1、第十一章第十一章 反常积分反常积分 2 反常积分的收敛判别反常积分的收敛判别一、无穷限的广义积分的审敛法一、无穷限的广义积分的审敛法收敛收敛上有界，则广义积分上有界，则广义积分在在若函数若函数且且上连续，上连续，在区间在区间定理设函数定理设函数 axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)(不通过被积函数的原函数判定广义积分收不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法敛性的判定方法.由定理由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理分有以下比较收敛原理也发散也发散发散，则发散，则且且并并也收敛；如果也收敛；如果收敛，则收
2、敛，则并且并且上连续，如果上连续，如果区间区间在在、设函数设函数比较审敛原理比较审敛原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()()(2证证.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收敛，得收敛，得及及，由，由设设上有上界上有上界在在即即),)()(adxxfbFba由定理知由定理知收敛收敛 adxxf)(.)(,)(),()(0必定发散必定发散则则发散发散且且如果如果 aadxxfdxxgxfxg也收，这与假设矛盾也收，这与假设矛盾收敛，由第一部分
3、知收敛，由第一部分知如果如果 aadxxgdxxf)()(例如，例如，时发散时发散当当时收敛；时收敛；当当广义积分广义积分11)0(Ppaxdxap发散发散则则，使得，使得常数常数收敛；如果存在收敛；如果存在则则，使得，使得及及存在常数存在常数如果如果上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10.0)()0(),)()(3 例例.1134的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解,111103/43434xxx ,134 p根据比较审敛法，根据比较审敛法，.1
4、134收敛收敛广义积分广义积分 xdx发散发散则则或或如果如果收敛；收敛；存在，则存在，则使得使得，如果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1.0)()0(),)()(4例例.112的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xxdx解解,111lim22 xxxx所给广义积分收敛所给广义积分收敛例例.1122/3的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx ,根据极限审敛法，所
5、给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散例例.arctan1的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim,2 根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散也收敛也收敛收敛；则收敛；则如果如果上连续，上连续，在区间在区间设函数设函数定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5证证).)()(21)(xfxfx 令令,)()(0)(xfxx ，且，且,)(收敛收敛dxxfa .)(也收敛也收敛dxxa ,)()(2)(xfxxf 但但,)()(2)(bababadxxfdxxdxxf.)()(2)(aaa
6、dxxfdxxdxxf 即即收敛收敛.)(5称为绝对收敛称为绝对收敛条件的广义积分条件的广义积分满足定理满足定理定义定义 adxxf必定收敛必定收敛绝对收敛的广义积分绝对收敛的广义积分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收敛性的收敛性常数常数都是都是判别广义积分判别广义积分 abadxbxeax解解.,sin0收敛收敛而而 dxeebxeaxaxax.sin0收敛收敛 dxbxeax所以所给广义积分收敛所以所给广义积分收敛.二、无界函数的广义积分的审敛法二、无界函数的广义积分的审敛法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim,0)(,()()2(60发散发散则广义积分则广
7、义积分，使得，使得及及收敛；如果存在常数收敛；如果存在常数则广义积分则广义积分，使得，使得及及常数常数如果存在如果存在上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf发散发散分分则广义积则广义积或或，使得，使得如果存在常数如果存在常数收敛；收敛；则广义积分则广义积分存在存在，使得，使得如果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)
8、()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim,0)(,()()2(0000例例6.ln31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解的左邻域内无界的左邻域内无界被积函数在点被积函数在点1 x由洛必达法则知由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101 ,01 根据极限审敛法根据极限审敛法2,所给广义积分发散所给广义积分发散.例例7.1sin31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解也收敛也收敛从而从而dxxx 101sin收敛，收敛，而而 1,11sinxdxxxx收敛，收敛，dxxx 101sin根据比较审敛原理根据比较审敛原理
9、,)0()(01 sdxxessx定义定义特点特点:1.积分区间为无穷积分区间为无穷;.001.2右领域内无界右领域内无界的的时被积函数在点时被积函数在点当当 xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx设设;,1)1(1是常义积分是常义积分时时当当Is ,10时时当当 s函数函数三、三、,111111sxssxxexxe .,2,111收敛收敛根据比较审敛法根据比较审敛法而而Is ,0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex.,12也收敛也收敛根据极限审敛法根据极限审敛法I.0)2(),1(01均收敛均收敛对对知知由由 sdxxesxs)(s o 函数的几个重要性质：函数的
10、几个重要性质：).0()()1(ssss递推公式递推公式.)(0 ss时，时，当当).10(sin)1()(3 ssss余元公式余元公式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中，作代换中，作代换在在 四、小结四、小结比较审敛法极限审敛法无穷限的广义积分审敛法比较审敛法极限审敛法无界函数的广义积分审敛法广广义义积积分分审审敛敛法法绝对收敛绝对收敛练练 习习 题题;23.4;)(ln.3;1sin.2;1.12132213120242 xxdxxdxdxxdxxxx的收敛性：的收敛性：一、判别下列广义积分一、判别下列广义积分.)1(ln.2);0(.1100 dxxndxepxn收敛范围：收敛范围：指出这些积分的指出这些积分的函数表示下列积分，并函数表示下列积分，并二、用二、用).21()(2)2(:12 nnnnn 为自然数）为自然数）三、证明（其中三、证明（其中练习题答案练习题答案一、一、1、收敛；、收敛；2、收敛；、收敛；3、发散；、发散；4、收敛；、收敛；.1),1(2;0),1(11 ppnnn、二、二、
