)梁的上梁的上,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a a所示两端固定的梁所示两端固定的梁ABAB在温度为在温度为 t t0 0 时安装就位，其后，由于梁的顶时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至面温度升高至 t t1 1，底面温度升高至，底面温度升高至 t t2 2，且，且
32、t t2 2 t t1 1，从而产生约束力如图中，从而产生约束力如图中所示。所示。由于未知的约束力有由于未知的约束力有6 6个，而独立的平衡方程只有个，而独立的平衡方程只有3 3个，故为三次超静定个，故为三次超静定问题。问题。l81 现将右边的固定端现将右边的固定端B B处的处的3 3个约束作为个约束作为“多余多余”约束，则解除约束，则解除“多余多余”约约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差的情况下，右端产生转角q qBtBt和挠度和挠度w wBtBt(见图见图c)c)以及轴向以及轴向位移位移D D
33、BtBt。82 如果忽略如果忽略“多余多余”未知力未知力F FBxBx对挠度和转角的影响，则由上对挠度和转角的影响，则由上,下表面温下表面温差和差和“多余多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b b所示的悬臂梁就所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：是原超静定梁的相当系统：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 83式中一些符号的意义见图式中一些符号的意义见图c c、d d、e e。0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 84 现在先来求现在先来求q qBtBt和和w w
34、BtBt与梁的上与梁的上,下表面温差下表面温差(t t2 2-t-t1 1)之间的物理关系。之间的物理关系。从上面所示的图从上面所示的图a a中取出的微段中取出的微段d dx,x,当其下表面和上表面的温度由当其下表面和上表面的温度由t t0 0分分别升高至别升高至t t2 2和和t t1 1时，右侧截面相对于左侧截面的转角时，右侧截面相对于左侧截面的转角d dq q 由图由图b b可知为可知为 xhtthmmnnhnnldd120 上式中的负号用以表示图上式中的负号用以表示图a a所示坐标系中该转角所示坐标系中该转角 d dq q 为负。为负。85将此式积分，并利用边界条件将此式积分，并利用边
35、界条件0|0|dd|000 xxxwxw，得得 212122 xhttwxhttll ，根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为 httxxwl1222dddd 86从而有从而有 hlttwwhlttllxBtllxBt2|21212 ，至于温差引起轴向位移至于温差引起轴向位移D DBtBt则为则为ltttlBt 0212 87 位移相容条件表达式中由位移相容条件表达式中由“多余多余”未知力引起的位移所对应的物理关系未知力引起的位移所对应的物理关系显然为显然为 33EIlFwByBFBy 22EIlFByBFBy EAlFBxBFBx EIlMwBBMB22 EIlMBBMB 88EAlFBxBFBx 33EIlFwByBFBy 22EIlFByBFBy EIlMwBBMB22 EIlMBBMB 12hlttlBt ltttlBt 0212 hlttwlBt2212 0 BByBMBFBtBwwww0 BByBMBFBtB 0 BxBFBtBx位移相容条件位移相容条件已得出的物理关系已得出的物理关系89 将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得 02021 BylBxFtttEAF，12httEIMlB 90感谢下感谢下载载感谢下感谢下载载
